![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Общее представление об экономико-математическом моделировании
- •1.1. Определение экономико-математической модели
- •1.2. Классификация экономико-математических моделей
- •1.3. Основные этапы экономико-математического моделирования
- •2. Основы финансовой арифметики
- •2.1. Простой процент
- •Наращенная сумма при простом проценте
- •Текущая стоимость при простом проценте
- •Номинальная годовая процентная ставка
- •3. Математически методы анализа последовательностей платежей
- •3.1. Текущая стоимость последовательности платежей
- •3.2. Будущая стоимость последовательности платежей
- •3.3. Стоимость последовательности платежей в произвольный момент времени
- •4. Моделирование инвестиционных проектов
- •4.1. Дисконтирование денежных потоков инвестиционного проекта
- •4.2. Модель с постоянным процентным ростом свободных денежных потоков
- •4.3. Задача оптимального финансирования проекта
- •4.4. Задача оптимального выбора инвестиционных проектов
- •4.5. Анализ чувствительности денежных потоков проекта
- •4.6. Анализ безубыточности проекта
- •4.7. Влияние инфляции на денежные потоки проекта
- •4.8. Анализ финансового риска инвестиционного проекта
- •4.9. Имитационное моделирование денежных потоков проекта
- •5. Математические методы анализа платежей облигаций
- •5.1. Платежи облигаций
- •5.2. Доходность к погашению облигации
- •5.3. Текущая стоимость облигации
- •5.4. Продолжительность облигации
- •5.5. Чистые доходности
- •5.6. Использование чистых доходностей для оценки рыночной стоимости купонных облигаций
- •5.7. Синтетические бескупонные облигации
- •5.8. Описание оценки рыночной стоимости облигации в общем случае
- •5.9. Условия существования имитирующего портфеля и однозначности оценки рыночной стоимости облигации
- •5.10. «Чистые» коэффициенты дисконтирования, их нахождение и использование для оценки рыночной стоимости облигации
- •5.11. Нахождение чистых доходностей методом наименьших квадратов
- •5.12. Форвардные доходности
- •6. Моделирование процентного риска
- •6.1. Продолжительность и выпуклость портфеля облигаций
- •6.2. Чувствительность текущей стоимости портфеля облигаций к изменению доходности
- •6.3. Чувствительность собственного капитала финансовой организации к изменению доходности облигаций
- •6.4. Иммунизация будущих платежей от процентного риска
- •7. Моделирование кредитного риска
- •7.1. Использование линейной модели вероятности для оценки кредитного риска
- •8. Теория инвестиционного портфеля
- •8.1. Инвестиционный портфель и его основные характеристики
- •8.2. Диверсификация риска
- •8.3. Множество инвестиционных возможностей
- •8.4. Оптимизация инвестиционного портфеля
- •8.5. Множество инвестиционных возможностей при наличии безрисковой доходности
- •8.6. Оптимизация инвестиционного портфеля при наличии безрискового актива
- •8.7. Рыночная модель
- •8.8. Разложение общего риска финансового актива на систематическую и собственную составляющие
- •8.9. Модель оценки финансовых активов
- •9. Математические методы анализа финансовых производных
- •9.1. Основные виды финансовых производных
- •9.2. Рыночная стоимость форвардного контракта
- •9.3. Соотношение между рыночной стоимостью форвардного контракта и форвардной ценой базового актива
- •9.4. Форвардные контракты на покупку валюты
- •9.5. Форвардные контракты на процентные ставки
- •9.6. Фьючерсные контракты
- •9.7. Микрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов
- •9.8. Макрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов
9.7. Микрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов
Если
инвестор намеревается купить (или
продать) актив в момент времени
( в будущем), то самый простой способ
защиты от повышения (понижения) цены
состоит в заключении фьючерсного
контракта на покупку (продажу) этого
актива со сроком исполнения
.
Может оказаться, что:
Не существует фьючерсных контрактов на требуемый актив;
Фьючерсные контракты на базовый актив существуют, однако их срок исполнения отличается от
.
В
этих случаях можно уменьшить риск,
заключив фьючерсные контракты с базовым
активом, отличным от требуемого, и/или
со сроком исполнения, отличным от
.
Введем следующие обозначения.
–момент
исполнения фьючерсного контракта
;
– цена требуемого актива в момент
времени
;
– количество единиц требуемого актива,
приобретаемых (продаваемых) в момент
(если
– положительно, то актив покупается,
если
– отрицательно, то актив продается),
– количество открываемых позиций (если
– положительно, то длинных позиций,
если
– отрицательно, то коротких позиций).
Денежный
поток
инвестора в момент
равен:
. (29)
В
качестве меры риска мы будем использовать
стандартное отклонение (дисперсию)
денежного потока
.
Введем
так называемый коэффициент хеджирования
по формуле
. (30)
С помощью коэффициента хеджирования формулу (29) можно записать в следующем виде:
. (31)
Найдем дисперсию денежного потока:
Итак,
. (32)
Заметим,
что
– выпуклая функция от
.
Следовательно, условие первого порядка
– необходимое и достаточное условие
минимума.
Найдем
:
(33)
Приравняв (33) к нулю, найдем оптимальный коэффициент хеджирования:
. (34)
Обозначим
через
коэффициент корреляции между
и
,
через
– стандартное отклонение
,
через
– стандартное отклонение
.
Подставив
и
в формулу (34), получим:
. (35)
Рассмотрим
случай с форвардными контрактами
видов.
. (36)
Итак,
. (37)
Продифференцируем
(37) по
(38)
, (39)
Из
(39) следует, что
– выпуклая функция от
.
Условия первого порядка:
,
. (40)
Подставив (38) в (40), получим:
,
. (41)
Запишем (41) в матричном виде:
, (42)
где
,
.
Из (42) следует, что
. (43)
9.8. Макрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов
Макрохеджирование – это хеджирование собственного капитала фирмы.
Для оценки изменения рыночной стоимости собственного капитала финансовой организации при изменении доходностей к погашению облигаций была получена формула:
, (44)
где
– изменение доходностей облигаций (
предполагается одинаковым для облигаций
разных видов).
Пусть
– количество позиций по фьючерсным
контрактам. (
означает, что позиции – длинные, а
– короткие.)
Денежный
поток, получаемый финансовой организацией
при изменении фьючерсных цен, равен
.
Следовательно, суммарный эффект:
. (45)
Задача
состоит в том, чтобы подобрать такое
количество позиций
,
чтобы
.
Будем
считать, что фьючерсная цена базового
актива
приблизительно равна форвардной цене
.
Для форвардной цены
получена
следующая формула:
,
где
– доходность безрискового актива со
сроком погашения
.
Следовательно,
. (46)
При
«мгновенном» изменении доходности к
погашению базового актива
и безрисковой доходности
,
изменение фьючерсной цены приблизительно
равно:
. (47)
Предположим, что
. (48)
Тогда (48) можно записать:
. (49)
Продифференцируем
(46) по
:
. (50)
Подставим
в (50):
. (51)
Продифференцируем
(46) по
:
. (52)
Подставив (51) и (52) в (49), получим:
. (53)
Подставим (53) в (45):
. (54)
Из
(54) следует, что
,
при
равном:
. (55)
Пример
3. Номинальная стоимость и купонный
период облигаций, входящих в активы и
обязательства финансовой организации,
равны, соответственно, 100 д.е. и один год.
Активы финансовой организации состоят
из 400 десятилетних и 600 пятилетних
облигаций. Номинальная купонная ставка
и эффективная годовая доходность равны,
соответственно, 20% и 18% для десятилетних
облигаций, и 15% и 14% для пятилетних
облигаций. Обязательства финансовой
организации состоят из 300 однолетних и
500 трехлетних облигаций. Номинальная
купонная ставка и эффективная годовая
доходность равны, соответственно, 10% и
11% для однолетних облигаций, и 12% и 13% для
трехлетних облигаций. Финансовая
организация хеджирует риск с помощью
четырехмесячных фьючерсных контрактов
на двенадцатилетние десятипроцентные
облигации номинальной стоимостью 100
д.е. и с эффективной годовой доходностью
16%. Непрерывно капитализируемая чистая
доходность для безрисковых облигаций
со сроком погашения 4 месяца равна 8%.
Требуется определить оптимальное
количество позиций
,
при котором снижение рыночной стоимости
собственного капитала финансовой
организации компенсируется денежным
потоком, генерируемым фьючерсными
контрактами.
Решение. Для примера 3 главы 5 мы получили:
,
,
,
,
лет,
лет.
Из
условий следует, что
года,
.
д.е.
д.е.
лет.
-695
Таким образом, нужно заключить фьючерсный контракт на продажу 695 облигаций.