![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Общее представление об экономико-математическом моделировании
- •1.1. Определение экономико-математической модели
- •1.2. Классификация экономико-математических моделей
- •1.3. Основные этапы экономико-математического моделирования
- •2. Основы финансовой арифметики
- •2.1. Простой процент
- •Наращенная сумма при простом проценте
- •Текущая стоимость при простом проценте
- •Номинальная годовая процентная ставка
- •3. Математически методы анализа последовательностей платежей
- •3.1. Текущая стоимость последовательности платежей
- •3.2. Будущая стоимость последовательности платежей
- •3.3. Стоимость последовательности платежей в произвольный момент времени
- •4. Моделирование инвестиционных проектов
- •4.1. Дисконтирование денежных потоков инвестиционного проекта
- •4.2. Модель с постоянным процентным ростом свободных денежных потоков
- •4.3. Задача оптимального финансирования проекта
- •4.4. Задача оптимального выбора инвестиционных проектов
- •4.5. Анализ чувствительности денежных потоков проекта
- •4.6. Анализ безубыточности проекта
- •4.7. Влияние инфляции на денежные потоки проекта
- •4.8. Анализ финансового риска инвестиционного проекта
- •4.9. Имитационное моделирование денежных потоков проекта
- •5. Математические методы анализа платежей облигаций
- •5.1. Платежи облигаций
- •5.2. Доходность к погашению облигации
- •5.3. Текущая стоимость облигации
- •5.4. Продолжительность облигации
- •5.5. Чистые доходности
- •5.6. Использование чистых доходностей для оценки рыночной стоимости купонных облигаций
- •5.7. Синтетические бескупонные облигации
- •5.8. Описание оценки рыночной стоимости облигации в общем случае
- •5.9. Условия существования имитирующего портфеля и однозначности оценки рыночной стоимости облигации
- •5.10. «Чистые» коэффициенты дисконтирования, их нахождение и использование для оценки рыночной стоимости облигации
- •5.11. Нахождение чистых доходностей методом наименьших квадратов
- •5.12. Форвардные доходности
- •6. Моделирование процентного риска
- •6.1. Продолжительность и выпуклость портфеля облигаций
- •6.2. Чувствительность текущей стоимости портфеля облигаций к изменению доходности
- •6.3. Чувствительность собственного капитала финансовой организации к изменению доходности облигаций
- •6.4. Иммунизация будущих платежей от процентного риска
- •7. Моделирование кредитного риска
- •7.1. Использование линейной модели вероятности для оценки кредитного риска
- •8. Теория инвестиционного портфеля
- •8.1. Инвестиционный портфель и его основные характеристики
- •8.2. Диверсификация риска
- •8.3. Множество инвестиционных возможностей
- •8.4. Оптимизация инвестиционного портфеля
- •8.5. Множество инвестиционных возможностей при наличии безрисковой доходности
- •8.6. Оптимизация инвестиционного портфеля при наличии безрискового актива
- •8.7. Рыночная модель
- •8.8. Разложение общего риска финансового актива на систематическую и собственную составляющие
- •8.9. Модель оценки финансовых активов
- •9. Математические методы анализа финансовых производных
- •9.1. Основные виды финансовых производных
- •9.2. Рыночная стоимость форвардного контракта
- •9.3. Соотношение между рыночной стоимостью форвардного контракта и форвардной ценой базового актива
- •9.4. Форвардные контракты на покупку валюты
- •9.5. Форвардные контракты на процентные ставки
- •9.6. Фьючерсные контракты
- •9.7. Микрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов
- •9.8. Макрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов
6.4. Иммунизация будущих платежей от процентного риска
Пример 4. Финансовая организация должна выплатить 150 000 д.е. через два года.
На финансовом рынке имеются трехлетние 20%-ые облигация номинальной стоимостью 100 д.е. Купонный период облигаций – 1 год, годовая эффективная доходность к погашению – 11,4% Требуется определить, сколько облигаций надо купить в текущий момент времени, чтобы получить 150 000 д.е. через 2 года.
Решение.
Обозначим через
требуемый платеж, а через
– срок требуемого платежа. В нашем
примере
д.е.,
года.
Временная диаграмма платежей облигации – следующая:
20
20 120
0 1 2 3
Обозначим
через
– количество облигаций в портфеле. Одна
облигация через год выплачивает 20 д.е.
Следовательно, через год портфель
выплачивает
денежных единиц. Эту сумму финансовая
организация вкладывает в покупку
облигаций.
Если
доходность к погашению облигаций за
год не изменится, то цена одной облигации
в начале второго года составит
д.е. Следовательно, финансовая организация
купит
облигаций. Таким образом, в начале
второго года портфель будет состоять
из
облигаций.
В
конце второго года портфель выплатит
д.е. купонных платежей. Кроме того, в
конце второго года финансовая организация
продаст портфель. Если доходность к
погашению облигаций к конце второго
года не изменится, цена одной облигации
составит
д.е. Поскольку в портфеле
облигаций, доход, который финансовая
организация получит в результате продажи
портфеля облигаций, составит
д.е. Таким образом, суммарный доход,
который фирма получит в конце второго
года, составит
д.е.
Поскольку, доход, который финансовая организация получит в конце второго года, должен равняться требуемому платежу, равному 150000 д.е, имеет место равенство:
.
Отсюда получим
.
В
условиях примера 4 доход, который получит
финансовая организация через два года,
можно найти по формуле:
.
Действительно,
.
Заметим,
что формула
совпадает с формулой (9) главы 2.
Имеет
место более общий результат: если
купонные платежи облигаций, выплачиваемые
до момента времени
,
реинвестируются в покупку облигаций,
а в момент времени
выплачиваются, во-первых, купонные
платежи (если они есть) и, во-вторых, все
облигации портфеля продаются, то
суммарный доход
составит:
. (24)
Эта формула совпадает с формулой (10) главы 2.
Формула
(24) имеет место, если, во-первых, доходности
к погашению всех видов облигаций входящих
в портфель, одинаковы, и во-вторых,
доходности к погашению остаются
постоянными до момента времени
включительно.
Предположим,
что в условиях примера 4 количество
.
В этом случае, как следует из решения
примера, если в течение двух лет,
доходность к погашению остается
постоянной (равной 11,4%), суммарный доход,
получаемый через два года, равен 150 000
д.е. (и, следовательно, он полностью
обеспечивает требуемый платеж
д.е.).
Теперь,
предположим, что доходность к погашению
меняется в течение первого года на
(и не меняется в течение второго года).
Тогда
.
В
случае, когда
.
В
случае, когда
.
Следовательно,
при
в случае, когда
,
д.е., а в случае, когда
,
д.е.
Таким образом, в условиях примера 4 процентный риск связан с повышением доходности к погашению облигаций. Однако, в некоторых случаях, процентный риск может быть связан с понижением доходности облигаций.
Попытаемся
найти условия, при выполнении которых
отсутствует процентный риск, связанный
как с повышением, так и с понижением
доходности облигаций. Для этого исследуем,
как будет меняться
при изменении доходности облигаций.
(Будем считать, что доходности к погашению
всех видов облигаций, входящих в портфель,
одинаковы, и они могут меняться только
до выплаты первого купонного платежа.)
Заметим,
что
.
Продифференцируем формулу (24) по
:
Итак,
мы доказали, что
Подставим эту формулу в формулу
.
Получим:
.
Отсюда имеем:
(25)
Из
формулы (25) следует, что процентный риск,
связанный как с повышением, так и с
понижением доходности облигаций,
отсутствует, если выполняется условие
,
т.е. продолжительность портфеля облигаций
равна сроку выплаты требуемого платежа.
(Если
,
то процентный риск связан с повышением
доходности облигаций, если
,
то процентный риск связан с понижением
доходности облигаций.)
Пример 5. Финансовая организация должна выплатить 150 000 д.е. через два года.
На финансовом рынке имеются трехлетние 20%-ые облигации с номинальной стоимостью 100 д.е., купонный периодом – 1 год и годовой эффективной доходностью к погашению – 11,4% . Также на финансовом рынке имеются однолетние бескупонные облигации с номинальной стоимостью 100 д.е. и годовой эффективной доходностью к погашению – 11,4%. Требуется построить портфель из трехлетних и однолетних облигаций, доход от которого через два года составит 150 000 д.е. и защищен от процентного риска.
Решение.
Продолжительность портфеля, состоящего
из облигаций двух видов, определяется
по формуле:
.
Поскольку, доход, получаемый через два
года, должен быть защищен от процентного
риска, должно выполняться условие:
.
Найдем продолжительность трехлетней облигации:
лет.
Продолжительность
однолетней бескупонной облигации –
один год:
год.
Заметим,
что
.
Следовательно (с учетом того, что
),
доли
и
трехлетних и однолетних облигаций в
портфеле находятся из системы уравнений:
(26)
Подставив
в (26)
,
и
,
получим
Решив
эту систему уравнений, получим:
и
.
Для
того, чтобы найти количества облигаций
в портфеле
и
,
вначале найдем рыночную стоимость
портфеля, рыночную стоимость трехлетних
и однолетних облигаций в портфеле и
цены облигаций в начальный момент
времени.
,
,
,
.
Теперь
найдем количества облигаций в портфеле
и
.
,
.