Лекции по ЧМ и ТВ

Здесь Mij дополняющий минор элемента mij, òî åñòü, îïðå- делитель матрицы, полученной из M вычеркиванием строки i и столбца j. Это определение основано на индукции по порядку мат-

риц. Определителем матрицы первого порядка считается ее единственный элемент.

Еще одно определение получится, если здесь столбцы и строки поменять ролями. Тогда суммирование будет происходить не по i, а по j, все остальное сохранит прежний вид.

В. Тремя условиями. Функция от матричного аргумента det M называется определителем, если она

i.Равна 1 от единичной матрицы 1M , òî åñòü, det 1M = 1

ii.Линейна по каждому столбцу (иначе говоря, полилинейна по столбцам). Обозначим j-тый столбец матрицы как m;j. Тогда

матрица станет строкой столбцов: M = (m;1; : : : ; m;n), а полили-

нейность по столбцам означает просто линейность по каждому столбцу, например, по i-ому:

det (m;1; : : : ; a m0;i + b m00;i; : : : ; m;n) =

=a det (m;1; : : : ; m0;i; : : : ; m;n) + b det (m;1; : : : ; m00;i; : : : ; m;n)

iii.Кососимметрична по столбцам, то есть, при всех i; k

det (: : : ; m;i; : : : ; m;k; : : : ) = det (: : : ; m;k; : : : ; m;i; : : : )

Здесь показаны лишь два столбца i-тый и k-тый, остальные эле-

менты определителей стоят на своих местах.

Из этого определения определителя также можно получить еще одно, заменив слово 'столбец' словом 'строка'.

Доказательство эквивалентности этих определений можно вывести из следующего результата

Лемма 54. Если функция f(M) от матриц полилинейна и косо-

симметрична по столбцам (или по строкам), то она однозначно определяется своим значением на единичной матрице.

Пусть e1; : : : ; en канонический базис из столбцов, образующих единичную матрицуP . Разложим каждый столбец матрицы по этому ба-

çèñó: m;k = mj kej и, используя последовательно линейность и

j

кососимметричность f, получим:

172 Глава VII. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ

Четность подстановки (kj) совпадает с четностью обратной подстановки (jk) (определение обратной подстановки: jkj = j; 8j); отсюда следует равноправность строк и столбцов в формулировках.

Заметим, что в последнем равенстве через "k обозначено число пе- рестановок столбцов, после которых из набора ek1 : : : ekn получится набор e1 : : : en: Нетрудно убедиться, что четность этого числа совпадает с четностью определенного ранее числа

2)Определитель равен нулю, если его две строки (два столбца) пропорциональны.

3)Определитель не изменится, если к его строке прибавить строку, пропорциональную другой строке. (То же для столбцов)

Оба эти свойства следуют из полилинейности и кососимметрич- ности.

Они позволяют вычислять определители методом Гаусса.

4) Пусть матрица зависит от x: Производная ее определителя равна сумме n определителей, в каждом из которых продифференци-

с коэффициентами xi. После этого остается только воспользоваться линейностью определителя по столбцу и свойством 2).

Матрица Mf называется присоединенной ê M. Как видно из фор-

мулы, она получается если в матрице M каждый элемент заменить

на его алгебраическое дополнение, то есть, на дополняющий минор, взятый со знаком четности суммы индексов элемента, и полученную матрицу транспонировать.

7) det AB = det A det B.

2.2.1Площади и объемы

Определитель матрицы равен ориентированному объему n-мерного

Более общо, k-мерный объем, который можно называть и площадью, параллелепипеда, натянутого на k векторов в n-мерном про-

странстве,торов: V можно вычислить, взяв внешнее произведение этих век- x;j = x;1 ^ ^ x;k. После запятой в индексе пишем но-

мер вектора. Это произведение вектор многомерного пространства Vk Rn; он определяет не только объем, но еще ориентацию парал-

лелепипеда и расположение его k-плоскости в пространстве Rn.

íûå k-векторы в пространстве векторных k-мерных объемов, а опреэтом пространстве. Эти опреде-

лители можно рассматривать как значения k-форм, образованных внешними произведениями координатных 1-форм xj на k-векторах:

det(xij;m) = xi1 ^ ^ xik (x;1 ^ ^ x;k), поскольку xij (x;m) = xij;m.

Чтобы получить скалярный объем нужно взять модуль векторного объема. Предположим что пространство Rn евклидово. Евкли-

дова структура естественно распространяется на внешние степени:

174 Глава VII. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ

i1< <ik i1< <ik

Скалярный ориентированный объем можно вычислять по формуле пригодной для всех параллелепипедов, лежащих в одной плоскости. Эта формула получается как значение подходящей k-формы

i1< <ik

Техника получения этой формулы может быть такова. Пусть плос-

Pкость исходного параллелепипеда задается набором уравнениний aijxj = 0, i = 1; : : : ; n k. Тогда нормали к плоскости параллеле-

пипеда имеют вид: i = Paij ej. Их внешнее произведение Vn k i

åñòü n k-нормаль к плоскости параллелепипеда, совпадающая с

векторным объемом параллелепипеда, который лежит в плоскости перпендикулярной плоскости исходного параллелепипеда. Поэтому åñëè Vn k i нормировать и помножить на объем первого парал-

лелепипеда, получится n-мерный векторный объем, равновеликий исходному k-мерному объему.

Следовательно,

2.2.2Некоторые следствия

Всякая числовая квадратная матрица удовлетворяет единственному многочлену минимальной степени (вещественному, если матрица вещественна), иначе говоря, минимальному многочлену этой матрицы

(M).

Теорема 55. (Гамильтон Кэли, 1853 1858) Каждая числовая квадратная матрица M есть корень своего характеристического

многочлена ( ) = det(M ):

со всеми

но, в (VII.1) умножения производятся по правилам коммутативной алгебры и вместо в это тождество можно подставлять любую

Из этой теоремы немедленно следует, что минимальный много- член делит характеристический. С другой стороны, все корни характеристического многочлена (без учета кратностей) будут также корнями минимального многочлена. В этом можно убедиться, умно-

æèâ (M) на собственный вектор матрицы M, то есть, на ненулевое решение уравнения (M )v = 0, где корень ( ).

2.2.3Жорданова нормальная форма

Предложение 56. Пусть 1; : : : ; m все комплексные корни

но они могут быть расставлены вдоль дигонали произвольно. Рассматривая матрицу как оператор в конечномерном про-

странстве Cn, можно сформулировать результат иначе: пространство распадается в сумму инвариантных относительно

действия M подпространств, в каждом из которых существует базис e1; : : : ; ek, такой что Mep = jep + ep+1, ïðè p < k,

Mek = jek.

Если все корни вещественны, то пространство Rn распадается

в сумму жордановых подпространств.

Задача сводится к случаю, когда характеристический многочлен матрицы имеет только один n-кратный корень. В самом деле, в

противном случае многочлен можно разложить на взаимно простые множители: = P Q, и согласно предложению 58, найти такие мно-

гочлены R è S, ÷òî RP +SQ = 1; тогда пространство Cn разложится в прямую сумму M-подпространств: Cn = P (M) Cn + Q(M) Cn. À

åñëè Cn есть прямая сумма M-инвариантных подпространств, то жорданов базис в Cn сложится из базисов слагаемых. Далее, мож-

но считать, что этот единственный корень равен нулю, так как матрицу M можно заменить на M . Тогда M Cn не совпадает с

Cn. Скажем, что набор векторов (x1; : : : ; xk) имеет порядок p, åñëè Mpx = 0 è Mp 1x 6= 0 для любого ненулевого вектора x = P jxj.

Докажем по индукции, что если порядок p максимален и набор

векторов тоже максимален, то каждый вектор из набора порождает жорданову клетку: xj, Mxj, M2xj, . . . . Пополним, если нужно, подпространство M Cn линейно независимыми от набора векторами

до пространства X размерности n k. Тогда, набор (Mx1; : : : ; Mxk) имеет порядок p 1 â X, и этот порядок максимален. Так как

этот набор можно дополнить в X до максимального, он порождает жордановы клетки в X (по индукции). Очевидно, эти клетки

2.3Комплексные числа

Поле комплексных чисел содержит в себе поле вещественных чисел R и порождено одним дополнительным числом i, квадрат которого равен 1: i2 = 1; поэтому оно совпадает с двумерным вектор-

ным пространством над своим подполем вещественных чисел. Таким образом, общее комплексное число может быть записано в виде z = x + iy, который называется алгебраической формой комплекс-

ного числа . Вещественные числа x è y называются вещественной è мнимой частями числа z.

Спрашивается, где взять такое число i и как добавить к полю вещественных чисел R? Рассмотрим два способа решения этой задачи: геометрический (Гаусс, 1811) и алгебраический (Коши, 1847).

В первом случае поле комплексных чисел C отождествляется с декартовой плоскостью R2

xy, на которой вещественные числа располагаются на оси абсцисс, а число i помещается в точку (0; 1). Èòàê,

комплексное число это вектор или точка на плоскости с координатами (x; y) и, как вектор, может быть разложено по базису 1, i:

z = 1x + iy. После этого вещественная плоскость становится

комплексной плоскостью Cz. Операции сложения (правило парал-

лелограмма) и умножения на вещественное число переносятся при этом с векторов на комплексные числа. Операция умножения определяется как действие, подчиненное основным законам арифметики и условию i2 = 1, òàê ÷òî (a + ib)(c + id) = ac bd + i(ad + bc):

При этом необходимо убедиться, что определенное этой формулой умножение в самом деле удовлетворят правилам арифметики, то есть, коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно, или, говоря по-русски, подчиняется переместительному, сочетательному и распределительному законам.

Алгебраическое определение комплексных чисел подобно определению вычетов по модулю n в целых числах. Вычет это остаток от

деления числа на n, например, 40(mod 12) = 4. Вычеты можно складывать, умножать, а когда n простое, и делить: 4 8 = 8(mod 12),

1=4 = 2(mod 7). Комплексные числа отождествляются с остатками

от деления многочленов от одной переменной i с вещественными коэффициентами на i2 + 1. Символически это можно записать так:

C = R[ i]=( i2+1). В остатке всегда получается многочлен первой степени вида x + iy, то есть, ничто иное как точка (x; y) на плоскости,

поэтому обе модели эквивалентны. Преимущество алгебраического введения можно видеть в том, что здесь правила арифметики числа наследуют от многочленов.

Оба способа определения решают проблему извлечения квадрат-

ного корня из отрицательногоp числа, то есть, отвечают на вопросы, где этот корень ( 1) взять и как его добавить к вещественным числам.

Из других интерпретаций поля комплексных чисел можно еще отметить матричную: z = 1M x + Iy, ãäå 1M единичная двумерная

матрица, I матрица с элементами I11 = 0, I12 = 1, I21 = 1,

I22 = 0. Все интерпретации между собой изоморфны и этот факт может быть выражен посредством понятия математическая струк-

òóðà. Говорят, что на плоскости, факторкольце многочленов, в множестве матриц можно задать комплексную структуру. Это задание суть изоморфизм теперь уже единственного поля комплексных чи- сел на каждое из множеств. Существование этого поля вытекает из наличия интерпретаций. Оно и есть комплексная структура.

На комплåксных числах определяется операция комплексного сопряжения: z = x iy: Затем абсолютное значение èëè модуль ком-

p p

плексного числа: jzj = zz = x2 + y2: Через эти операции можно

178 Глава VII. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ

выразить деление: 1=z = z=jzj2, в связи с наличием которого мно-

неоднозначности ' получается конечное число значений степени, p

например, n 1 = cos(2 k=n) + i sin(2 k=n), k = 0; : : : ; n 1, à ïðè

иррациональном даже бесконечное.

Записав решения задачи Коши y''00 + y = 0, y(0) = 1, y'0 (0) = i â

экспоненциальной и тригонометрической формах, получим

Эйлера:

ei' = cos ' + i sin '

Разложение в ряд экспоненты: ei' = 1+ 1!i' + : : :

ния синуса и косинуса. Обратно, из разложений получается формула Эйлера.

Подчеркнем, что формула Эйлера не теорема, а определение. Возведение в комплексную степень не сводится к умножению. Чтобы доказать, что ei' чему бы то ни было равно, нужно знать, что

это такое, а узнать это негде. Перечисленные соображения, на основании которых определение было принято, доказывают лишь, что так определенная экспонента будет обладать некоторыми из свойств вещественной экспоненты.

Правила действий с комплексными степенями числа e таковы же как с вещественными, это следует из представления тех и других рядами. Воспользовавшись ими, получаем

w = ez = ex eiy = ex (cos y + i sin y)

Здесь число w представлено в экспоненциальной и тригонометри- ческой формах. Число z, естественно, называется логарифмом комплексного числа w. Из формулы ясно, что

ln w = ln jwj + i arg w:

Таким образом, комплексная экспонента определена всегда и 2 i-

периодична, а обратная функция логарифм существует у всех чи- сел, кроме нуля, и имеет бесконечное количество ветвей, переход с

180 Глава VII. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ

Тогда найдутся единственные многочлены R и S степеней deg R < deg Q, deg S < deg P , такие, что P R + QS = D.

Ясно, что многочлен вида E = P R + QS минимальной степени делится на D и имеет степень меньшую, чем степени deg P , deg Q, так как в противном случае E можно заменить на его остаток от деления на P èëè íà Q. Åñëè áû E не делил, скажем, P то его степень можно было бы понизить, взяв вместо него остаток F от деления P íà E.

2.4Комбинаторика

Эта наука изучает методы подсчета числа элементов конечного множества, которое построено с помощью нескольких операций из множеств с известными числами элементов. Следующий результат перечисляет несколько простых правил взаимодействия операции #

(читается: 'число'), которая каждому множеству сопоставляет число его элементов, с операциями теории множеств.

Упражнение 21.

1) #(?) =?

T

2) #(A [ B) = #(A) + #(B) #(A B)

3)#(A [ B [ C) = #(A) + #(B) + #(C) #(A \ B)

#(A \ C) #(B \ C) + #(A \ B \ C) и так далее.

4)#(A B) = #(A) #(B)

5)#(2A) = 2#(A), вообще #(AB) = #(A)#(B), ãäå AB множество всех отображений множества B в множество A:

6)Если отображение f: A ! B таково, что #(f 1(b)) = n = const, òî

#(A) = n #(B):

Пусть M = fm1; : : : ; mng множество из n элементов.

íèåì èç n ïî k = ( 1; : : : ; k) попарно различных элементов множества M. Можно сказать подробнее: раз-

мещением из n элементов множества M ïî k местам называется . . . .

Отметим здесь, что неупорядоченные наборы или множества обозначаются фигурными скобками: f 1; 2; 3g = f 3; 2; 1g, à óïî-

рядоченные простыми: ( 1; 2; 3) 6= ( 3; 2; 1). Обозначим множество всех размещений из n ïî k через

Перестановкой (или подстановкой) n элементов