![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Общее представление об экономико-математическом моделировании
- •1.1. Определение экономико-математической модели
- •1.2. Классификация экономико-математических моделей
- •1.3. Основные этапы экономико-математического моделирования
- •2. Основы финансовой арифметики
- •2.1. Простой процент
- •Наращенная сумма при простом проценте
- •Текущая стоимость при простом проценте
- •Номинальная годовая процентная ставка
- •3. Математически методы анализа последовательностей платежей
- •3.1. Текущая стоимость последовательности платежей
- •3.2. Будущая стоимость последовательности платежей
- •3.3. Стоимость последовательности платежей в произвольный момент времени
- •4. Моделирование инвестиционных проектов
- •4.1. Дисконтирование денежных потоков инвестиционного проекта
- •4.2. Модель с постоянным процентным ростом свободных денежных потоков
- •4.3. Задача оптимального финансирования проекта
- •4.4. Задача оптимального выбора инвестиционных проектов
- •4.5. Анализ чувствительности денежных потоков проекта
- •4.6. Анализ безубыточности проекта
- •4.7. Влияние инфляции на денежные потоки проекта
- •4.8. Анализ финансового риска инвестиционного проекта
- •4.9. Имитационное моделирование денежных потоков проекта
- •5. Математические методы анализа платежей облигаций
- •5.1. Платежи облигаций
- •5.2. Доходность к погашению облигации
- •5.3. Текущая стоимость облигации
- •5.4. Продолжительность облигации
- •5.5. Чистые доходности
- •5.6. Использование чистых доходностей для оценки рыночной стоимости купонных облигаций
- •5.7. Синтетические бескупонные облигации
- •5.8. Описание оценки рыночной стоимости облигации в общем случае
- •5.9. Условия существования имитирующего портфеля и однозначности оценки рыночной стоимости облигации
- •5.10. «Чистые» коэффициенты дисконтирования, их нахождение и использование для оценки рыночной стоимости облигации
- •5.11. Нахождение чистых доходностей методом наименьших квадратов
- •5.12. Форвардные доходности
- •6. Моделирование процентного риска
- •6.1. Продолжительность и выпуклость портфеля облигаций
- •6.2. Чувствительность текущей стоимости портфеля облигаций к изменению доходности
- •6.3. Чувствительность собственного капитала финансовой организации к изменению доходности облигаций
- •6.4. Иммунизация будущих платежей от процентного риска
- •7. Моделирование кредитного риска
- •7.1. Использование линейной модели вероятности для оценки кредитного риска
- •8. Теория инвестиционного портфеля
- •8.1. Инвестиционный портфель и его основные характеристики
- •8.2. Диверсификация риска
- •8.3. Множество инвестиционных возможностей
- •8.4. Оптимизация инвестиционного портфеля
- •8.5. Множество инвестиционных возможностей при наличии безрисковой доходности
- •8.6. Оптимизация инвестиционного портфеля при наличии безрискового актива
- •8.7. Рыночная модель
- •8.8. Разложение общего риска финансового актива на систематическую и собственную составляющие
- •8.9. Модель оценки финансовых активов
- •9. Математические методы анализа финансовых производных
- •9.1. Основные виды финансовых производных
- •9.2. Рыночная стоимость форвардного контракта
- •9.3. Соотношение между рыночной стоимостью форвардного контракта и форвардной ценой базового актива
- •9.4. Форвардные контракты на покупку валюты
- •9.5. Форвардные контракты на процентные ставки
- •9.6. Фьючерсные контракты
- •9.7. Микрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов
- •9.8. Макрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов
9. Математические методы анализа финансовых производных
9.1. Основные виды финансовых производных
Финансовые производные – это финансовые активы, рыночная стоимость которых базируется на ценах других активов. Наиболее известными финансовыми производными являются форвардные контракты, фьючерсные контракты и опционы.
Форвардный контракт на покупку актива – это обязательство купить актив в заранее оговоренный (будущий) момент времени T по заранее оговоренной цене K (цене поставки).
Обозначим
цену актива, лежащего в основе форвардного
контракта, (базового актива) в момент
времени T
через
.
Очевидно, в конечный момент времениT
рыночная стоимость
форвардного контракта на покупку актива
по ценеK
определяется формулой
.
(1)
(Инвестор
может продать базовый актив в момент
времени
.)
Форвардный
контракт на продажу актива – это
обязательство продать актив в момент
времени T
по
цене K.
В конечный момент времени T
рыночная стоимость
форвардного контракта на продажу актива
по ценеK
определяется формулой
.
(2)
Фьючерсные контракты очень похожи на форвардные контракты. Основное различие между форвардными и фьючерсными контрактами состоит в том, что форвардные контракты не генерируют промежуточные денежные потоки, а форвардные контракты – генерируют. Фьючерсные контракты будут рассмотрены нами позже.
Европейский
опцион на покупку актива дает право на
покупку актива в момент времени T
по цене K.
Очевидно, опцион на покупку будет
реализован только в том случае, если
.
Следовательно, в конечный момент времениT
рыночная стоимость
опциона на покупку актива по ценеK
определяется формулой
.
(3)
Европейский
опцион на продажу актива дает право на
продажу актива в момент времени T
по цене K.
Очевидно, опцион на продажу будет
реализован только в том случае, если
.
Следовательно, в конечный момент времениT
рыночная стоимость
опциона на продажу актива по ценеK
определяется формулой
.
(4)
Американский
опцион на покупку актива дает право (но
не обязывает) на покупку актива в любой
момент времени
по
ценеK.
Американский
опцион на продажу актива дает право (но
не обязывает) на продажу актива в любой
момент времени
по
ценеK.
9.2. Рыночная стоимость форвардного контракта
Предположим,
что базовый актив не выплачивает
дивиденды и стоимость его хранения
равна нулю. Рыночная стоимость форвардного
контракта на покупку базового актива
в конечный момент времени
равна
.
Обозначим
через
рыночную
стоимость в начальный момент времени
форвардного контракта на покупку актива
в конечный момент времени
.
Методика нахождения
состоит в следующем.
Построим инвестиционную стратегию, имитирующую денежный поток (рыночную стоимость) форвардного контракта в момент времени Т . Такая стратегия состоит в покупке базового актива и продаже (короткой продаже, заимствовании) безрискового актива в начальный момент времени. (Такую инвестиционную стратегию будем называть синтетическим форвардным контрактом.)
|
t = 0 |
t = T |
Базовый актив |
- S |
ST |
Безрисковый актив |
|
- K |
Суммарный денежный поток |
|
ST - K |
Такая
стратегия состоит в покупке одной
единицы базового актива и продаже
(короткой продаже, заимствовании)
безрискового актива на
денежных
единиц в начальный момент времени.
(Здесь
–
непрерывно капитализируемая доходность
безрискового актива со сроком погашения
.)
Поскольку денежный поток, генерируемый
имитирующей стратегией в конечный
момент времени, такой же как и денежный
поток, генерируемый форвардным контрактом,
рыночная стоимость форвардного контракта
в начальный момент времени равна
денежному потоку (взятому с обратным
знаком) имитирующей стратегии в начальный
момент времени:
. (5)
Пример 1. Рассмотрим шестимесячный форвардный контракт на покупку акции, не выплачивающую дивиденды в течение этого периода. Пусть цена акции равна 25 д.е. в начальный момент времени, цена форвардного контракта равна 24 д.е., и безрисковая процентная ставка равна 10 % в год. Определить цену форвардного контракта и построить имитирующую стратегию (синтетический форвардный контракт).
Решение.
Имитирующая стратегия (синтетический форвардный контракт) состоит в покупке одной акции и заимствования безрискового актива на 22,83 д.е.
В случае, когда цена форвардного контракта не совпадает с рыночной стоимостью, определяемой по формуле (5), на рынке есть возможности получения арбитражной прибыли. Покажем как это можно сделать.
Обозначим
через
цену форвардного контракта в начальный
момент времени.
Предположим,
что
.
Тогда арбитражная стратегия состоит в
продаже форвардного контракта и покупке
синтетического форвардного контракта.
|
t = 0 |
t = T |
Форвардный контракт |
|
|
Базовый актив |
- S |
ST |
Безрисковый актив |
|
- K |
Суммарный денежный поток |
|
0 |
Предположим,
что
.
Тогда арбитражная стратегия состоит в
покупке форвардного контракта и продаже
синтетического форвардного контракта.
|
t = 0 |
t = T |
Форвардный контракт |
|
|
Базовый актив |
|
|
Безрисковый актив |
|
K |
Суммарный денежный поток |
|
0 |
Форвардная
цена базового актива – это такая цена
поставки K,
при которой рыночная стоимость контракта
в начальный момент времени равна нулю.
Поскольку
,
форвардная цена базового актива
определяется из уравнения
и равна
.
Форвардная цена базового актива
обозначается символомF.
Таким образом,
.
(6)
Определим
форвардную цену акции из примера 1:
Случай с промежуточным платежом
Предположим,
что базовый актив выплачивает промежуточный
платеж D
в
момент конечный момент времени
,
где
.
(В случае, когда
– это цена базового актива до выплаты
промежуточного платежа; в случае, когда
ST
– цена базового актива после выплаты
промежуточного платежа.)
Построим имитирующую инвестиционную стратегию.
|
t = 0 |
|
t = T |
Базовый актив |
- S |
D |
ST |
Безрисковый актив |
|
|
|
Безрисковый актив |
|
|
- K |
Суммарный денежный поток |
|
0 |
ST - K |
Такая
стратегия состоит в покупке одной
единицы базового актива, продаже
(короткой продаже, заимствовании)
безрискового актива со сроком погашения
на
денежных единиц и продаже безрискового
актива со сроком погашения
на
денежных
единиц в начальный момент времени.
(Здесь
–
доходность безрискового актива со
сроком погашения
.)
Поскольку денежный поток, генерируемый имитирующей стратегией в конечный момент времени, такой же как и денежный поток, генерируемый форвардным контрактом, рыночная стоимость форвардного контракта в начальный момент времени равна денежному потоку (взятому с обратным знаком) имитирующей стратегии в начальный момент времени:
. (7)
Из формулы (7) следует, что форвардная цена базового актива равна
(8)
Случай со стоимостью хранения
Пусть
стоимость хранения базового актива в
течение периода времени
равна
денежных единиц, причем плата за хранение
происходит в момент времени
.
Поскольку плату за хранение можно
рассматривать как промежуточный платеж
,
для определения рыночной стоимости
форвардного контракта и форвардной
цены базового актива можно использовать
формулы (7) и (8) (при
):
, (9)
(10)