Лекции по ЧМ и ТВ

12 Глава I. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Пример 1.

sin(x + y) dx sin 2x dy = sin(x y) dx sin y cos x dx = sin x cos x dy

здесь до сокращения нелишне отметить семейства решений:

Решения (I.6) называют особенными в знак того, что они выделяются из непрерывного семейства решений (I.7). Заметим, что в формуле (I.7) постоянную можно писать с любой стороны, можно написать даже две, а тангенсы можно заменить на котангенсы. В дальнейшем эти подробности будут опускаться, задача будет счи- таться решенной, если найдена квадратура, которая определяет решение в неособых точках.

2.2Однородное уравнение

ddxy = f xy

Заменой y = xu оно сводится к уравнению c разделяющимися пере- менными: x u0 = f(u) u

Функция F (x; y) называется однородной функцией степени r, åñëè F ( x; y) rF (x; y): Уравнение однородно, если обе части од-

нородные функции одной степени. Однородность уравнения можно проверять подстановкой x; y на места x è y. Если сократится

и исчезнет из уравнения, значит, оно однородно. Однородное уравнение однородно по совокупности переменных x; y.

Пример 2.

2.3Линейное уравнение первого порядка

Это самое главное уравнение в теории.

y0 + a(x) y = f(x)

Ему соответствует линейное однородное уравнение: z0 + a(x) z = 0

Не следует это однородное линейное уравнение путать с уравнением из предыдущего пункта, там уравнение было однородно по совокупности переменных x; y; здесь только по z.

Согласно предложению 1: y = y0 + z;

новая неизвестная. Происхождение названия метода легко понять, сопоставив эту формулу с предыдущей. Подставив y0 в уравнение,

получим для u уравнение, непосредственно интегрирующееся: u0 z0 = f

Âитоге решение y можно представить формулой

x x

Метод подстановки y = u v приводит к тем же самым формулам для

решения. В качестве неизвестной v выбирается решение однородного уравнения.

Пример 3.

y0 = y tg x + 1

По формуле (I.8) получаем

Z

y = e ln cos x+ln cos t dt + C cos 1 x = tg x + C cos 1 x

2.4Уравнение Бернулли

y0 = a(x) y + b(x) yn

Это уравнение становится линейным относительно новой неизвестной функции u = y1 n: Другой метод его решения та же замена

y= u v, ÷òî è âûøå.

Пример 4.

y0 = 14 y tg x + 14 y5 ctg2 x

u = y 4; u0 = u tg x ctg2 x u = ctg x + C cos x; y = u 1=4

y(i) обозначают свободные переменные, которые станут соответству-

ющими производными по x некоторой функции y(x) только после

подстановки ее в уравнение. Если уравнение после этого обратится в тождество, y(x) будет называться решением.

Åñëè y = (yj) è (fj) векторы, (yj) 2 Rm; (fj) 2 Rk; òî òà

же запись (I.9) будет обозначать систему уравнений, записанную в векторной форме, в координатах ее можно записать так:

f1(x; y1; : : : ; y1(n); : : : ; ym; : : : ; ym(n)) = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

fk(x; y1; : : : ; y1(n); : : : ; ym; : : : ; ym(n)) = 0

Функции fj называют также операторами системы примененными

к функциям (или операндам) yj. Операторы могут также зависеть еще от параметров.

Без специальных оговорок при изложении теории обыкновенных уравнений предполагается, что функции имеют свои области определения, что при построении сложных функций эти области согласованы с областями значений вложенных функций, что функции имеют столько производных сколько используется в данном контексте.

Как правило, обыкновенные уравнения, возникающие в прикладных задачах, сопровождаются начальными или краевыми условиями. К системе дифференциальных уравнений добавляется система уравнений, которые как то связывают между собой значения искомых функций и их производных в отдельных точках. Эти условия могут обеспечить единственность решения.

Общим решением системы, y(x; C1; : : : ; Cn), называется ее решение, которое так зависит от нескольких не входящих в уравнение

параметров (Cj), что любое частное решение совпадет с y при подходящих значениях величин (Cj) (они называются произвольными

постоянными). Правильнее и проще называть общим решением такое решение, из описания которого можно извлечь любое решение.

Всюду произвольные постоянные обозначаются буквой C с индек-

сами без особых оговорок. Общие теоремы в основах теории формулируются для систем и уравнений, записанных в нормальной форме, которую называют также явной, или видом, разрешенным относительно производной:

yj0 = fj(x; y; p)

Когда к такому виду систему дифференциальных уравнений свести трудно, уравнения считаются особыми. Одно уравнение считается нормальным, если старшая производная в нем явно выражена через младшие.

Система называется линейной, если она состоит из линейных уравнений относительно неизвестных и их производных. Иначе говоря, каждое уравнение линейной системы имеет вид

Paij(x) yi(j) = f(x)

4Геометрический смысл уравнений

Геометрический смысл уравнения первого порядка изображается на плоскости x; y: Геометрический смысл производной это тангенс

угла наклона касательной к графику функции. Уравнение, в котором производная выражается функцией от (x; y), позволяет через

каждую точку плоскости провести эту касательную к неизвестной пока кривой графику решения y(x). Получим поле направлений.

График решения называется интегральной кривой уравнения. Интегральная кривая обязана иметь заданную касательную в каждой точке. Таким образом, геометрический смысл уравнения поле направлений, геометрический смысл решения интегральная кривая.

Аналогично, геометрический смысл системы n-ого порядка в нор-

мальной форме это поле направлений в n + 1-мерном пространстве, а смысл ее решения интегральная кривая там же.

5Теоремы существования

Эти теоремы дают возможность составить представление о структуре решений уравнений и систем. Структура эта очень проста. Множество неособых точек пространства расслаивается на интегральные кривые.

В доказательстве теорем участвуют несколько фактов из анализа и один из методов последовательных приближений простой итерации. Алгоритм построения решения может использоваться для численного расчета, он сходится быстрее, чем в полученной ниже самой простой оценке. Вспомним еще определение модуля вектора:

p

jyj = y12 + + yn2.

5.1Теорема Коши

Задача Коши для нормальной системы, зависящей от параметра, имеет вид:

Докажем теорему о существовании, единственности и непрерывной зависимости от начальных данных и параметров решения этой задачи. Ее упрощенный вариант дал Коши не позднее 1840 г. (в конспекте его ученика Муаньо); Липшиц усилил в 1876 г.; Пикар, 1890,

и Линделеф, 1894, предложили метод последовательных приближений для доказательства.

Тогда существует единственное решение y = y(x; x0; y0; p) çàäà-

÷è Êîøè.

Области определения и значений функции y задаются условиями:

где " должно быть столь мало, чтобы все точки (x; y; p) лежали в U.

Решение непрерывно зависит от начальных данных и параметров, а если k > 0, то оно тоже имеет k непрерывных производных

ïî x; x0; y0; p (ïî x äàæå k+îäíó).

Решение y(x) найдем как предел последовательности yn(x); воспользовавшись простейшей схемой метода последовательных приближений методом простой итерации. Положим

в которой неравенства ; ; получаются из свойств интегралов,

1 2

условия Липшица и ограничения jx x0j ". Итерирование достигнутой в неравенстве ; оценки разности последовательных при-

Докажем с помощью критерия Коши, что последовательность yn равномерно сходится вместе с нужным количеством своих производных.

X

an+i 2"n+i 1M = Man 1"n=(1 " a)

i=1

Здесь первое неравенство следует из неравенства треугольника, второе из результата цепи оценок, равенство из формулы для суммы геометрической прогрессии. Ясно, что при " a < 1 последняя

величина стремится к нулю с ростом n: Отсюда следует существо-

вание и непрерывная зависимость от всех параметров предельной функции. Равномерная сходимость производных по x следует из то-

го, что они непрерывно зависят от самих функций в уравнениях (I.12). Переходя в этих уравнениях к пределу, получим, что y ре-

шение исходного уравнения.

Производные yn по начальным условиям и параметрам также удовлетворяют уравнениям, которые получаются дифференцированием

(I.12). Поэтому для этих производных y справедливы аналогичные

оценки и они, следовательно, тоже сходятся. Функция, равномерно сходящаяся вместе со своими производными, дифференцируема.

Оценка y из (I.11) получится из (I.13), если там положить n = 1 и перейти к пределу m ! 1.

Наконец, единственность вытекает из оценки разности двух точ- ных решений:

Путем введения переменных y1 = y; : : : ; yn = y(n 1), уравнение сво- дится к системе:

Чтобы получить формулировку теоремы Коши для уравнения, нужно просто подставить в формулировку теоремы 5.1 переменные y; y0; : : : ; y(n 1) вместо y1; : : : ; yn. Заметим еще, что неизвестной y в уравнении ничто не мешает быть векторной, можно получить еще одну формулировку теоремы Коши, обобщающую предыдущую.

5.3Теорема Коши в аналитическом случае

функция f вещественно аналитична по всем своим аргументам.

Тогда существует единственное аналитическое (тоже по всем аргументам) решение y = y(x; x0; y0; p) задачи Коши (I.10).

Формулировка, как видим, гораздо проще, чем у теоремы 2, доказательство будет дано средствами теории голоморфных функций.

Эта теорема гарантирует сходимость формального степенного ряда, который формально решает задачу Коши. Члены этого ряда y = y0 + y1 x x0 + : : : могут быть найдены как неопределенные

1!

коэффициенты после подстановки отрезка ряда в систему. Второй способ найти ряд дифференцировать систему и находить после-

довательно производные y(j)(x0) = yj.

6 Преобразования уравнений и систем

Преобразуют уравнения не только для того, чтобы облегчить их исследование или решить. Случается, что преобразования составляют само исследование. С их помощью уравнения и системы классифицируют. Исследуют и сами преобразования. Например, выясняют, какие преобразования не изменяют уравнение (они называются

симметриями).

6.1 Приведение к нормальной форме

Коротко говоря, это преобразование заключается в том, что старшие производные неизвестных обозначаются новыми буквами. Если в систему с n неизвестными входит производная порядка выше первого