Лекции по ЧМ и ТВ

5. Теоремой Коши (обобщенной) называется импликация (аналитичность )

3). Обратную импликацию называют теоремой Мореры. В простой (а не обобщенной) теореме Коши берется не произвольная открытая область с кусочно

гладкой границей, а связная и односвязная, то есть, состоящая из одного куска и не имеющая дыр.

6. Наряду с приведенным способом (определение 19) голоморфность часто определяют условиями 1 или 2 теоремы.

7. Может быть, наиболее удивительным явлением кажется аналитичность любой комплексно дифференцируемой функции. Определения производной для случаев комплексной и вещественной переменной по форме не отличаются, однако в вещественном случае для аналитичности необходимо, чтобы существовали все производные да еще с оценками.

Доказательство этого удивительного факта ( 1 ) 4 ) голоморфность) опи-

рается на решение краевой задачи для уравнения с частными производными. В самом деле, условие 4 может быть переформулировано так: любое решение урав- нения @f@z = 0 в области определяется формулой Коши по значениям искомой функции на границе.

3 Несколько свойств аналитических функций

1) Голоморфные функции можно складывать умножать и делить там, где делитель не обращается в нуль.

2) Голоморфная функция однозначно определяется своим ограничением на любое открытое подмножество связной области определения функции и даже своим разложением в ряд в одной любой точке.

В силу связности фиксированная точка данного открытого множества соединяется с любой точкой области определения непрерывной кривой. Кривая покрывается кругами исходя из первой точки так, чтобы центр каждого следующего круга находился в предыдущем. В каждом из кругов функция раскладывается в степенной ряд. По формуле Тейлора ряд, относящийся к любому кругу, однозначно определен функцией из предшествующего круга.

Таким способом можно не только восстановить функцию в области ее определения, но расширить саму эту первоначальную область. Пределом расширения будет область, через границу которой функция уже не продолжается. Если расширение оказывается многосвязным, то возвратившись в исходную область по кривой, обходящей дыры, можно получить новую функцию, которая в этом случае называется ветвью заданной функции. Так обычно получаются многозначные аналитические функции, примером служит комплексный логарифм.

Точки границы области максимального продолжения функции называются особыми. Они могут составлять произвольное замкнутое множество.

Это свойство называют принципом аргумента, поскольку интеграл равен приращению аргумента f при обходе контура области.

Упражнение 3. Доказать, что нули голоморфной функции изолированы, то есть, не могут скапливаться к точке голоморфности.

6) Если последовательность голоморфных в области функций fn на каждом компакте сходится равномерно к некоторой функции f,

то эта функция f также будет голоморфна.

Действительно, она будет удовлетворять условию 3 и 4 теоремы 20, так как под знаком интеграла допустим переход к пределу.

функции называют целыми) и ограничена, то она постоянна

z0

Этот интеграл определяет аналитическую функцию переменных z0 è z1. Как функция от z1 он есть первообразная f: gz01 = f.

9) Теорема Коши существования и единственности для голоморфной системы дифференциальных уравнений y0 = f(x; y; p): çà-

Предложение 23. Голоморфное отображение конформно во всех некритических точках, то есть, там, где его производная не обращается в нуль.

Пусть z(t) кривая, w = f(z) голоморфное отображение, тогда кривая w(t) = f(z(t)) образ первой кривой и w(0) = f0(z(0)) z(0):

То, что здесь сказано про комплексную производную, называется ее геометрическим смыслом. Можно сказать, что конформность в невырожденных точках это геометрический смысл аналитичности.

Конформность это еще одно характеристическое свойство аналитичности.

Задача 2. Доказать, что если отображение w = f(z) комплексных плоско-

стей конформно и непрерывно дифференцируемо в области, то оно в ней голоморфно.

4.1Графики элементарных функций

Рассмотрим примеры графического исследования. Роль графика функции w = f(z) в комплексном случае исполняют обычно два

чертежа. Плоскость z расчерчивается прямыми, параллельными осям, (координатной сеткой) а плоскость w их образами, или наоборот. На плоскости z прообразом координатной сетки, заданной на плоскости w, очевидно, будут линии уровня вещественной

и мнимой частей f. Бывает, что более удобно отображать другие кривые. Отмечаются особые (и критические: f0 = 0) точки.

Экспонента (w = ez = ex ei y) прямую параллельную оси x перево-

дит в луч, выходящий из нуля под углом y, а прямую параллельную îñè y в окружность радиуса ex. Логарифм эти лучи и окружно-

сти возвращает обратно. У экспоненты особая точка z = 1, у логарифма w = 0.

a def a ln z

Степенная функция w = z = e при вещественном a, каждый

луч, вышедший из начала координат, отображает на такой же луч, но с другим аргументом: arg w = a arg z. Особая точка z = 0.

Упражнение 4. Построить графики функций, отметив особые и крити- ческие точки:

w = ln z; sin z; cos z; sh z; ch z

5Вопросы и задачи с решениями

1.Голоморфные функции. Формула Коши и теорема Коши об интеграле по контуру. (с. 176-180, 68-75)

2.Голоморфные функции. Ряд Лорана. Теорема о вычетах. (с. 176-180, 68-75)

2. На комплексной плоскости w = u + iv найти образ координатной сетки при голоморфном отображении w = ln z.

Решение. u + iv = ln r + i' ) eu = r, cos v = x=r, sin v = y=r )

Ответ: cos v = x e u, sin v = y e u.

3. На комплексной плоскости w = u + iv найти образ координатной сетки при голоморфном отображении w = sin z.

Решение. u + iv = i sh iz = 2i ( e y(cos x + i sin x) ey(cos x i sin x)) =

jzj=3=4

Решение. sin 3z = sin z(1 + cos 2z) ) Знаменатель = sin z(2 cos 2z 6 i). Изучаем нули второго сомножителя: ch 2y cos 2x i sh 2y sin 2x = 3 i ) cos 2x = 0 )

Z

d z

z(2 3 i) )

jzj=3=4

Ответ: 239 ( 6 + 2 i).

IV Ряды Фурье.

Интегралы Фурье Лапласа. Уравнения математической физики

1Тригонометрические ряды Фурье

Эти ряды связаны с периодической задачей Штурма Лиувилля на отрезке [ l; l]:

Ясно, что такой ряд, если он конечно сходится, будет 2l-периоди-

ческой функцией на всей вещественной прямой, а если сходится к функции в ее области определения, то определит тем самым ее периодическое продолжение.

Коэффициенты Фурье вычисляются по формулам Эйлера (1777)

Фурье (1807):

l

Упражнение 5.

1. Получить соотношения: c0 = a0=2; cn + c n = an; i(cn c n) = bn

2.Доказать, что yk?ym ïðè k 6= m.

3.Вывести из 2., что ynk?ymlïðè nk 6= ml.

4. Формулы Эйлера Фурье теперь, когда установлено, что системы функций (yj), (yj;k) ортогональны, получаются из общей формулы для определения

коэффициентов Фурье (VII.5):

aj vj2 = (vj; u);

где u вектор, разложенный по системе ортогональных векторов (vj) с коэффи-

l

Z

циентами (aj). Показать, что yn2 = dx = 2l и вывести из теоремы Пифагора

l

(cos2 x + sin2 x = 1), ÷òî ynk2 = l.

Замечание. Ясно, что четные функции раскладываются по одним косинусам, а нечетные только по синусам. Формулы Эйлера Фурье (IV.4) можно в этом случае чуть-чуть упростить:

l l

l

ëèáî ïî sin l nx, которое, формально говоря, будет не тригонометрическим, а

обобщенным рядом Фурье. Ряд по косинусам сходится (по крайней мере в L2 на любом отрезке) к четной функции на прямой, а ряд по синусам к нечетной.

2Сходимость рядов Фурье в точках

С этой темой связаны в первую очередь следующие имена и даты: Дирихле (1829), Дини, Риман (1853), Жордан (1881).

Конечными суммами комплексного ряда Фурье называются вели-

Обозначим a(k; x) s b(k; x) отношение между последовательностями функций: ja(k; x) b(k; x)j ! 0 равномерно по x: Îíî

k!1

называется асимптотической эквивалентностью последовательностей (равномерной по x). Иначе говоря, последовательности

функций эквивалентны, если их разность равномерно стремится к нулю, хотя каждая из них вольна и расходиться.

80 Глава IV. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ ЛАПЛАСА

Идея доказательства состоит в том, чтобы приблизить f ступенча-

той функцией, интеграл от которой легко вычисляется. Но прямо это сделать нельзя, так как f еще зависит от x.

Непрерывность f(x; y) ïî x в пространстве L1( Ry) означает, что

1

Z

jf(x; y) f(t; y)j dy ! 0

x!t

1

Из этого и из того, что j ei yj = 1, вытекает, что интеграл (IV.7) будет непрерывно зависеть от x равномерно по . Следовательно,

если он будет мал при > c в точке x = c отрезка [a; b], то останется малым и в ее окрестности. Из этих окрестностей можно выбрать конечное число, так что их объединение покроет отрезок целиком. Тогда и интеграл будет мал всюду на отрезке. Следовательно, до-

статочно доказать сходимость (IV.7) при фиксированном x.

Для упрощения предположим, что f интегрируема по Риману. Из определения интеграла следует, что при любом " > 0 можно найти ступенчатую функцию g, равную нулю при больших jyj и такую, что

x1

Доказанный результат и лемма имеет многочисленные следствия; некоторые из них просто разъясняют смысл самого результата.

1) Теорема о локализации. Сходимость ряда в точке зависит лишь от поведения функции в сколь угодно малой окрестности этой точки.

2) cn ! 0.

n! 1

Коэффициенты Фурье интегрируемой функции стремятся к нулю. Это прямое следствие леммы Римана.