9.5. Форвардные контракты на процентные ставки

Рассмотрим форвардный контракт на покупку безрисковой бескупонной облигации со сроком погашенияи номинальной стоимостьюд.е. в момент временипо ценед.е. (). Обозначим черезицены облигациив моменты времении, соответственно. Рыночная стоимость такого форвардного контракта в момент времениравна.

Построим инвестиционную стратегию, имитирующую денежный поток (рыночную стоимость) форвардного контракта в момент времени . Такая стратегия состоит в покупке облигациии продаже безрискового активасроком погашенияна суммув начальный момент времени. (Здесь– доходность активасо сроком погашения.)

	t = 0	t = T
Безрисковый актив	- S	ST
Безрисковый актив		- K
Суммарный денежный поток		ST - K

Поскольку денежный поток, генерируемый имитирующей стратегией в конечный момент времени, такой же как и денежный поток, генерируемый форвардным контрактом, рыночная стоимость форвардного контракта в начальный момент времени равна денежному потоку (взятому с обратным знаком) имитирующей стратегии в начальный момент времени:

. (14)

Из формулы (14) следует, что форвардная цена облигации(т.е. такая цена доставки, при которой) равна:

. (15)

Отметим, что инвестор, заключающий форвардный контракт на покупку облигации со сроком погашенияи номинальной стоимостьюв момент временипо цене, фактически одалживаетд.е. в момент временидо момента времени. Доходностьтакого кредитования определяется из уравнения:

. (16)

Из (16) следует, что

. (17)

Доходность при цене доставки, равной форвардной цене, называется форвардной доходностью облигации.

Таким образом, форвардная доходность находится из уравнения

, (18)

и равна

. (19)

Заметим, что

, (20)

где – доходность активасо сроком погашения.

Подставив формулы (15) и (20) в формулу (19), получим:

. (21)

Отметим, что формула (21) совпадает с формулой (50) главы 4.

Пример 4. Пусть доходность безрисковых облигаций со сроком погашения два месяца равна 10%, а облигаций со сроком погашения три месяца – 10,4%. Требуется определить рыночную стоимость форвардного контракта на покупку через два месяца облигации со сроком погашения через три месяца и номинальной стоимостью 100 д.е. по цене 99 д.е., построить имитирующую стратегию, найти форвардную процентную ставку и форвардную цену базового актива.

Решение. Итак, года,,года,,д.е.,д.е.

Вначале найдем цену облигации со сроком погашения через три месяца и номинальной стоимостью 100 д.е.

д.е.

Теперь мы можем найти рыночную стоимость форвардного контракта.

д.е.

Имитирующая стратегия состоит в покупке облигации со сроком погашения через три месяца за 97,43 д.е. и продаже облигаций сроком погашения через два месяца на сумму 97,36 д.е. в начальный момент времени.

Найдем форвардную процентную ставку и форвардную цену базового актива.

,

д.е.

9.6. Фьючерсные контракты

Длинная позиция – обязательство купить актив, короткая позиция – обязательство продать актив (в момент времени ).

Введем следующие обозначения:

–фьючерсная цена базового актива в момент времени (в конце дня),;

–фьючерсная цена базового актива в начальный момент времени (в начале первого дня).

В конечный момент времени фьючерсная цена базового активасовпадает с текущей рыночной ценой:

. (22)

При заключении фьючерсного контракта инвестор обязан открыть фьючерсный счет (margin account).

В момент времени происходит следующая процедура. В случае, когда, со счета продавца снимаетсяденежных единиц и переводится на счет покупателя. В случае, когда, со счета покупателя снимаетсяденежных единиц и переводится на счет продавца. Эта процедура называется клирингом (marking to the market).

Итак, в момент времени денежный поток покупателя равен, а денежный поток продавца равен.

Суммарный денежный поток покупателя равен

, (23)

а суммарный денежный поток продавца равен

. (24)

Поскольку конечный момент времени фьючерсная цена базового активасовпадает с текущей рыночной ценой, суммарный денежный поток покупателя равен

, (25)

а суммарный денежный поток продавца равен:

. (26)

В момент исполнения фьючерсного контракта покупатель обязан купить, а продавец обязан продать базовый актив по текущей рыночной цене.

Заметим, что суммарные денежные потоки покупателя и продавца совпадают с с соответствующими денежными потоками форвардного контракта с ценой поставки . (См. выражения (1), (2).)

Фьючерсный контракт можно закрыть раньше срока исполнения , заключив обратную сделку.

Предположим для определенности, что у инвестора открыта длинная позиция. Если он в момент времени открывает короткую позицию, то его денежный поток в момент временисоставил бы

, (27)

и в конечный момент времени он должен был бы купить и продать один и тот же базовый актив по одной и той же цене.

Поэтому, при заключении обратной сделки (открытии противоположной позиции), расчетная палата, закрывает позицию инвестора (вместо того, чтобы открыть противоположную позицию).

При закрытии позиции в момент времени (раньше срока исполнения), суммарный денежный поток инвестора составит

(28)

денежных единиц.

Отметим, что абсолютное большинство фьючерсных контрактов закрываются раньше срока исполнения (с помощью заключения обратной сделки).