Лекции по ЧМ и ТВ

с абсолютной точностью, но разумеется, только в случае, когда координаты системы хранятся в формате с плавающей точкой. С помощью погрешности 0x можно итеративно подправить решение x0, взяв за новое приближение x00 = x0 + 0x. ßñíî, ÷òî è ïðè íåíó- левой погрешности 0x численное сложение может привести к тому же результату: x00 = x0, это произойдет,если разность десятичных

порядков величин x0 è 0x больше длины мантиссы.

4.1Нелинейные уравнения и системы

Метод простой итерации для нелинейной системы âèäà

какое-нибудь значение переменной x. Последовательность x(n) ñî скоростью геометрической прогрессии сходится к решению в шаре jx x0j M=(1 ), åñëè jf(x0) x0j M è jf(x) f(y)j jx yj,

0 < < 1, когда x è y находятся в этом шаре. Доказывается это

утверждение точно так же, как и в случае линейных уравнений. Погрешность на шаге n измеряется величиной:

= M n=(1 )

Метод Ньютона применяется, когда линейная часть векторного уравнения f(x) = 0 обратима. Он сводится к методу простой ите-

рации. Разложим функцию с помощью ее первого дифференциала: f(x) = f(y) + f0(y)(x y) + g(x; y), ãäå g(x; y) = o(x y). Òàê êàê

матрица f0 обратима, то уравнение f(x) = 0 можно переписать в

пригодном для применения метода простой итерации виде: x = y (f0(y)) 1(f(y) + g(x; y))

Здесь параметр y может быть выбран равным x и тогда g(x; x) = 0,

но может и остаться начальным приближением y = x(0). Получаем два алгоритма.

x(n+1) = x(n) (f0(x(n))) 1f(x(n))

x(n+1) = x(0) (f0(x(0))) 1 g(x(n); x(0)) + f(x(0)) ;

Первый из них может оказаться более трудоемок, так как на каждом шаге приходится обращать матрицу. Существуют смешанные версии, когда во втором алгоритме время от времени начальное приближение заменяется одним из последующих.

Исследование сходимости и оценка погрешности переносятся сюда из метода простой итерации.

Метод половинного деления, по-существу, определен уже своим названием. Его применяют к скалярному уравнению f(x) = 0, åñëè

известен отрезок, на концах которого функция f имеет противопо-

ложные знаки. Тогда отрезок заменяется своей половиной и эта половина снова делится пополам. Ясно, что погрешность оценивается величиной половины последнего рассмотренного отрезка, а кореньего середина.

Метод хорд учитывает не только знаки функции на концах оче- редного отрезка но и ее значения в этих концах. Концы графика ограниченной на отрезок функции соединяются прямой. Точка пересечения этой прямой с осью абсцисс будет концом следующего отрезка.

Методом половинного деления можно решать и многомерные задачи. Например, пусть имеется квадрат на плоскости в котором

ищется решение системы двух уравнений f(x; y) = 0, g(x; y) = 0.

В качестве аналога условия знакопеременности скалярной функции на концах здесь естественно потребовать чередования знаков функций в четырех точках границы квадрата при обходе их по кругу: ++,+ , , +. В этом случае есть надежда, что линии нулей функ-

ций, начинающиеся на границе квадрата пересекаются внутри его. Разбиваем квадрат на четыре квадрата и выбираем тот из них в котором выполняется условие знакопеременности.

Пример 17. Найти методом Ньютона корень многочлена x2 + 2x 15. Оценить погрешность.

Погрешность достаточно мала.

5Обыкновенные дифференциальные уравнения

Пусть имеется задача Коши для системы уравнений:

ãäå y вектор-функция y = y(1); : : : , номер компоненты вектора

взят в скобки, так как индексом без скобок будет обозначаться номер сеточного узла. Численным решением ее может быть сеточная функция x0; x1; : : : ; y0; y1; : : : . Методы нахождения численных решений различаются по точности, которая, естественно, оценивается лишь в точках сетки, а также еще по многим характеристикам, из которых упомянем трудоемкость и устойчивость. Для неизвестных значений сеточной функции составляется по задаче разностная схема. Так называется система уравнений из которой эти неизвестные находятся. Слово "разностная" здесь говорит о том что система уравнений составлена для решения дифференциальной задачи и дифференциал аппроксимируется разностью. Разностные схемы бывают явные

64 Глава II. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

ìè: jAjj M2, jBjj M1 + MM2. Отсюда следует система оценок для модулей zj = jy(xj) yjj:

zj+1 zj + hpzj + h2q, ãäå p = M2, q = M1 + MM2

Решим эту систему неравенств методом мажорант. Здесь это значит, что решение системы неравенств выражается через решение системы уравнений rj+1 = rj +hprj +h2q: zj rj (z0 = r0 = 0), которая не

сложно решается: rj = (1 + hp)j 1 1 hq. Если решение ищется на от-

p

резке длины L, òî j 1 L=h è (1 + hp)j 1 eLp. В итоге получаем оценку погрешности:

0 = max(jy(xj) yjj) h( eLp 1)q=p

Ясно, что оценивать производные правой части системы (II.21) в области допустимых значений x è y, может быть, не легко; тогда

можно воспользоваться методом Рунге ((II.16) с m = 1):

5.2Методы Рунге Кутты

Алгоритм этих методов основан на следующем соображении. Формула для приращения функции на шаге

получится, если аппроксимировать правую часть системы (II.21) многочленом Лагранжа степени n. В ней точки сетки (tj) распо-

ложены на отрезке [x; x + h]. Интегралы от базисных многочленов Лагранжа имеют вид hpj, то есть, они не зависят от x и пропорциональны h, в чем легко убедиться, если подставить в (II.8) t вместо x и затем совершить замену переменных: t = hs + x, tj = hsj + x, в которой sj фиксированные числа отрезка [0; 1]. Точно также, просто применив формулу (II.24) к точке x + h = tk, получим выражение äëÿ y(tk), такое же как для y(x + h), только с другими числами

Эти алгоритмы легко переписываются в форме разностных схем, например, при r = 4: x = xj, y = yj, y(x + h) = yj+1

1

yj+1 = yj + 6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4):

Проверим формулы третьего порядка. Выпишем разложения компонент невязки 0 = y(x + h) Y3 до третьей степени h. Положим

Чтобы проверить алгоритм порядка 2, нужно продифференцировать 2 раза равенство y(x + h) = Y2 + O(h3) и убедиться в тожде-

h = 0.

Ïðè r = 4 вычисления немного сложнее. При дальнейшем уве-

личении порядка они еще более усложняются, кроме того точность начинает отставать от порядка. Особого стимула увеличивать порядок нет еще и потому, что явные схемы слабо устойчивы.

Пример 18. Решить задачу Коши методом Рунге Кутты четвертого порядка с шагом h = 1. Найти решение в 3 точках. Оценить погрешность.

Первый шаг. k1 = 3

k2 = 3(1 + 1:5)=1:5 3 = 2 k3 = 3(1 + 1)=1:5 3 = 1 k4 = 3(1 + 1)=2 6 = 3

1

Y4 = 1 + 6(3 + 4 + 2 3) = 2

Второй шаг.

k1 = 3 2=2 6 = 3

k2 = 3(2 1:5)=2:5 6 1:5 = 8:4

0 = (0; 0; 0:21), = 0:21=9 = 0:023 = 2:3%:

Решение находится с удивительной для такого шага точностью.

Пример 19. Решить ту же задачу методом Эйлера.

y2 = 1 + 3=1 = 4, y3 = 4 + 3 4=2 6 = 4 . Ясно, что это решение неудовлетворительно.

6Вопросы и задачи с решениями

1.Точность аппроксимации дифференцируемой функции интерполяционным многочленом Лагранжа. (с. 46-47, 49-51, 58-58)

2.Оценки погрешности в квадратурах определенных интегралов: в формуле трапеций, прямоугольников и в формуле Симпсона. (с. 46-47, 47-52, 58-58)

3.Свойства разделенных разностей. (с. 46-47, 52-55)

4.Выражение многочленов Лагранжа и Ньютона через разделенные разности. (с. 46-47, 49-55)

5.Интерполяция и аппроксимация функций кубическими сплайнами. (с. 46-47, 56-57, 58-58)

6.Интерполяция и аппроксимация функций методом наименьших квадратов. (с. 46-47, 57-58)

7.Методы решения линейных алгебраических систем (исключения, простой итерации, Зейделя). (с. 46-47, 58-61, 58-58)

8.Решение нелинейных уравнений и систем методами простой итерации, Ньютона, половинного деления и хорд. (с. 46-47, 61-62, 58-58)

9.Оценка погрешности метода ломаных Эйлера в задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Оценка погрешности методом Рунге. (с. 46-47, 62-64, 58-58)

10.Алгоритм порождения методов Рунге-Кутты решения задачи Коши обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. (с. 46-47, 64-67, 58-58)

11.Первые четыре схемы Рунге-Кутты для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Точность аппроксимации схемы второго порядка точности. (с. 46-47, 64-67, 58-58)

12.Оценка погрешности для метода Рунге-Кутты третьего порядка точности (для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка). (с. 46-47, 64-67, 58-58)

Например, функции z; ez; sin z голоморфны, а функции x; y; xy; ex

нет, функция tg z голоморфна всюду кроме нулей функции cos x. Слово голоморфный (от греческих ;o o целый, o 'o форма, вид, подобие) ввели ученики Коши Брио и Буке, имея в виду смысл: "подобный целой функции", под целой функцией они разумели многочлен.

Сформулируем четыре характеристических свойства аналитиче- ских функций. Эти свойства определяют голоморфные функции настолько по-разному, что их эквивалентность кажется совершенно удивительной.

Теорема 20. Условие аналитичности из определения 19 эквивалентно любому из следующих условий, которые накладываются на непрерывно дифференцируемую в U функцию f.

1. Комплексная дифференцируемость. В каждой точке существует предел

@

Иными словами, интеграл по границе любого открытого ограниченного множества от формы f(z) dz равен нулю. Граница, есте-

ственно, должна быть кусочно-гладкой и ориентированной внешней нормалью.

@

Множество то же что и в 3, а точка z лежит в .

Из определения следует 1 согласно правилу дифференцирования степенных рядов. Условие 2 отличается от условия 1 только формой записи. В самом деле, вспомнив определение дифференциала как линейной части приращения функции, условие 1 можно переписать в виде: d f(z) = f0 dz, сравнив эту формулу с выражением (III.1) для

дифференциала, получим, что в нем коэффициент при dz должен

равняться нулю, что и выражает условие 2. Из 2 следует 3 по формуле Грина (III.2).