![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Общее представление об экономико-математическом моделировании
- •1.1. Определение экономико-математической модели
- •1.2. Классификация экономико-математических моделей
- •1.3. Основные этапы экономико-математического моделирования
- •2. Основы финансовой арифметики
- •2.1. Простой процент
- •Наращенная сумма при простом проценте
- •Текущая стоимость при простом проценте
- •Номинальная годовая процентная ставка
- •3. Математически методы анализа последовательностей платежей
- •3.1. Текущая стоимость последовательности платежей
- •3.2. Будущая стоимость последовательности платежей
- •3.3. Стоимость последовательности платежей в произвольный момент времени
- •4. Моделирование инвестиционных проектов
- •4.1. Дисконтирование денежных потоков инвестиционного проекта
- •4.2. Модель с постоянным процентным ростом свободных денежных потоков
- •4.3. Задача оптимального финансирования проекта
- •4.4. Задача оптимального выбора инвестиционных проектов
- •4.5. Анализ чувствительности денежных потоков проекта
- •4.6. Анализ безубыточности проекта
- •4.7. Влияние инфляции на денежные потоки проекта
- •4.8. Анализ финансового риска инвестиционного проекта
- •4.9. Имитационное моделирование денежных потоков проекта
- •5. Математические методы анализа платежей облигаций
- •5.1. Платежи облигаций
- •5.2. Доходность к погашению облигации
- •5.3. Текущая стоимость облигации
- •5.4. Продолжительность облигации
- •5.5. Чистые доходности
- •5.6. Использование чистых доходностей для оценки рыночной стоимости купонных облигаций
- •5.7. Синтетические бескупонные облигации
- •5.8. Описание оценки рыночной стоимости облигации в общем случае
- •5.9. Условия существования имитирующего портфеля и однозначности оценки рыночной стоимости облигации
- •5.10. «Чистые» коэффициенты дисконтирования, их нахождение и использование для оценки рыночной стоимости облигации
- •5.11. Нахождение чистых доходностей методом наименьших квадратов
- •5.12. Форвардные доходности
- •6. Моделирование процентного риска
- •6.1. Продолжительность и выпуклость портфеля облигаций
- •6.2. Чувствительность текущей стоимости портфеля облигаций к изменению доходности
- •6.3. Чувствительность собственного капитала финансовой организации к изменению доходности облигаций
- •6.4. Иммунизация будущих платежей от процентного риска
- •7. Моделирование кредитного риска
- •7.1. Использование линейной модели вероятности для оценки кредитного риска
- •8. Теория инвестиционного портфеля
- •8.1. Инвестиционный портфель и его основные характеристики
- •8.2. Диверсификация риска
- •8.3. Множество инвестиционных возможностей
- •8.4. Оптимизация инвестиционного портфеля
- •8.5. Множество инвестиционных возможностей при наличии безрисковой доходности
- •8.6. Оптимизация инвестиционного портфеля при наличии безрискового актива
- •8.7. Рыночная модель
- •8.8. Разложение общего риска финансового актива на систематическую и собственную составляющие
- •8.9. Модель оценки финансовых активов
- •9. Математические методы анализа финансовых производных
- •9.1. Основные виды финансовых производных
- •9.2. Рыночная стоимость форвардного контракта
- •9.3. Соотношение между рыночной стоимостью форвардного контракта и форвардной ценой базового актива
- •9.4. Форвардные контракты на покупку валюты
- •9.5. Форвардные контракты на процентные ставки
- •9.6. Фьючерсные контракты
- •9.7. Микрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов
- •9.8. Макрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов
5.8. Описание оценки рыночной стоимости облигации в общем случае
Пусть
на финансовом рынке m
видов облигаций, выплачивающих платежи
в моменты времени
.
(Индексi
соответствует виду облигации.) Обозначим
виды этих облигаций
.
Цены облигаций
известны и равны
.
Пусть
некоторая другая облигация
выплачивает платежи
также в моменты времени
.
Задача заключается в том, чтобы с помощью
цен облигаций
оценить рыночную стоимость облигации
.
Методика
оценки рыночной стоимости облигации
состоит в построении портфеля из
облигаций
(цена которых известна), выплачивающих
такие же платежи как и облигация
(т.е.
,
).
(Такой портфель будем называть имитирующим,
англ.replicating
portfolio.)
На эффективном финансовом рынке цена
имитирующего портфеля должна совпадать
с ценой облигации
.
Замечание. Мы предполагаем, что все рассматриваемые облигации одинакового качества.
Замечание. Под облигацией мы понимаем любой финансовый инструмент с фиксированными платежами (англ. fixed-income security).
5.9. Условия существования имитирующего портфеля и однозначности оценки рыночной стоимости облигации
Пусть
некоторый портфель
состоит из облигаций видов
.
Обозначим через
количество облигаций вида
в
портфеле. Тогда, во-первых, в моменты
времени
портфель генерирует денежные потоки
,
определяемые формулой
,
(23)
и,
во-вторых, цена
портфеля определяется формулой
.
(24)
При
оценке рыночной стоимости облигации
с
помощью (имитирующего) портфеля облигаций
видов
могут возникнуть две проблемы. Во-первых,
имитирующий портфель может не существовать,
и во-вторых, имитирующих портфелей может
быть несколько, причем их цена может
быть разной.
Найдем условия, при которых вышеописанные проблемы отсутствуют, т.е. во-первых, имитирующий портфель существует, и во-вторых, если он не единственен, то цены всех имитирующих портфелей равны.
Поскольку удобнее исследовать данные вопросы, используя матрицы и векторы, введем следующие обозначения.
,
,
,
.
(25)
Несложно
заметить, что существование имитирующего
портфеля для любой облигации
означает,
что для любого вектора платежей
должен существовать такой вектор
(количеств облигаций
в
портфеле), чтобы
,
или, что то же самое,
,
(26)
т.е.
множество значений матрицы
должно
совпадать со всем пространством
,
что, в свою очередь, равносильно тому,
чтобы ранг матрицы
был
равенn.
Итак,
необходимое и достаточное условие
существования имитирующего портфеля
для любой облигации
заключается
в равенстве ранга матрицы
количествуn
платежей облигаций. В дальнейшем будем
ссылаться на это условие как на условие
1.
Условие
1.
Ранг матрицы
платежей облигаций
равен количествуn
платежей этих облигаций.
Теперь
перейдем к вопросу об однозначности
оценки рыночной стоимости облигации
.
Очевидно,
что для однозначности оценки рыночной
стоимости облигации
необходимо и достаточно, чтобы любые
два разные портфели
и
(с соответствующими векторами
и
количеств облигаций видов
)
имитирующие облигацию
(т.е
),
стоили одинаково (т.е., чтобы
).
Легко
заметить, что это условие равносильно
следующему: для любых
и
,
таких что
справедливо
,
или, любого вектора
,
такого что
справедливо
,
т.е. вектор
должен быть ортогонален ядру матрицы
.
А
поскольку ядро матрицы
ортогонально
множеству значений матрицы
,
ортогональность вектора
ядру матрицы
равносильна
принадлежности вектора
множеству
значений матрицы
.
Итак
необходимым и достаточным условием
однозначности оценки рыночной стоимости
облигации
является
принадлежность вектора
множеству значений матрицы
.
В дальнейшем мы будем ссылаться на это
условие как на условие 2.
Условие
2.
Вектор
цен облигаций
,
принадлежит множеству значений матрицы
платежей этих облигаций.