Лекции по ЧМ и ТВ

произведении = 1 2 ìåðà = 1 2 = 1 2 сначала опреде- ляется на подалгебре порожденной подмножествами вида (A1 A2);

Ak 2 Bk : (A A2) = 1(A1) 2(A2). Затем она пополняется.

Так из длины (меры Жордана на прямой) d x получается площадь dx dy и объем dx dy dz.

раМожновэтом случаерассматриватьпорождаетсяи бесконечныемножествамипроизведениявида Q мер, подалгеб- Ak, ãäå Ak 2 Bk

k

è (Ak) = 1 ïðè âñåõ k за исключением конечного числа.

Пусть даны пространства с мерами 1 è 2. Отображение мно- жеств u: 1 ! 2 называется измеримым, если прообраз каждого множества из B2 измерим, то есть, принадлежит B1. Говорят,

÷òî ìåðû 1, 2 и измеримое отображение u согласованы, если2(A) = 1(u 1(A)) 8 A 2 B2. Если к тому же алгебра B2

состоит из всех подмножеств 2 с измеримыми прообразами: B2 = fAju 1(A) 2 B1g, òî ìåðó 2 называют образом èëè ïðÿ-

мым образом меры 1:

Из этого определения прямого образа меры следует, что если есть отображение множеств u: 1 ! 2 è íà 1 задана мера, то ее можно

перенести на 2 в виде прямого образа. Мера 1 в этой ситуации называется обратным образом меры 2: 1 = u 2. Обратный образ заданной меры не всегда существует по причине, указанной в заме- чании. Построить обратный образ меры можно в том случае, когда â -алгебре B2 можно найти порождающее ее семейство множеств

с непересекающимися прообразами в B1 (как в примере 55). Если1 2 è u вложение, то обратный образ меры 2 называется

ограничением и тогда 1(A) = 2(A \ 1).

Замечание. Естествен вопрос: почему измеримым отображением не назвать то, которое отображает измеримое множество в измеримое? Это от- части объясняется тем простым свойством отображений, что если множества не пересекаются, то и их прообразы не пересекаются: если A \ B = ?, то

u 1(A) \ u 1(B) = ?. Для образов это не так. Это позволяет определить прооб-

раз -алгебры B2 и сравнить его с алгеброй B1.

Проективный предел мер. Пусть имеется совокупность множеств, на всех конечных произведениях которых заданы меры. Если образ меры при любом отображении проекции (с возможной перестановкой сомножителей) совпадает с заданной мерой, то система этих мер называется проективной. Мера на бесконечном произведении пространств проективной системы называется проективным пределом мер, если ее проекции на все конечные произведения пространств совпадают с заданными мерами.

Полезно сформулировать это определение с привлечением математической символики. Проективной системой мер называется сово-

теграл Римана, можно представить в виде предела интегральных сумм, однако совсем другого вида:

Z

Отличие от сумм Римана состоит в том, что на бесконечно малые промежутки разбивается не область определения функции, а ее область значений. Это позволяет уменьшить влияние на поведение интегральной суммы скачков функции. Интеграл по мере Лебега называется интегралом Лебега. Интеграл Лебега обладает всеми свойствами интеграла Римана и еще некоторыми. Справедлива теорема Лебега о переходе к пределу под знаком интеграла.

Предложение 68. Пусть f(x) = lim fn(x), jfn(x)j g(x) и все функции fn и g интегрируемы. Тогда f тоже интегрируема и

Z Z

f(x) d = lim fn(x) d

Эта теорема есть просто переформулировка условия счетной аддитивности меры для специального случая. Покажем это. Представим

функцию f как предел неубывающей последовательности (как ниж-

ний предел) f = lim gn, gn(x) = inf fm(x). Тогда интеграл от f будет

m n

равен мере множества S

f(x; y); gi(x) < y gi+1(x)g счетного объ-

единения непересекающихся множеств плюс интеграл от g1. Îñòà-

gn интегрируема. Это следует из того, что множество, мера которого равна интегралу от суммы функ-

1

öèé gn +g, есть счетное пересечение: Tf(x; y); g(x) < y fi(x)g:

i=n

Вычислять многомерные интегралы как повторные позволяет теорема Фубини.

Предложение 69. Пусть функция f(x; y) интегрируема по мере d (x) d (y). Тогда почти при всех x существует функция

Z ZZ Z

g(x) = f(x; y) d (y) è f(x; y) d (x) d (y) = g(x) d (x)

Поясним, что для корректности определения последнего интеграла можно либо определить как-нибудь функцию g(x) òàì, ãäå îíà

неопределена, либо этот интеграл брать по ее области определения. Результат вытекает из определений произведения мер и интеграла.

На множестве ограниченных функций понятия измеримой и интегрируемой функции совпадают. Непрерывные функции измеримы, поскольку в этом случае прообраз открытого множества открыт, а измеримые множества на прямой порождаются открытыми.

204 Глава VII. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ

Говорят, что мера 2 на имеет плотность r(!) относитель-

íî ìåðû 1 на том же , если функция r(!) неотрицательна, 1- интегрируема и выполняется тождество по множествам A :

Z

2(A) = r(!) d 1(!). Когда говорят о плотности, не указывая

A

относительно какой меры, подразумевают, что относительно меры Лебега.

Åñëè íà 1 è 2 имеются меры и отображение w с ними согласовано, то очевидно:

ZZ

f d 2 = w f d 1 (VII.6)

Пусть отображение w измеримо и g измеримая функция на 1. Определим функционал w g на множестве 2-измеримых функций,

Z

полагая w g[h] = g h(w) d 1. Если найдется функция f íà 2,

посредством которой этот функционал можно представить в виде интеграла по 2:

ZZ

fh d 2 = g h(w) d 1; (VII.7)

то эту функцию и считают прямым образом функции g: f = w g. Функция f может быть не определена однозначно, ее обратный об-

раз может не совпадать с g, равно как и прямой образ от обратного

образа функции f может с f не совпасть. Но если отображение согласовано с мерами, то w [w [f]] = f.

Пример 50. Пусть y = w(x) дифференцируемая функция с отличной от нуля производной в каждой точке, x; y 2 R. Тогда существует обратная функция

x = v(y). Согласованными с этим отображением мерами будут, например, d y и jw0(x)j dx, а также dx и jv0(y)j dy. Обе формулы (VII.6) и (VII.7) станут формулой замены переменных под знаком интеграла:

ZZ

f(y) dy = f(w(x))jw0(x)j dx

Пример 51. Пусть 1 = Rx, d 1 = dx мера Лебега, 2 = R2yz, w(x) = (x; 0) вложение вещественной прямой в плоскость. Возьмем в каче-

ñòâå 2 образ меры 1. Тогда алгебра B2 будет состоять из всех подмножеств плоскости, пересечение которых с осью абсцисс измеримо на оси. Сама мера

2 допускает представление с обобщенной плотностью d 2 = (z) dy dz. Тогда w [f(y; z)] = f(x; 0), а прямым образом измеримой функции g(x) может служить

любая функция f(y; z), удовлетворяющая условию f(x; 0) = g(x).

Если в качестве алгебры B2 â 2 взять цилиндрические множества вида B = A Rz, A Ry, òî ìåðó 2 можно определить равенством d 2 = dy,

Обратный образ функции устроен просто: w [f(z)] = f(x). Отображение будет

ZZ

=g(x; y)h(x)p(x; y) dx dy, тождественного по h. Решение должно почти всюду

когда знаменатель отличен от нуля. При равном нулю знаменателе ее можно положить чему угодно, но при этом требуется, чтобы множество нулей знаменателя имело нулевую меру. Ясно, что w [w [f(z)]] = f(z) почти всюду. Функцию

g можно рассматривать как плотность меры, может быть, обобщенной, тогда f будет плотностью образа этой меры.

Если на образе задать меру Лебега, d 2(z) = dz, то уравнение для прямого

Пример 53. Пусть 1 = Rxy, d 1 = p(x; y) dx dy, 2 = Rz, 2 = 1 , z = w(x; y) отображение плоскости на прямую, заданное измеримой функцией w. В этом случае w [f(z)] = f(w(x; y)). Мера прообраза любого множества

Это при g = 1 дает, во-первых, выражение прямого образа меры:

щую интеграл от измеримой функции g(x; y) по множеству уровня w(x; y) = z

другой измеримой функции w(x; y).

Пример 54. Используя обобщенные функции, можно формулы предыдущего примера записать без помощи пределов, существование которых всегда проблематично, путем разложения измеримого отображения на вложение и

проекцию. Вложим плоскость Rxy в трехмерное пространство Rxyz, положив z = w(x; y). Тогда образ 3 меры p(x; y) dx dy при этом отображении

=h(x; y; w(x; y))p(x; y) dx dy = = h(x; y; z) (z w(x; y))p(x; y) dx dy dz

и будет, следовательно, равен (z w(x; y))p(x; y) dx dy dz. После этого проек-

Пример 55. Пусть 1 = Rx, d 1 = r(x) dx, y = y(x) измеримое отоб-

B2 = y B3, 2(y (A)) = 3(A), 8A 2 B3. Тогда прямой образ 3-измеримой функции g будет 2-измеримой функцией f.

Например, рассмотрим отображение y в множество из двух точек f0; 1g,

3(0) = p, 3(1) = q. Тогда B2 состоит из множеств: 1, ?, A = y 1(0), A с мерами p + q, 0, p, q. Измеримыми функциями на B2 будут лишь функции,

Тождественное отображение 1 â 2 будет согласовано с мерами, если p = 1(A),

q = 1(A).

5.2.1Интеграл Лебега Стильтьеса.

Пусть z = g(x) неубывающая вещественная функция веществен-

ной переменной. Тогда существует также неубывающая обратная функция x = h(z). Обе функции могут иметь не более чем счетное

множество точек разрыва скачков. Скачки функции g это участки постоянства функции h и наоборот. Обозначим через = (x) прямой образ меры Лебега dz относительно отображения h:

= h ( dz); d (x) = ( dx) = ((x; x + dx)) =

=g(x + dx 0) g(x + 0) = dg(x)

Интегралом Лебега Стильтьеса от функции y = f(x) ïî dg(x)

называется интеграл от функции f(x) по мере d . Он совпадает с интегралом от сложной функции f(h(z)) по мере Лебега dz:

Z Z Z

f(x) dg(x) = f(x) d = f(h(z)) dz

Если неубывающая функция отображает отрезок на отрезок, то и интегралы превращаются в интегралы по отрезкам.

Любую неубывающую функцию g можно представить в виде суммы g = g1 + g2, в которой g1 непрерывна, а g2 ступенчатая и обе

Здесь мера в первом интеграле будет непрерывна относительно меры Лебега, а во втором сингулярна. Иначе говоря, второй интеграл равен сумме по точкам разрыва функции g:

Z

P

f(x) dg2(x) = f(xj) g(xj)

Определение интеграла Лебега Стильтьеса очевидным образом распространяется на ситуацию, когда функция g невозрастающая

и когда она есть сумма неубывающей и невозрастающей функций. Класс таких функций совпадает с классом функций ограниченной вариации (ограниченного изменения).

Мера Лебега Стильтьеса имеет плотность, если функция g äèô-

ференцируема. Обратно, если мера Лебега Стильтьеса имеет плотность, то эта плотность называется слабой производной функции g.

Таким образом, символ dg здесь совпадает с дифференциалом только когда функция g дифференцируема.

ЛИТЕРАТУРА

1.Суворов А.В. Наука побеждать. http://ldn-knigi.lib.ru/R/SuvPobet.htm http://adjudant.ru/suvorov/suvorov03.htm

2.Фонвизин Д.И. Послание к слугам моим Шумилову, Ваньке и Петрушке. http://www.rvb.ru/18vek/fonvizin/01text/vol1/02poetry/007.htm

3.Петр Ершов. Конек-горбунок. http://sheba.spb.ru/libra/ershov_konek.htm

4.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 1,2, М.: Наука, 1985. 432 с., 560 с.

5.Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М: Лаборатория базовых знаний, 2000. 624 с.

6.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М: Высш. шк., 1998. 479 с.

7.Рудин У. Основы математического анализа. СПб.: "Лань", 2004. 320 с.

8.Рудин У. Функциональный анализ. СПб.: "Лань", 2005. 448 с.

9.Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного. СПб.: "Лань", 2002. 688 с.

10.Крамер Гаральд, Математические методы статистики. М. Мир, 1975. 650 с.