![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Общее представление об экономико-математическом моделировании
- •1.1. Определение экономико-математической модели
- •1.2. Классификация экономико-математических моделей
- •1.3. Основные этапы экономико-математического моделирования
- •2. Основы финансовой арифметики
- •2.1. Простой процент
- •Наращенная сумма при простом проценте
- •Текущая стоимость при простом проценте
- •Номинальная годовая процентная ставка
- •3. Математически методы анализа последовательностей платежей
- •3.1. Текущая стоимость последовательности платежей
- •3.2. Будущая стоимость последовательности платежей
- •3.3. Стоимость последовательности платежей в произвольный момент времени
- •4. Моделирование инвестиционных проектов
- •4.1. Дисконтирование денежных потоков инвестиционного проекта
- •4.2. Модель с постоянным процентным ростом свободных денежных потоков
- •4.3. Задача оптимального финансирования проекта
- •4.4. Задача оптимального выбора инвестиционных проектов
- •4.5. Анализ чувствительности денежных потоков проекта
- •4.6. Анализ безубыточности проекта
- •4.7. Влияние инфляции на денежные потоки проекта
- •4.8. Анализ финансового риска инвестиционного проекта
- •4.9. Имитационное моделирование денежных потоков проекта
- •5. Математические методы анализа платежей облигаций
- •5.1. Платежи облигаций
- •5.2. Доходность к погашению облигации
- •5.3. Текущая стоимость облигации
- •5.4. Продолжительность облигации
- •5.5. Чистые доходности
- •5.6. Использование чистых доходностей для оценки рыночной стоимости купонных облигаций
- •5.7. Синтетические бескупонные облигации
- •5.8. Описание оценки рыночной стоимости облигации в общем случае
- •5.9. Условия существования имитирующего портфеля и однозначности оценки рыночной стоимости облигации
- •5.10. «Чистые» коэффициенты дисконтирования, их нахождение и использование для оценки рыночной стоимости облигации
- •5.11. Нахождение чистых доходностей методом наименьших квадратов
- •5.12. Форвардные доходности
- •6. Моделирование процентного риска
- •6.1. Продолжительность и выпуклость портфеля облигаций
- •6.2. Чувствительность текущей стоимости портфеля облигаций к изменению доходности
- •6.3. Чувствительность собственного капитала финансовой организации к изменению доходности облигаций
- •6.4. Иммунизация будущих платежей от процентного риска
- •7. Моделирование кредитного риска
- •7.1. Использование линейной модели вероятности для оценки кредитного риска
- •8. Теория инвестиционного портфеля
- •8.1. Инвестиционный портфель и его основные характеристики
- •8.2. Диверсификация риска
- •8.3. Множество инвестиционных возможностей
- •8.4. Оптимизация инвестиционного портфеля
- •8.5. Множество инвестиционных возможностей при наличии безрисковой доходности
- •8.6. Оптимизация инвестиционного портфеля при наличии безрискового актива
- •8.7. Рыночная модель
- •8.8. Разложение общего риска финансового актива на систематическую и собственную составляющие
- •8.9. Модель оценки финансовых активов
- •9. Математические методы анализа финансовых производных
- •9.1. Основные виды финансовых производных
- •9.2. Рыночная стоимость форвардного контракта
- •9.3. Соотношение между рыночной стоимостью форвардного контракта и форвардной ценой базового актива
- •9.4. Форвардные контракты на покупку валюты
- •9.5. Форвардные контракты на процентные ставки
- •9.6. Фьючерсные контракты
- •9.7. Микрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов
- •9.8. Макрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов
5.10. «Чистые» коэффициенты дисконтирования, их нахождение и использование для оценки рыночной стоимости облигации
Напомним, что чистая доходность – это доходность бескупонной облигации.
Напомним,
что доходность
бескупонной облигации, цена которой в
текущий момент времени равнаP,
номинал F
которой выплачивается в момент времени
t,
находится из уравнения
,
(27)
т.е.
.
(28)
При
этом, величина, равная
,
– «чистый» коэффициент дисконтирования
(который мы будем обозначать
).
Заметим, что
,
(29)
,
(30)
Отметим
также, что чистая доходность
легко находится с помощью коэффициента
дисконтирования
:
.
(31)
Замечание. В дальнейшем будем использовать коэффициенты дисконтирования, а не чистые доходности.
В
случае отсутствия бескупонных облигаций
на финансовом рынке,, чистые доходности
понимаются как доходности синтетических
бескупонных облигаций. Несложно заметить,
что условие 1 является критерием
существования синтетических бескупонных
облигаций с "моментами погашения"
,
а условие 2 является критерием
единственности оценок рыночных стоимостей
таких облигаций. В дальнейшем будем
предполагать выполнение этих условий.
Обозначим
через
синтетическую
бескупонную облигацию с "моментом
погашения"
(
),
а через
– количество облигаций вида
в
портфеле
.
В соответствии с вышеизложенным,
количества
,
,
определяются из системыn
уравнений
.
(32)
где F– номинал облигации.
Отметим,
что, в силу условия 1, системы уравнений
(32) разрешимы относительно
,
.
Однако
,
,
определяются, вообще говоря, неоднозначно.
Обозначим
.
(33)
Тогда система уравнений (32) запишется в виде
,
(34)
где
через
обозначен вектор платежей синтетической
бескупонной облигации
с "моментом погашения"
.
(k-я
компонента вектора
равна номиналуF
облигации, а остальные компоненты равны
нулю.)
Обозначим
.
(35)
Тогда уравнения (34) можно записать еще компактнее:
,
(36)
где I – единичная матрица.
Обозначим
через
цену синтетической бескупонной облигации
(
).
В соответствии с вышеизложенным, она
определяется по формуле
.
(37)
Из
условия 2 следует однозначность
.
Обозначив
,
, (38)
формулы
(37) (),
можно записать в матричном виде:
,
или,
.
(39)
Обозначим
через
коэффициент
дисконтирования синтетической бескупонной
облигации
.
В соответствии с вышеизложенным,
коэффициент
определяется
из уравнения
,
т.е.
.
Замечание.
В силу условий 1 и 2, цены
синтетических бескупонных облигаций
,
а следовательно коэффициенты
дисконтирования
и
чистые доходности
,
существуют и определяются однозначно.
Обозначив
через
вектор
коэффициентов дисконтирования, уравнения
можно записать в векторном виде
,
(40)
а
формулы
в виде
.
(41)
На
практике коэффициенты дисконтирования
находятся
с помощью системы уравнений
.
(42)
С помощью введенных ранее обозначений систему (42) запишем в виде
.
(43)
Замечание. Очевидно, что условие 2 эквивалентно разрешимости уравнения (43), а условие 1 – единственности решения этого уравнения.
Таким
образом, при выполнении условий 1 и 2
система уравнений (42) однозначно разрешима
относительно коэффициентов
,
.
Покажем, что (при выполнении условий 1
и 2) коэффициенты
,
,
найденные из системы (42), совпадают с
коэффициентами, определенными по формуле
(41).
Пусть
вектор(единственное) решение уравнения (43).
Умножим равенство (43) слева на матрицу
:
.
Поменяем порядок умножения в левой
части этого равенства:
.
Подставим вместо выражения, стоящего
в скобках в левой части равенства, правую
часть равенства (36). В результате получим:
.
Заметим, что правая часть этого равенства
(в силу формулы (39)) равна вектору
.
Следовательно,
,
и
,
что и требовалось доказать.
Покажем,
что коэффициенты дисконтирования
,
,
удобно использовать для оценки рыночной
стоимости облигаций. А именно, покажем,
что сумма
дисконтированных платежей облигации
совпадает
с ценой
имитирующего портфеля. (Напомним, что
,
где
–количества
облигаций вида
в
имитирующем портфеле, которые находятся
из уравнения (26).)
Умножим
первое из равенств (26) справа на вектор
:
.
Поменяем порядок умножения в левой
части:
.
Поскольку (в силу равенства (43))
,
последнее соотношение примет вид:
,
что и требовалось доказать.