7. Моделирование кредитного риска

7.1. Использование линейной модели вероятности для оценки кредитного риска

Линейная модель вероятности для оценки кредитного риска имеет вид:

, , (1)

где - вид показателя,,– номер наблюдения,,

- значение k-го финансового показателя для i-го наблюдения, ,, – коэффициенты регрессии,– случайное отклонение.

Показатели находятся с помощью финансовой отчетности заемщика, например:

, .

В модели предполагается, что для потенциального заемщика имеет место равенство, аналогичное равенствам (1), т.е.

, (2)

где - (известное) значениеk-го показателя потенциального заемщика.

Заметим, что

. (3)

С другой стороны, как следует из равенства (2):

. (4)

Из равенств (3) и (4) вытекает, что

. (5)

С помощью значений иметодом наименьших квадратов определяются оценкикоэффициентов(т.е. решается задача:).

Для потенциального заемщика строится прогнозное значение вероятности дефолта по формуле:

, (6)

Основным недостатком данной модели является то, что прогнозное значение вероятности дефолта может не принадлежать отрезку. Модели логит и пробит (которые мы рассмотрим ниже) позволяют избежать эту проблему.

(Как будет показано в следующем параграфе, в моделях логит и пробит где– функция, область значений которой – интервал , и для потенциального заемщика прогнозное значение вероятности дефолта полагается равным.)

2. Использование моделей логит и пробит для оценки кредитного риска

В моделях логит и пробит предполагается, что для некоторого (ненаблюдаемого) показателя дефолта выполнены равенства

, , (7)

для известных наблюдений, и равенство

(8)

для потенциального заемщика.

Причем без ограничения общности можно считать, что стандартные отклонения случайных ошибок иравны 1.

Обозначим через функцию распределения случайных ошибоки. В модели логит в качествевыступает функция логистического распределения:

, (9)

а в модели пробит – функция стандартного нормального распределения:

. (10)

В моделях логит и пробит, считается, что (наблюдаемые) показатели дефолта исвязаны с (ненаблюдаемыми) показателямииследующим образом:

(11)

(12)

Из (8) и (12) следует, что

(13)

Таким образом,

(14)

Заметим, что из (14) следует, что

(15)

Отметим, что для (известных) наблюдений имеют место равенства, аналогичные (14) и (15), т.е.

(16)

(17)

Оценки коэффициентовопределяются методом максимального правдоподобия.

В силу равенств (16) и (17) функция правдоподобия для моделей логит и пробит имеет вид:

. (18)

Легко показать, что формулу (18) можно записать в следующем виде:

. (19)

Оценки получаются в результате максимизации функции максимального правдоподобияпо параметрам.

Отметим, что максимизация функции правдоподобия эквивалентна максимизации логарифмической функции правдоподобия. (Напомним, что логарифмическая функция правдоподобия равна натуральному логарифму функции правдоподобия.)

Найдем логарифмическую функцию правдоподобия для моделей логит и пробит.

Прологарифмировав формулу (19), получим:

. (20)

Можно показать, что для моделей логит и пробит логарифмическая функция правдоподобия является вогнутой.

Для потенциального заемщика прогнозное значение вероятности дефолта полагается равным , где- (известное) значениеk-го показателя потенциального заемщика.

2. Дискриминантные модели оценки кредитного риска

   1. Модели, основанные на регрессии.

Наблюдения делятся на две группы: с дефолтом и без дефолта. Показателю i-го наблюдения () присваивается некоторое значение для наблюдений с дефолтом (одно и то же значение для всех наблюдений с дефолтом) и некоторое другое значение для наблюдений без дефолта (одно и то же значение для всех наблюдений без дефолта).

Таким образом,

Замечание 1. Выбор значений ине играет роли.

Предполагается, что имеет место уравнение регрессии

, , (21)

где - вид показателя,- значениеk-го показателя i-го наблюдения, ,, – коэффициенты регрессии,– случайное отклонение.

С помощью значений иметодом наименьших квадратов определяются оценкикоэффициентов(т.е. решается задача:).

Затем для каждого наблюдения находятся прогнозные значения по формуле:

. (22)

Обозначим через – количество наблюдений с дефолтом, через– множество индексовдля наблюдений с дефолтом, через– количество наблюдений без дефолта, через– множество индексовдля наблюдений без дефолта.

В каждой из двух групп находятся средние значения ипрогнозных значений:

, . (23)

Для потенциального заемщика находится прогнозное значение показателяпо формуле:

, (24)

где - (известное) значениеk-го показателя потенциального заемщика

Потенциального заемщика относят к той группе (с дефолтом или без дефолта), для которой значение показателя потенциального заемщика «ближе» (в некотором смысле) к среднему значениюгруппы. Для определения «близости»кможет использоваться, например, следующая мера:

. (25)

Здесь – выборочное стандартное отклонение показателядля группы, т.е

, . (26)

Таким образом, потенциального заемщика относят к первой группе (с большим кредитным риском), если , а ко второй группе (с малым кредитным риском), если.

Для определения, к какому значению ближе, удобно использовать так называемое граничное значениепоказателя. Это значение «равноудалено» оти, т.е. оно находится из следующего уравнения:

. (27)

Если, например, для определения близости используется формула (25), граничное значение находится по формуле:

. (28)

В случае, когда ,тогда и только тогда, когда, атогда и только тогда, когда, Следовательно, в этом случае потенциального заемщика относят к первой группе (с большим кредитным риском), если, а ко второй группе (с малым кредитным риском), если.

В случае, когда ,тогда и только тогда, когда, атогда и только тогда, когда, Следовательно, в этом случае потенциального заемщика относят к первой группе (с большим кредитным риском), если, а ко второй группе (с малым кредитным риском), если.

Частным случаем описанной выше дискриминантной модели является модель Альтмана. В этой модели прогнозное значение для потенциального заемщика находится по формуле:

. (29)

Здесь следующие финансовые показатели потенциального заемщика.

- отношение оборотного капитала к активам (оборотный капитал – это разница между краткосрочными активами и краткосрочными обязательствами);

- отношение нераспределенной прибыли к активам (нераспределенная прибыль – это прибыль до выплаты дивидендов);

- отношение прибыли до выплаты налогов и процентов к активам;

- отношение рыночной стоимости собственного капитала учетной стоимости долгосрочных обязательств;

- отношение выручки к активам.

Граничное значение в модели Альтмана равно 1,81. Если прогнозное значениедля потенциального заемщика меньше 1,81, то потенциального заемщика относят к группе с высоким кредитным риском.

2. Множественный дискриминантный анализ

На основании данных о выполнении заемщиками взятых на себя обязательств по выплате займов наблюдения делят на несколько групп.

Обозначим через число групп наблюдений, черези– соответственно, количество наблюдений и множество индексов в группе.

Для каждой группы находятся средние значения показателей,:

. (30)

Вектор называется центроидом группы.

Потенциального заемщика с финансовыми показателями относят к той группе, к центороиду которой «ближе» всего векторфинансовых показателей потенциального заемщика.

Для определения «близости» вектора к центроидуможет, например, использоваться следующая мера:

. (31)

Здесь – выборочное стандартное отклонение параметрав группе, т.е.

. (32)

Итак, потенциального заемщика относят к той группе, для которой минимально.

2. Временная структура кредитного риска

Качество облигаций определяется кредитным риском. Чем выше кредитный риск, тем хуже качество облигаций, и тем выше должна быть доходность облигаций.

Пусть на рынке имеется бескупонная облигация с номинальной стоимостью денежных единиц. Предположим, что номинал облигации либо выплачивается полностью в момент погашения, либо не выплачивается никогда. Обозначим черезвероятность выплаты номинала. Тогда– это вероятность дефолта.

0

Размер ожидаемого платежа в момент погашения облигации равен .

Пусть цена облигации в текущий момент времени равна . Обозначим черезэффективную доходность. (Эффективная доходностьнаходится из следующего уравнения:. Следовательно,.) В расчете на одну денежную единицу, вложенную в облигации данного вида, обещанный платеж составитденежный единиц, а ожидаемый платеж –д.е.

Пусть на рынке также имеются безрисковые бескупонные облигации с номинальной стоимостью , срок погашения которых совпадает со сроком погашения рассмотренных выше облигаций. (Напомним, что безрисковые облигации – это облигации, вероятность дефолта платежей которых равна нулю.) Для таких облигаций ожидаемый платеж в момент погашения совпадает с номиналом.

Пусть – цена безрисковой облигации в текущий момент времени. Обозначим, черезэффективную доходность безрисковых облигаций. (Эффективная доходностьнаходится из следующего уравнения:. Следовательно,.)

Определим вероятность дефолта с помощью доходностейи. Для простоты предположим, что инвесторы нейтральны по отношению к риску, т.е. для них имеет значение только размер ожидаемого платежа. В этом случае должно выполняться равенство:

. (33)

Действительно, если , то нейтральные к риску инвесторы будут избавляться от безрисковых облигаций и покупать рискованные облигации, что приведет к снижению цены на безрисковые облигации и увеличению цены на рискованные облигации, и, следовательно, доходность безрисковых облигаций увеличится, а рискованных облигаций – уменьшится. В случае, если, будет наблюдаться обратная картина. Поэтому, в конечном счете, доходностиипримут значения, для которых справедливо равенство (33).

Из равенства (33) вытекает, что

. (34)

Пример 1. Доходность рискованной облигации равна , а вероятность безрисковой облигации –. Требуется определить вероятность дефолта для рискованной облигации (считая, что инвесторы нейтральны к риску).

Решение. Итак, ,.

.

–это вероятность выплаты номинала рискованной облигации. Вероятность дефолта равна .

Рассмотрим общий случай. Пусть – временная структура чистых доходностей рискованных облигаций, а– временная структура чистых доходностей безрисковых облигаций. В расчете на одну денежную единицу, вложенную в рискованные бескупонные облигации со сроком погашения в конце периода, обещанный платеж составитд.е., а ожидаемый платеж составитд.е., где– вероятность выплаты в конце периода. В расчете на одну денежную единицу, вложенную в безрисковые бескупонные (возможно синтетические) облигации со сроком погашения в конце периода, обещанный платеж составитд.е. Следовательно, в случае, когда инвесторы нейтральны к риску, справедливо равенство:

. (35)

Отсюда следует, что

. (36)

В случае, когда на рынке отсутствуют рискованные бескупонные облигации, формулу (36) можно получить следующим образом.

Пусть чистые доходности рискованных облигаций получены с помощью облигаций с невырожденной матрицей платежей:

, . (37)

Здесь –k-й платеж облигации i-го вида, – цена облигацииi-го вида.

В случае, когда инвесторы нейтральны к риску, должны выполняться следующие равенства:

, . (38)

Равенства (38) означают, что цена инвестиционной стратегии, состоящей в покупке и продаже безрисковых облигаций и выплачивающей платежи ,, должна быть равной ценерискованной облигацииi-го вида.

Из уравнений (37) и (38) следуют равенства (36). (Действительно, подставив формулы (36) в равенства (38) получим равенства (37).)

Пример 2. Для второго периода чистая доходность рискованных облигаций равна 18%, а чистая доходность безрисковых облигаций – 12%. Требуется найти вероятность дефолта для платежей рискованных облигаций в конце второго периода.

Решение. Итак, ,.

.

–это вероятность выплаты платежей рискованных облигаций в конце второго периода. Вероятность дефолта для платежей рискованных облигаций в конце второго периода равна .

Найдем условные вероятности выплаты и дефолта в периоде при условии, что платежи были выплачены во всех предшествующих периодах. (Обозначим такую условную вероятность через). В соответствии с определением условной вероятности, вероятностьравна отношению вероятности выплаты платежей в периодах с первого поk-ый к вероятности выплаты платежей в периодах с первого по (k-1)-ый.

Предположим, что для рискованных облигаций платежи в каждом периоде могут быть выплачены только в том случае, когда были выплачены платежи во всех предшествующих периодах. Тогда вероятность выплаты платежей в периодах с первого по k-ый равна вероятности выплаты платежа в периоде, а вероятность выплаты платежей в периодах с первого по (k-1)-ый равна вероятности выплаты платежа в периоде. Следовательно, в этом случае

. (39)

Пример 3. Чистая доходность рискованных облигаций равна 15,8% для первого периода и 18% для второго периода. Чистая доходность безрисковых облигаций равна 10% для первого периода и 12% для второго периода. Требуется найти вероятность дефолта для платежа во втором периоде при условии, что платеж в первом периоде был выплачен.

Решение. Итак, ,,,.

, .

.

–это вероятность выплаты платежа в конце второго периода при условии, что платеж в первом периоде был выплачен. Вероятность дефолта для платежа во втором периоде при условии, что платеж в первом периоде был выплачен, равна .

Условная вероятность может быть также вычислена с помощью форвардных доходностей. Подставив формулу (36) в (37), получим:

. (40)

Поскольку и, из (28) следует, что

. (41)