8.8. Разложение общего риска финансового актива на систематическую и собственную составляющие

Рыночная модель позволяет разложить общий риск финансового актива на две составляющие: систематический риск и собственный риск. Систематический риск – это риск, связанный с макроэкономическими факторами. Собственный риск – это риск, связанный с особенностями эмитента финансового актива.

Дисперсия доходности финансового актива (по определению) равна

Из уравнения (64) и из предположения (1) рыночной модели вытекает, что . Следовательно,

(69)

Поскольку, согласно предположению (2) рыночной модели , из (69) следует, что

. (70)

Слагаемое описывает систематический риск, аописывает собственный риск финансового актива.

Покажем, что собственный риск диверсифицируем.

Пусть – некоторый портфель, состоящий изфинансовых активов, а,, – доли финансовых активов в портфеле.

Покажем, что в условиях рыночной модели для доходности портфеляимеет место равенство

, (71)

где

, (72)

, (73)

, (74)

причем для выполняются следующие два условия:

, (75)

. (76)

Умножив уравнение (64) на , и просуммировав полученные равенства по, получим:

. (77)

Равенство (71) очевидным образом следует из соотношения (77).

Докажем равенства (75), (76). Действительно, из формулы (74) и условий (1) и (2) рыночной модели следует, что

,

.

Замечание 13. Несложно показать, что параметры ,и случайное отклонение, для которых выполняются соотношения (71), (75) и (76), единственны.

Замечание 14. С помощью равенств (71), (75) и (76) несложно показать, что

. (78)

где – ковариация доходностей портфеляи рыночного портфеля. (Доказательство равенства (78) аналогично доказательству равенства (68).)

Из равенств (71), (75) и (76) следует, что

, (79)

Равенство (79) доказывается аналогично равенству (70).

Равенство (79) описывает разложение общего риска портфеля на систематическую и собственную составляющие.– это систематический риск, а– собственный риск портфеля.

Из формулы (74) следует, что

Итак, для дисперсии портфеля мы получили следующую формулу:

. (80)

С помощью формулы (8) докажем, что систематический риск диверсифицируем, т.е. при достаточно большом количестве видов финансовых активов в портфеле можно добиться того, чтобы дисперсия была достаточно малой.

Для простоты предположим, что доли ,, финансовых активов в портфелеодинаковы. Тогда,. Поставивв формулу (8), получим

Итак, мы получили следующее неравенство:

(81)

При достаточном большом количестве финансовых активов на рынке можно считать, что. Тогда (при) из неравенства (81) следует, чтопри.

Из сходимости прии из формулы (79) следует, чтопри. Поэтому в финансовом анализе принято считать что в достаточно хорошо диверсифицированном портфеле собственный риск пренебрежимо мал, и общий риск состоит только из систематической составляющей, т.е

. (82)

Общий риск

Систематический риск

Замечание 15. Подставив формулу (73) в равенство (82), получим

. (83)

Формулу (83) удобно использовать для решения задач оптимизации портфеля.

Общий риск