Лекции по ЧМ и ТВ

щение из n ïî n : = ( 1; : : : ; n). Число перестановок, следовательно, равно

# Mn;n = n!

Сочетанием из n по k называется подмножество = f 1; : : : ; kg

множества M. Таким образом, размещение получается из сочетания

посредством упорядочивания элементов сочетания, так что одному сочетанию отвечает k! размещений. Число сочетаний поэтому равно

размещения, подстановки и сочетания, коль скоро в этом возникнет нужда, естественно в лексикографическом порядке:

(mi1; : : : ; mik ) < (mj1; : : : ; mjk ), ãäå iq 6= ir, jq 6= jr ïðè q 6= r, åñëè

i1 = j1, . . . , ip 1 = jp 1, ip < jp; fmi1; : : : ; mik g < fmj1; : : : ; mjk g, ãäå iq < iq+1, jq < jq+1, åñëè i1 = j1, . . . , ip 1 = jp 1, ip < jp. Напри-

ìåð, f1; 2; 3g, f1; 2; 4g, f1; 2; 5g, f1; 3; 4g, f1; 3; 5g, f1; 4; 5g, f2; 3; 4g, f2; 3; 5g, . . . .

3Анализ

Предмет анализа это переменная величина. Отличие переменной величины, скажем x, от постоянной, но не известной величины a ñî-

стоит в том, что постоянная предполагается равной одному из элементов некоторого множества, тогда как переменная, если даже она принимает всего одно значение, она его все время, то есть, на протяжении всей процедуры ее рассмотрения, принимает, а приняв зна- чение, остается переменной величиной, принявшей это значение. О постоянной величине естественно спросить, чему она равна, а о переменной что с ней происходит, чему она равна в данном случае или контексте. Естественная область определения переменной вели- чины это топологическое пространство, то есть, множество с такой структурой, что можно говорить о сходимости, и основная задача анализа найти постоянный предел переменной величины.

3.1Пределы

Последовательностью называют функцию, когда ее аргумент принимает дискретные упорядоченные значения. Часто эти значения бывают целыми числами номерами элементов последовательности. Например, an, a3n 5, ãäå n = 1; 0; 1; : : : последовательности.

Последовательности бывают числовыми, åñëè an числа, функцио-

нальными, когда каждое an зависит еще от каких-нибудь параметров; подобным образом можно определить столько типов последовательностей, сколько есть типов переменных. Числовая последовательность называется сходящейся к числу a, пишут: an ! a, åñëè

n!1

8" > 0 9N(") такое, что из n N следует, что jan aj < ": Число

a в этом случае называется пределом последовательности. Вообще, выражения "величина A (это может быть последовательность, ряд, интеграл, процесс, . . . ) сходится к величине B"и "величина B åñòü

предел величины A"эквивалентны. Точка a называется предельной

для последовательности, если к ней сходится некоторая подпоследовательность ank .

Функция f(x) одного или нескольких переменных называется непрерывной в точке a, åñëè f(a) = b и образ всякой сходя-

щейся к точке a последовательности an сходится к точке b. Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каж-

дой его точке. Для функции одной переменной символами f(x + 0) è f(x 0) обозначают пределы функции справа и слева от точки x. Это значит, что пределы берутся по последовательностям, все члены которых, соответственно, > x è < x. В точке x в этом случае

Более общо. Независимая переменная x сходится или стремится к точке a области своих значений (или к 1), если она может принимать значения в любой окрестности этой точки (или 1). Функция y(x) сходится или стремится к точке b (èëè ê 1), когда образ некоторой окрестности точки a попадает в любую заранее

выбранную окрестность точки b (èëè 1). Области определения и

значений могут быть числовыми, векторными, а также любыми топологическими пространствами, то есть множествами, где у то- чек есть окрестности. Точки a è b называются в случае сходимости

пределами.

Предложение 59.(Критерий Коши) Для сходимости последова- тельности чисел pn необходимо и достаточно, чтобы последова-

n ! 1

Если предел p существует, то выполнение критерия следует из оцен-

êè

jpn pmj jpn pj + jp pmj

Обратно, если выполняется критерий, то из него следует, что последовательность ограничена. Возьмем в качестве предела p какую-

нибудь предельную точку последовательности. Пусть jpn+m pnj "

ïðè âñåõ m. Можно найти k > n со свойством jp pkj ". Тогда для любого j > n отсюда получаем:

jp pjj jp pkj + jpk pnj + jpn pjj 3"

Следствие 60.(Критерий Коши для равномерной сходимости) Для равномерной сходимости последовательности функций fn

необходимо и достаточно, чтобы последовательность fn+m(x) fn(x) равномерно по m и x сходилась к нулю, когда n ! 1.

Предложение 61. (Теорема о равномерной сходимости) Если последовательность непрерывных функций fn сходится к функции f

равномерно, то f тоже непрерывна.

Если функции в последовательности дифференцируемы и производные (одна или несколько) сходятся равномерно, то их предел

будет производной f.

В правой части неравенства

jf(x + t) f(x)j jf(x + t) fn(x + t)j + jfn(x + t) fn(x)j+

+jfn(x) f(x)j

два слагаемых стремятся к нулю с ростом n независимо от x è t, à

где число s лежит между нулем и t: Так как сходимость производных равномерна, разность стремится к нулю когда n è m неограниченно возрастают.

Предложение 62.(Теорема о коммутировании пределов)

Пусть функция f(x; y) определена в проколотой окрестности ну-

ля, g(x) = lim f(x; y); h(y) = lim f(x; y), причем сходимость к g

y!0 x!0

равномерна по x. Тогда lim g(x) = lim h(y)

x!0 y!0

Докажем, что g имеет предел.

g(x) g(z) = (g(x) f(x; y)) + (f(x; y) f(z; y)) + (f(z; y) g(z))

При достаточно малом y первая и третья скобки бесконечно малы независимо от x è z, а при фиксированном y вторая скобка стремится к нулю, если x; z ! 0, следовательно, разность может быть сделана как угодно малой и по критерию Коши g имеет некоторый предел l: Тогда

l h(y) = (l g(x)) + (g(x) f(x; y)) + (f(x; y) h(y))

Вторую скобку тут можно сделать сколь угодно малой независимо от x, выбрав достаточно малое y, после этого, устремив x ê íóëþ,

остальные две скобки можно сделать нулевыми.

3.2Дифференциальное и интегральное исчисление

Производной функции f(x) называется функция f0(x) = lim f(x + t) f(x)

t!0 t

Частной производной функции f(x1; : : : ; xn) называется производная по одной из переменных, например, fx02:

Производная производной функции называется второй производной, начиная с которой производные называются старшими. Функции, имеющие производные, называются дифференцируемыми èëè гладкими; число производных может не указываться. Говорят, что функция 2 Cn, если она имеет n непрерывных производных в обла-

сти, о которой идет речь.

Формула Лейбница: (f g)0 = f0 g + f g0:

= f(g(t)) = f(g1(t); : : : ; gn(t)), поскольку она составлена из простых функций f; g. Тогда

h0(t) = fx01(g(t)) g10 (t) + + fx0n(g(t)) gn0 (t)

Эти формулы вытекают непосредственно из определения производной.

Дифференциалом èëè полным дифференциалом df функции

аргумента x = (x1; : : : ; xn) называется функция

df(x; dx) = fx01(x) dx1 + + fx0n(x) dxn

двух векторных переменных: x è dx = ( dx1; : : : ; dx2). Переменные

( dxj), едва ли не единственные во всей математике, обозначаются буквами с префиксом.

Ясно, что в скалярном случае производная равна отношению диф-

Дифференциал, будучи функцией двух переменных x è dx, принимает значения в одном пространстве с функцией f(x). При фиксированном x, как функция от dx, дифференциал любой функции есть линейная функция на n-мерном пространстве значений вектора dx, следовательно, дифференциал числовой функции есть элемент

n-мерного векторного пространства дифференциалы можно скла-

дывать и умножать на числа.

Ради точности следует отметить, что дифференциалы называются ковекторами, поскольку при отображениях областей дифференциалы функций на этих областях отображаются в противоположную сторону: x 7!y(x), dy 7!y0 dx. Первый дифференциал можно опре-

f(x + dx) f(x) = df + o( dx), то же самое

словами: дифференциал есть линейная часть приращения функции. Отсюда следует свойство инвариантности дифференциала первого

порядка: dx[f(x)](x(y); dyx(y)) = dy[f(x(y))](y; dy) при переходе

из системы координат x в систему координат y, x = x(y). Иначе гово-

ря: результат получится один и тот же, если заменить переменную в функции и взять дифференциал или если заменить переменную уже в дифференциале.

Так как дифференциал функции есть функция, то можно взять дифференциал дифференциала и так далее. Но поступают несколько иначе: полным дифференциалом порядка p называется дифферен-

циал от дифференциала порядка p 1 по переменной x: dpf(x; dx) = dx( dp 1f)

степени p по переменной dx с коэффициентами, зависящими от x.

Дифференциал порядка выше первого не определен инвариантно, поскольку постоянные dxj

стоянными одновременно с постоянными d yj. С помощью диффе- ренциалов можно компактно записать формулу Тейлора для произ-

186 Глава VII. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ

вольного числа переменных (xj) (â íåé d = dx):

Рассматривая дифференциал скалярной функции как линейную форму от аргумента dx с коэффициентами функциями от x,

можно позволить умножать дифференциалы на функции и складывать. Получится пространство 1-ôîðì, 1, из которого строит-

ся внешняя алгебра посредством введения операции внешнего умножения ^, подчиненной условию косо или антисимметричности: !1 ^!2 = !2 ^!1 ïðè !1; !2 2 1, из которого следует, что !^! = 0

ïðè ! 2 1, è ÷òî !1 ^!2 = ( 1)p q!2 ^!1 ïðè !1 2 p, !2 2 q. Ïðî- странство функций, естественно, входит в алгебру и обозначается

0.

Интегрируя теперь инфинитезимальные площади со с. 174 по поверхностям можно получать формулы для вычисления как ориентированных, так и не ориентированных криволинейных поверхностей. Интеграл от k-формы по k-мерной поверхности в n-мерном

пространстве сводится к интегрированию k-формы объема dt =

интеграл по мере j dtj = dt1 : : : dtk. Например, площадь поверхности S в трехмерном пространстве вычисляется по формуле:

Z

p

( dx ^ dy)2 + ( dx ^ dz)2 + ( dy ^ dz)2

S

Ориентированная площадь той же поверхности равна:

Z

z dx ^ dy + y dz ^ dx + x dy ^ dz,

S

ãäå ( x; y; z) вектор единичной нормали к поверхности в точке (x; y; z); его направление и определяет ориентацию.

Дифференциал можно продолжить с функций на внешние формы. Он, естественно, остается линейным, а на произведения продолжается по формуле Лейбница:

d(f!) = df ^ ! + f d!

d( ^ ) = d ^ + ( 1)k ^ d , 2 k

Это продолжение называется внешним дифференциалом. Нетрудно проверить, что d2 = 0.

Ориентация k-мерной поверхности в точке задается упорядоче-

нием набора из k ортонормированных касательных к поверхности

в этой точке векторов. Интеграл по ориентированной поверхности от внешней k-формы складывается из интегралов по ее кускам.

Каждый кусок связан гладким взаимно-однозначным и сохраняющим ориентацию отображением (которое называется параметриза-

öèåé) с куском в пространстве Rk

t , которое ориентировано порядком t1; : : : ; tk. Интеграл от формы по куску полагается равным интегра-

лу от ее образа при отображении x = x(t), а образ равен форме

âèäà g(t) dt1 ^ ^ dtk. Из формул замены переменных в интеграле следует, что от выбора параметризации куска интеграл не зависит. Граница @S поверхности S имеет размерность k 1 и ориентирует-

ся так, чтобы в точке границы ориентацию поверхности определял набор ; 1; : : : ; k 1, где нормаль к границе, касательная к по-

верхности, а 1; : : : ; k 1 набор ориентирующий границу. Формула Стокса связывает все введенные здесь понятия:

функции с бесконечно малыми носителями, пользуясь линейностью

В двумерном случае формула Стокса называется формулой Грина:

3.2.1Экстремумы и теоремы о конечных приращениях

Предложение 63. Необходимое условие экстремума функции. (Ï.

Ферма, 1638) В точках минимума и максимума функции ее дифференциал обращается в нуль.

Приращение функции: f(x + dx) f(x), как функция от dx, сохраняет знак вблизи экстремальной точки x, следовательно, линейная часть этого приращения равна нулю.

188 Глава VII. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ

Предложение 64. Теорема о конечных приращениях или о среднем (Коши). Если f(x) g(x) дифференцируемы в промежутке (a; b), то

в нем найдется точка c, такая что

Разморозим в равенстве f(b) f(a) A(g(b) g(a)) = 0, определяющем число A, постоянную b. Так как его левая часть, как функция

переменной b, обращается в нуль в концах промежутка, то внутри него имеет экстремум в точке c, значит, f0(c) = Ag0(c).

3.2.2Аналитические функции

Так называются функции, равные в окрестности каждой точки области определения сумме степенного ряда:

f(x; y) = P aij(x x0)i(y y0)j

i;j 0

Допустимость дифференцирования ряда вытекает (с привлечением предложения 61 и определения ряда на с. 194) из следующего признака сходимости:

Предложение 65. Степенной ряд сходится в окрестности точки x0; y0 в том и только в том случае, когда найдутся числа r1; r2 > 0, такие что выполняются оценки

jaijj Mr1r2r1 ir2 j

Верхние грани чисел r1; r2 называются радиусами сходимости степенного ряда. Случай большего числа переменных рассматривается точно также.