Лекции по ЧМ и ТВ

162 Глава VI. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

H0 : r = cor(X; Y ) = 0, оценивают значимость значения выборочно-

го коэффициента корреляции rn = corn(X; Y ). Если величины распределены нормально по плоскости, то проверка осуществляется с помощью критерия Питмена (1939):

p p

T = rn n 2= 1 rn2

Статистика T имеет распределение Стьюдента с n 2 степенями сво-

боды, в чем можно убедиться таким же рассуждением как на с. 130 и 154. Необходимо еще дать определение многомерного нормального распределения. Его плотность задается нормированной экспонентой pQ(x) = a 1 e Q, ãäå Q(x1; : : : ; xn) произвольный многочлен вто-

рой степени с положительно определенной квадратичной формой в старших степенях. Коэффициенты многочлена Q, как и в одномер-

ном случае выражаются через числовые характеристики величин. Например, в двумерном случае ( mx = M(X) è ò. ä.):

a = 2 x y 1 r

Конкурирующая гипотеза принимается равной H1 = r 6= 0, êðè-

тическую область определяет неравенство jT j > tr, в котором tr ищется в таблице критических точек распределения Стьюдента по числу степеней свободы k = n 2 и уровню значимости .

5Вопросы и задачи с решениями

1.Точечные и интервальные оценки неизвестных параметров распределения. (с. 199-207, 146-156)

2.Распределение 2 и его применение для проверки гипотез. (с. 199-207, 156-160)

3.Распределение Стьюдента и его применение для оценки параметров нормального распределения. (с. 199-207, 153-156)

4.Независимость статистики Колмогорова от искомого распределения. Применение критерия Колмогорова. (с. 199-207, 156-160)

5.Корреляционный анализ. Проверка гипотезы значимости статистической связи выборочных данных. (с. 199-207, 114-118, 128-131, 161-162)

6.Метод наименьших квадратов и линейная регрессия. (с. 199-207, 161-161)

1. Измерение расстояния между внутренними краями подшипников на валах 20 роторов привело к вариационному ряду 528; 529; 529:5; 530 (мм) с частота-

ми 3; 9; 7; 1. Полагая, что варианты распределены нормально, найти с надежностью 0:999 доверительный интервал для их математического ожидания, используя распределение Стьюдента.

Ðåшение. Руководствуемся с.150 -153.

Ответ: x = 529, s = 0:549, t = 3:88, = 529 0:48.

2. Коллекционер измерил длину деревянного бруска шестью ученическими линейками, изготовленными в разные годы различными фабриками, и получил

вариационный ряд 278; 279:5; 280; 280:5; 281 (мм) с частотами 1; 1; 2; 1; 1. Прове-

рить гипотезу о нормальном распределении этих вариант при уровне значимости 0:05 с помощью критерия Пирсона.

Ðåшение. Руководствуемся с. 158.

X = 279:8, Sn = 1:04, Разобьем область значений длины бруска на 5 отрезков точками Xn: 278:7, 279:7, 280:2, 280:7. Нормированные и центрированные

0:865. Выпишем значения функции Лапласа в этих точках: ( (Xn)) = 0:355,0:038, 0:151, 0:306. Вероятности попадания длины в соответствующие проме-

жутки: 0:5 0:355 = 0:145, 0:317, 0:189, 0:155, 0:194. Наконец, теоретические

частоты n0n: 0:145 6 = 0:87, 1:9, 1:13, 0:93, 1:16.

2 = (1 0:87)2=0:87 + 0:426 + 0:67 + 0:005 + 0:002 = 1:12.

Положим r = 2, тогда k = 6 1 2 = 3, c(k; ) = c(3; 0:05) = 7:8, таким образом,

2 = 1:12 не попадает в критическую область 2 > 7:8 и гипотеза не противоре-

÷èò âûáîðêå.

Ответ: X = 279:8, S = 1:04, 2n = 1:12, 2 = 7:8.

3. Коллекционер измерил длину деревянного бруска шестью ученическими линейками, изготовленными в разные годы различными фабриками, и получил

вариационный ряд 278; 279:5; 280; 280:5; 281 (мм) с частотами 1; 1; 2; 1; 1. Прове-

рить гипотезу о нормальном распределении этих вариант при уровне значимости 0:05 с помощью критерия Колмогорова.

Решение. Руководствуемся с. 160 и задачей 3. Так как критерий Коëìогорова непараметричен, приходится считать m и известными, примем m = X = 279:8,

= Sn = 1:04.

(Xn) = (278 279:8)=1:04 = 1:73, 0:288, 0:192, 0:673, 1:15,

F(Xn) = (Xn) + 0:5 = 0:042, 0:384, 0:578, 0:748, 0:875,

Fn(Xn) 0 = 0, 1=6 = 0:167, 0:333, 0:666, 0:833, 1,

элементов (тоже множеств) a, b, . . . . Про каждое множество точно

принадлежит a1 2 A èëè

a1 2= A. Таким образом, множества определены рекурсивно через элементы-множества. Поэтому вся совокупность множеств строится из одного начального множества, которое уже не требует для своего определения никаких других множеств-элементов èç пустого множества, не имеющего элементов: ? = fg a 2= ? 8a. Èç ïó-

стого множества строятся все остальные конечные множества простым перечислением элементов: A0 = ?, A1 = f?g, A2 = fA0; A1g,

A3 = fA0; A1; A2g, A4 = fA0; A1; A2; A3g, . . . Построение бесконеч- ных множеств начинается с постулирования наличия первого бесконечного множества, счетного по определению; оно состоит из всех элементов построенной только что цепочки непустых конечных множеств: N = fA1; A2; : : : g. Это множество станет натуральным рядом чисел, если ему присвоить это имя, переименовать элементы A1 = 1, A2 = 2, . . . , и снабдить операциями сложения и умножения. Счетным называют множество, если его элементы можно пересчитать натуральными числами (более формально процедура пересчета называется установлением взаимно-однозначного соответствия). Из этих множеств с помощью рассмотренных далее операций строятся все остальные. Мировой объект переносится в мате-

матический мир в виде пустого множества, если нет нужды составлять модель такого объекта из составных частей, формализоваться он может своим обычным именем, либо, как обычно, буквой. Элементы множеств называют также точками, а в именованных множествах, снабженных какими-либо структурами по именам: числами, векторами, функциями и т. п. Структура на множестве это, разумеется, всегда тоже множество. Например, операция сложения на множестве целых чисел это функция двух переменных, а всякая функция это тоже множество пар точек: (значение аргумента, значение функции).

Но одних множеств оказывается недостаточно. В самом деле, вся совокупность множеств не может быть множеством. В противном случае она делилась бы на две части: множества себя содержащие в качестве элемента, как сама она, и себя не содержащие, как пустое множество. Но вторая часть не может решить содержать ей себя или нет. В первом случае она потеряет свое определение, а во втором, снова согласно определению должна будет включить себя в себя. Такие совокупности называют классами, еще более страшные вещи пока в математике не востребованы.

Произведением множеств называется множество, состоящее из упорядоченных пар, содержащих по одному элементу из каждого множества: A B = f(a; b); a 2 A; b 2 Bg. Спрашивается: как опре-

(a; b) = fa; b; fa; bgg.

подмножеств множества A, так как его элемент набор нулей и единиц, помеченных точками из A, можно отождествить с подмножеством A, помечающим в наборе единицы. Степень множества AB это произведение семейства Ab = A ïðè âñåõ b.

Функция y(x) с областью определения в множестве X и областью

значений Y может быть определена как множество пар (x; y), принадлежащих произведению X Y , причем такое, что каждая точка

x 2 X входит не более чем в одну пару. Связанная с понятием функ-

ции терминология имеет некоторую тонкость: область определения это множество лишь тех точек x 2 X, в которых y(x) определена,

à область значений функции это все пространство Y , в котором выделяют образ функции, îí æå образ пространства X y(X) = Im y = fy 2 Y j9x; y = y(x)g. Область определения совпадает с прообразом y 1(Y ) функции. Степень AB естественно

отождествляется с множеством всех отображений множества B в множество A.

Замечание. Это определение определяет скорее график функции, чем саму функцию, оно не отражает ни привычно присущего функции свойства выражать зависимость между переменными величинами, ни свойства алгоритмичности или соответствия, состоящего в том, что значение аргумента сначала произвольно задается, а соответствующее значение функции потом как-то определяется. Зато оно не выходит за рамки теории множеств.

Для разнообразия функции называют отображениями. Из отображений можно строить композиции или сложные функции: если

y = y(x), z = z(y), òî u(x) = z y(x) = z(y(x)). Пусть w : 1 ! 2

отображение множеств. Тогда любой функции f íà 2 ставится в соответствие функция g = w f = f(w) = f w íà 1, которая

называется обратным образом функции f èëè сложной функцией.

Обратный образ это отображение множества функций на 2 â множество функций на 1.

Класс множеств, рассматриваемый вместе с совокупностью отображений этих множеств, называют категорией множеств, а отображения морфизмами.

Алгеброй множеств называется семейство подмножеств данного множества , замкнутое относительно основных операций над

множествами: объединения A [ B, пересечения A \ B, дополнения

A = {A è разности A B. До математического смысла введенных

здесь слов: подмножество (A B), объединение, пересечение,

дополнение и разность, нетрудно догадаться по их литературному смыслу. Поясним, все же: подмножество состоит из точек множества, но, возможно, не из всех; в объединение включены все точки обоих множеств; в пересечение только общие; в дополнение точки ,

не входящие в A; в разность точки A не лежащие в B. Всякая

алгебра содержит пустое множество: ? = A A: Симметрическая разность:

def

A4B = (A [ B) (A \ B)

определяет различие между двумя множествами. Она, подобно расстоянию между точками, удовлетворяет неравенству треугольника, только не числовому, а множественному:

Упражнение 20. A4B A4C [ C4B

Если алгебра содержит все счетные объединения своих элементов, то она называется -алгеброй. В этом случае в ней можно со-

вершать все операции счетное число раз. Если она порождена всеми открытыми множествами, она называется борелевской. Тогда в ней находятся и все замкнутые множества.

2Алгебра

2.1Линейные пространства

В этом понятии обобщается опыт решения линейных алгебраических систем уравнений. Основополагающий метод исключения, известный еще древним вавилонянам и китайцам, нелепо называют методом Гаусса. Вероятно, все математические задачи, решение которых доведено до уровня теории, сводятся путем той или иной процедуры линеаризации к линейным задачам. Например, решение квадратного уравнения линейно сводится к задаче извлечения корня; но это не конец решения, корни всех степеней подробно исследуются в насквозь линейной теории алгебраических полей.

Линейным (или векторным) пространством называется множество, элементы которого можно складывать друг с другом и умножать на числа, так что при этом соблюдаются обычные для этих операций правила алгебры. Приведем сводку этих правил (аксиом).

Пространство обозначим буквой X, векторы обозначаются послед-

ними буквами алфавита, а числа первыми. Один и тот же символ 0 обозначает нуль вектор и нуль число.

Числа могут быть вещественными или комплексными.

Векторы x1; : : : ; xk называются линейно независимыми, если никакая их линейная комбинация с ненулевыми коэффициентами не обращается в нуль:

a1 x1 + + ak xk = 0 ) a1 = = ak = 0:

Максимальный по количеству набор линейно независимых векторов (e1; : : : ; en) называется базисом линейного пространства X, а число

n åãî размерностью. Любой вектор x однозначно раскладывается

по базису: x = a1 e1 + + an en: Числа ak координаты вектора x:

Если конечного базиса не существует, пространство называется бесконечномерным. Бесконечное множество векторов называется линейно независимым, если таково любое его конечное подмножество. Оно называется базисом, если пополнение любым вектором лишает его свойства независимости. Иначе сказать, любой вектор раскладывается по базисным в конечную сумму. В любом линейном пространстве имеется базис. В конечномерном пространстве все базисы имеют одну и ту же длину. В бесконечномерном пространстве существование базиса доказывается путем трансфинитной индукции.

168 Глава VII. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ

Бесконечномерны пространства функций на отрезке, кольцо многочленов R[x]:

Функцию на одном линейном пространстве со значениями в другом линейном пространстве называют линейной, если она не только

линейна (f(x + y) = f(x) + f(y)), но и однородна (f(a x) = a f(x).)

Линейные функции с числовыми значениями называют линейными формами, когда пространство конечномерно, и линейными функционалами, когда оно бесконечномерно. Если значения функции векторы, то ее называют линейным отображением èëè линейным оператором, а если эти векторы конечномерны, то вектор-функцией. Функционалы, отображения и операторы бывают и любыми нелинейными, а формы только однородными.

Например, сложную функцию h = f(g(x)) числового аргумента x не следует называть оператором, хотя функция g(x) и записана в качестве аргумента, но если функцию h рассматривать не как функцию от x, а как функцию от аргумента f èëè g или аргумента-пары

(f; g), òî h окажется оператором.

Подпространством векторного пространства, называется подмножество, которое само есть векторное пространство и операции в нем те же, что в объемлющем пространстве. Факторпростран-

ñòâî X=Y пространства X по подпространству Y это множество подмножеств в пространстве X âèäà x + Y , в котором обе операции линейного пространства порождаются операциями пространства X при естественном отображении : X ! X=Y; (x) = x + Y . Иначе сказать, сумма векторов из X переходит в сумму в X=Y ,

произведение вектора на число в произведение.

Линейные пространства можно умножать, прямо и косо. Сомножители называют компонентами или координатами. На прямом произведении линейных пространств как множеств естественно вводится структура линейного пространства: векторы складываются по-

компонентно: (x ) + (y ) = (x + y ), а чтобы умножить вектор на число, нужно на него умножить каждый сомножитель.

Любое вещественное n-мерное пространство линейно и взаимнооднозначно (короче изоморфно,

=) отображается на каноническое n-мерное пространство Rn = Rnx с вещественными координатами x = (x1; : : : ; xn) è каноническим базисом:

e1 = (1; 0; : : : ; 0), e2 = (0; 1; 0; : : : ; 0); : : : , en = (0; : : : ; 0; 1)

Векторы пространства Rn часто определяют как столбцы: x =

= (x1; : : : ; xn)T . Аналогично определяется Cn.

Линейные пространства можно прямо складывать. Прямая сумма пространств (X ) состоит из конечных сумм: x 1 x j , сложение в которых формально и ничего не означает, кроме упорядоченного

с базисом из элементов eij = ei fj. Можно определить тензорное

произведение без обращения к базисам, правилом: тензорное произведение векторов линейно по каждому аргументу. Внешняя степень пространства Vj X получится из тензорной степени, если поз-

волить переставлять сомножители с переменой знака: x1 ^ x2 ^ x3

x3 ^ x2 ^ x1. Внешним это произведение называется потому, что его результат не лежит в пространстве ни одного из сомножителей. Тензорное и скалярное произведения такие же внешние, в отличие от разнообразных внутренних произведений.

Множество n n -матриц: fM = (mij)1 i;j ng, mij 2 R èëè

2 C, образует n2-мерное векторное пространство Mnn. Величины mij называются элементами èëè коэффициентами матрицы, число

n порядком матрицы. Сложение матриц и умножение их на числа

Алгеброй называют линейное пространство с умножением. Алгебра матриц содержит единицу 1M = ( ij). Это значит, что 1M A = A

8A 2 Mnn; ij символ Кронекера, он равен 1, когда i = j è 0, åñëè íåò.

Операцию на матрицах AT = (bij), bij = aji, A = (aij) называют

транспонированием. Свойства транспонирования:

(AT )T = A, (A B)T = BT AT

Векторы столбцы можно рассматривать как n 1 -матрицы.

Получаем действие матрицы на вектор:

Mmn Mn1 ! Mm1

Это действие можно рассмотреть как отображение из Rnx = Mn1 â

Rmy = Mm1: yj = Pajkxk.

k