Лекции по ЧМ и ТВ

", 0 < " < . Этот интеграл получится, если взять интеграл из

предложения 24 заменить в нем y íà y сложить с самим собой и поделить на 2.

4) При любом " > 0

"

Функция y2 sin1 y2

грал эквивалентен интегралу (IV.6) согласно лемме Римана.

По этой же причине эквивалентность (IV.8) сохранится, если под знак интеграла добавить произвольный множитель вида 1 + y a(y) с

непрерывно дифференцируемой в окрестности нуля функцией a: 5) Полагая f = 1, получаем:

84 Глава IV. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ ЛАПЛАСА

Отметим аналогию с рядами. Формула (IV.9) подобна формулам Эйлера Фурье для вычисления коэффициентов. Она вычисляет плотность меры, с которой экспонента ei x интегрируется в разложении

функции (IV.10). Роль дискретного n играет непрерывное , сумма

заменяется интегралом.

Прямое и обратное преобразования Лапласа (1812) имеют вид:

1

Интегрирование в комплексной плоскости здесь происходит по вертикальной прямой, иначе говоря, d p = i dp2, но, пользуясь теоремой Коши, контур интегрирования можно деформировать.

Замечание. Л. Эйлер пользовался преобразованием Лапласа еще в 1737 году, за 12 лет до рождения маркиза.

Когда интегралы сходятся, преобразования существуют. Так как оба преобразования обозначены одинаково, различать их будем по аргументам и p.

Задача на полупрямой [0; 1) с условием убывания на бесконечности:

P [y] = y00 p2 y; = 0 jyj ! 0; когда x ! 1 (IV.14)

имеет собственные функции y = e p x при комплексных p c положительной вещественной частью.

Функция f(x) называется оригиналом, ее преобразование Лапласа

L[f](p) = fb (p) изображением. Очевидно, преобразование Лапла-

са это преобразование Фурье немного улучшенной функции. Ее ограничили на положительную полуось и умножили на убывающую экспоненту. Поэтому формула обращения (IV.12) непосредственно вытекает из формулы обращения для преобразования Фурье.

Докажем последнюю. Ее можно вывести из формулы разложения функции в ряд Фурье, и можно доказать независимо.

Первый способ. Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема и равна нулю вне промежутка [ l; l]. Разложим ее на этом промежутке в ряд Фурье по экспонентам ei kx=l. Согласно фор-

мулам Фурье (IV.3) коэффициенты ряда равны ck = 1=(2l) fb ( k) ïðè k = k=l. В предложении 29 доказывается, что из-за наличия двух интегрируемых производных у f ее преобразование Фурье

Прямое доказательство. От функции f нужно взять последова-

тельно два интеграла прямое и обратное преобразования Фурье и доказать, что результатом будет снова f. Если поменять порядок

интегрирования, то интеграл по d от экспоненты легко возьмет-

ся, но будет, к сожалению, расходящимся. Чтобы это препятствие одолеть, можно приблизить подынтегральную функцию функцией, абсолютно интегрируемой на плоскости x; , например, так:

0

11

ZZ

=g(x y) e(x y) i d(x y) f(y) ey i dy =

Z Z

= g(z) e(z) i dz f(y) ey i dy

fb( ) = 2 fe( ), то первая формула получится, если к

обеим частям второй формулы применить преобразование Фурье и заменить функции f è g на обратные преобразования Фурье.

i. выводится из ii., а ii. из (IV.3). Таким образом, экспоненты

ортогональны относительно бесчисленного множества скалярных произведений:

Z

(f; g) = Re f(x)g(x) (x) d x

Коэффициенты Фурье можно вычислять с помощью любого из них:

ck[f] = (f; ei k x) . В частности, в формулах Эйлера Фурье можно интегрировать по периоду с любого места.

Пример 21. Преобразование Фурье гауссовой функции f = e x2 :

С помощью свойств 1) и 2) получаем уравнение

Чтобы вычислить последний интеграл, можно возвести его в квадрат и перейти к полярным координатам в двойном интеграле.

Введя положительный параметр a, получим чуть более общую формулу:

4Операционное исчисление

С помощью разложения функций в ряды Фурье и преобразований Фурье и Лапласа можно решать и исследовать дифференциальные уравнения. Термин операционное исчисление закрепился за применением преобразования Лапласа к обыкновенным уравнениям с постоянными или полиномиальными коэффициентами на полупрямой.

Решение уравнения на прямой, очевидно, можно получить, склеив решения на ее половинах. Преобразование Фурье применять в этом случае затруднительно, так как типичные решения экспоненциально растут на бесконечности, а преобразования Лапласа как раз применимо к таким функциям.

Применим преобразование Лапласа к обеим частям общего уравнения с постоянными коэффициентами. Разумеется, правая часть должна допускать это применение. Приведем схему вычислений.

предложения 30. Если задаться нулевыми начальными данными, это слагаемое обратится в нуль. В общем случае получаем формулу:

Изменим порядок интегрирования в интеграле от f и заменим оператор Q его общим видом:

x

0

Получилась формула общего решения неоднородного уравнения, точнее, формула решения задачи Коши. В ней через обратное преобразование Лапласа от рациональной функции с характеристи- ческим многочленом в знаменателе выражено и частное решение y0в виде интегрального оператора от правой части в точности как в методе вариации постоянных, и общее решение однородного уравнения, в котором данные Коши играют роль произвольных постоянных. Заметим, что интегральный оператор применим к любой правой части (конечно, интегрируемой), а не только к допускающей преобразование Лапласа, поскольку прямое и обратное преобразования сократились. Следует иметь в виду, что частное решение этой формулы может отличаться от частных решений методов подбора и вариации постоянных на решения однородного уравнения.

Итак, нужно уметь вычислять обратное преобразование Лапласа от рациональных функций. Чтобы этому научиться пополним список формул предложения 30. Эти формулы показывают, что без вы- числения корней характеристического уравнения и здесь не обойтись.

Предложение 32.

Первое свойство легко выводится из 3) предложения 30, второе

из определения, третье из первых двух. Остальные из предшествующих. Ясно, что обратное преобразование Лапласа любой рациональной дроби можно получить из формул 1), 2), 3), разложив ее на простейшие. Формулы 4), 5), 6) иллюстрируют этот факт.

Решение однородного оригинального уравнения можно представить интегралом

Z

z = (p 1) 2 e p2=2 p+p x dp;

где контур может быть выбран с большой степенью произвола. Например, если взять окружность с центром в 1, то по теореме о вычетах получим решение z = (x 2) ex

Второе решение однородного уравнения элементарного выражения не имеет.

4.1Операционное исчисление и уравнения с частными производными

Применим преобразование Лапласа по времени к задачам для уравнений Даламбера и теплопроводности. Получаются следующие краевые задачи:

Уравнение Даламбера.

p2 ub a2 ubxx p'1 '2 = fb

ubx(0; p) + ub(0; p) = c1(p)

ubx(l; p) + ub(l; p) = c2(p)

Уравнение теплопроводности.

p ub a2 ubxx '1 = fb

ubx(0; p) + ub(0; p) = c1(p)

ubx(l; p) + ub(l; p) = c2(p)

Этот метод не требует предварительного обнуления граничных условий. Формула решения содержит обратное преобразование Лапласа. Если это преобразование удобно исследовать или можно вычислить, то метод можно применить вместо того, чтобы раскладывать в ряд Фурье по пространственным переменным.

5Уравнения математической физики

Уравнение с частными производными включают в эту группу, если оно моделирует математически какое-либо физическое или природное явление. Границы группы не очень отчетливы. Исследование уравнений моделей может привести к уравнениям, которые сами уже не описывают никакое явление. Например, преобразования Лапласа неизвестных амплитуд колебаний или температуры (п. 4.1) не относятся к числу наблюдаемых физических величин. Как правило уравнения сопровождаются условиями на границах области определения решения; эти условия могут тоже быть уравнениями, но могут выражаться и иначе: неравенством или асимптотикой.