Лекции по ЧМ и ТВ

Q

!n = !n(x; x1; : : : ; xn) = (x xj)

j=1

Из формулы (II.9) следует оценка погрешности приближения полиномом Лагранжа функции f:

2.1.1Вычисление погрешностей квадратурных формул

Остаточный член 0 связан с интегралом I, его квадратурой S и остаточными членами на отрезках сетки 0j формулой:

n

0[f] = I[f] S[f] = P 0j[f]

1

Отсюда получается, во-первых, оценка

которая гласит, что если квадратура точна на функции P и если эта функция подобрана к функции f так, чтобы их квадратуры совпа-

[f] = M2 h2(b a) 24

Формула трапеций. Она тоже точна на многочленах первой степени, однако квадратура на сеточном отрезке здесь вычисляется по

многочлену Лагранжа P первой степени, поэтому по формуле (II.10)

Формула Симпсона. Она точна на многочленах третьей степени. Квадратуру на отрезке [0; 2h] можно вычислять по любому

кубическому многочлену, совпадающему с функцией f â òðåõ òî÷- êàõ: 0, h, 2h. Возьмем из них тот, который совпадает с функцией f в точке h вместе с производной. Он получается из многочлена Лагранжа построенного на сетке 0, h ", h, 2h ïðè " = 0. Тогда по формуле (II.10) остаточный член на отрезке [0; 2h] будет равен

f P = fIV ( ) x(x h)2(x 2h), откуда, как и в двух предыдущих слу-

4!

2.2Разделенные разности и многочлен Ньютона

Пусть имеются две последовательности переменных x1; : : : , y1; : : : . Разделенные разности k-ого порядка при k = 1 определяются как

функция одной из пар переменных (xj; yj) формулой f(xj) = yj. Ðàç- деленные разности порядка k > 1 определяются как рациональные

функции f(xn1; : : : ; xnk ) переменных (xn1; : : : ; xnk ; yn1; : : : ; ynk ). Формула для любой разности f(xn1; : : : ; xnk ) получается посредством подстановки переменных (xn1; : : : ; xnk ; yn1; : : : ; ynk ) на места переменных (x1; : : : ; xk; y1; : : : ; yk) из формулы для разделенной разности

f(x1; : : : ; xk), которая определяется двумя эквивалентными выра-

жениями:

где крышка ^ над символом означает, что он в перечне пропускается.

Докажем тождественность функций (II.13) и (II.14). Так как обе функции линейны и однородны по переменным (yj), достаточно бу-

yj. А так как формула

(II.13) определяет разделенную разность рекурсивно, то есть, через разделенные разности на единицу меньшего порядка, то для ее вы-

числения можно использовать формулу (II.14). При j отличном от m и n получаем в (II.13):

Свойства разделенных разностей

1. Из формулы (II.14) следует, что разделенная разность не зависит от порядка своих аргументов: f(x1; : : : ; xk) = = f(xn1; : : : ; xnk ), åñëè

(nj) подстановка набора (1; : : : ; k).

2. Численные значения разделенных разностей удобнее находить с помощью формулы (II.13), записывая их в таблицу:

2.3Сплайны

Словом `spline` в Англии называют тонкую упругую металлическую линейку. Она использовалась чертежником для проведения гладкой линии через заданные точки. Он вбивал в них булавки и вставлял между булавками линейку, получалась упругая линия.

Пусть на отрезке [a; b] имеется сетка x0 = a, x1, . . . , xn = b. Сплайном или сплайн-функцией порядка k называется k 1 ðàç

дифференцируемая функция, которая на каждом отрезке xj 1; xj сетки есть многочлен Sj степени не выше k и которая в

совпадает с заданной сеточной функцией y0, . . . , yn. Сплайн первого порядка называется кусочно-линейной аппроксимацией, а сплайны порядков 2 è 3 параболическими и кубическими.

Предложение 18 При k > 0 каждая сеточная функция имеет сплайн. Сплайны нулевой сеточной функции образуют (k 1)- мерное векторное пространство.

Многочлены искомого сплайна можно последовательно построить, начав с крайнего левого отрезка. На нем можно взять любой мно-

гочлен S1 (например, линейный), совпадающий с функцией в концах. К этому многочлену на отрезке [x1; x2] пристраивается сумма S2 = P1 + a1(x x1)k, в которой P1 многочлен степени k 1, имеющий заданные k 1 производную (включая нулевую) в точке x1,

а число a1 находится из условия S2(x2) = y2. Ясно, что эта проце- дура однозначно продолжается до правого конца отрезка. Сплайн нулевой сеточной функции зависит от произвольного многочлена Q

степени k 2, так как в этом случае S1 = (x x0)(x x1)Q. Спрашивается, как же определить сплайн однозначно? Можно позаботиться о нескольких производных сплайна на концах отрезка. Например, приравнять их к разностным производным сеточной

функции.

Пример 14. Аппроксимировать кубическими сплайнами функцию x5 íà отрезке 0 x 4 с шагом h = 2. Оценить погрешность.

S1 = 16x

S2 = 32 + 16(x 2) + a(x 2)3; a = (45 32 16 2)=8 = 120.

Базисные сплайны нулевой сеточной функции S10 = (S11; S12) è S20 = (S21; S22) имеют вид:

S11 = x(x 2)

S12 = (ax + b)(x 2)(x 4),

(S120 (2) = 2(2a + b) = 2, S1200 (2) = 2b = 2) a = 1, b = 1.

S21 = x(x 2)2

S22 = (cx + d)(x 2)(x 4)

Здесь корень 3:25 алгебраического уравнения 5x4 16 360(x 2)2 = 0 приходится

искать графически и приближенно.

= jjf Sjj = 76:2, jjfjj = 1024, = 76:2=1024 = 0:075 = 7:5%

Вывод из вычислений: приближение неплохое, вероятно его можно улучшить с помощью сплайнов S10 è S20.

Замечания. Возникает вопрос: зачем нужны еще сплайны, если уже есть многочлены Лагранжа и Ньютона? Ведь сплайны решают те же самые задачи интерполяции, экстраполяции и аппроксимации. Конечно же дело в том, что эти многочлены часто оказываются плохи. Улучшить аппроксимацию можно путем измельчения сетки, а интерполяцию путем замены простых многочленов на более сложные, совпадающие в узлах не только с сеточной функцией, но и с ее разностными производными. Ясно, что степень интерполяционного многочлена от этого вырастет, а его бесконечная гладкость останется не только бессмысленным балластом, но может еще и мешать делу. Сплайн как раз и сочетает в себе минимальную степень и необходимую гладкость. Это сочетание не идеально, с увеличением порядка сплайн приобретает пороки интерполяционных многочленов. Даже параболические и кубические сплайны не оправдывают надежд при использовании их для представления решений дифференциальных уравнений. Более правильный подход состоит в том, чтобы искать сеточное решение, а сплайны использовать только для его интерполяции и отображения на чертеж или экран.

Сплайн используют для аппроксимации функций, когда его значение вычислить проще, чем значение исходной функции. В этом случае, если считать, что на сеточном отрезке сплайн будет многочленом Лагранжа степени 2k 1, совпа-

дающим с функцией вместе с ее k производными на концах, оценка погрешности получится из формулы (II.10):

Такие сплайны называются эрмитовыми, естественно, на непрерывность их производных порядка > k рассчитывать не приходится. Оценки погрешностей глад-

ких сплайнов трудны и малоинформативны.

2.4Метод наименьших квадратов

Задача состоит в том, чтобы заданную функцию f(x) приблизить

линейной комбинацией данных функций v1; : : : так, чтобы достичь минимума скалярного квадрата R = (f Pajvj)2. Такая задача

возникает когда функция f известна приближенно, когда она задана

только в отдельных точках, когда ее значения случайны, или когда ее требуется упростить, например, сгладить, а точного совпадения приближающей функции с f в отдельных точках не требуется.

Прямой путь минимизации функции R приводит к системе линейных уравнений:

58 Глава II. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

P

Rak =2 = aj(vj; vk) (f; vk) = 0:

Если систему (vj) взять ортогональной, нахождение коэффициентов

упростится. Искомое решение P

ajvj есть ортогональная проекция пендикуляр короче всякого отрезка опущенного из точки на прямую.

функции на линейное подпространство векторов vj, поскольку пер-

Скалярное произведение, с помощью которого реализуется процедура, выбирают по-разному. Например, если функция f задана на

сетке x1; : : : , òî скалярное произведение сеточных функций можно

Z

опирающейся на точки сетки.

3Метод Рунге оценки погрешностей

Часто точность вычислительного метода зависит от малого параметра h, например, от шага, степенным образом: (h) = Chm. Â ýòîì

случае погрешность можно оценить численно, проведя еще одно вы- числение с половинным шагом. Тогда

(h) (h=2) = Chm(1 2 m).

Пусть A(h); A(h=2) вычисленные приближения величины A, оче- видно: 0(h) 0(h=2) = (A A(h)) (A A(h=2)) = A(h=2) A(h).

Следовательно,

jjA(h=2) A(h)jj = jj 0(h) 0(h=2)jj jj 0(h)jj jj 0(h=2)jj =

Знак равенства здесь не совсем логично написан вместо знака неравенства ввиду того, что, согласно утвердившемуся весьма скользкому принципу, число, превосходящее оценку погрешности, само есть

оценка погрешности èëè ñàìà погрешность.

Пример 15. С уменьшением параметра h количество арифметических опе-

раций возрастает, растет время вычислений и начинает расти погрешность, не учтенная оценкой. Поэтому приходится прекращать уменьшение параметра, как только значащие цифры результата стабилизируются.

4Линейные системы уравнений

Рассмотрим три метода, пригодных для решения небольших систем вида

ãäå A = (aij), i; j = 1; : : : ; n квадратная матрица с вещественными коэффициентами, a = (aj), j = 1; : : : ; n вектор правой части, x = (xj), j = 1; : : : ; n неизвестный вектор.

Метод последовательного исключения неизвестных (Гаусса) не нуждается в описании. Этот алгоритм имеет модификации, например, чтобы уменьшить погрешность вычисления, можно выбирать для очередного исключения не какую попало переменную, а с наибольшим коэффициентом. Алгоритм заканчивает работу либо отыскав все неизвестные, либо констатировав вырожденность системы. Имя Гаусса к этой процедуре прилипло по нелепой и неизвестной причине, она была известна уже 4000 лет назад.

Метод простой итерации пригоден для решения линейных и нелинейных задач в любых полных нормированных пространствах, а не только в конечномерных. Изложим его здесь в применении к системе (II.17). Она должна иметь вид:

Для доказательства рассмотрим разность двух соседних уравнений

Бывает удобнее совершать итерации, приведя исходную систему к виду:

Cx = Dx + c;

если матрицу C легче обращать, чем матрицу A; достаточное условие сходимости итераций становится неравенством jjC 1Djj < 1, à

сам процесс записывается в виде Cx(n+1) = Dx(n) + c. Ясно, что это та же простая итерация, в которой матрицу B замещает компози-

60 Глава II. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

öèÿ C 1D, которая обозначает не произведение матриц, а последовательность действий: сначала x(n) умножается на D, затем решается

система Cx(n+1) = Dx(n) + c относительно x(n+1). Такие процедуры часто не отличают от метода простой итерации или называют методом последовательных приближений, но некоторые из них носят собственные имена.

Например, метод Зейделя сводится к методу простой итерации, если в качестве матрицы C взять левую додиагональную часть мат-

ðèöû A: C = (aij), j i, D = A C. Алгоритм Зейделя имеет

удобное словесное выражение: компоненты вектора на шаге итерации находятся одна за другой, при этом в вычислении очередной компоненты учитываются найденные на этом шаге значения предшествующих компонент.

Пример 16. Решить методом Зейделя систему

(

10 x + 5 y 6 z = 4 3 x + 10 y + 2 z = 2 2 y + 10 z = 5

Совершить 4 итерации. Найти погрешность.

(

10 x = 5 y + 6 z + 4 3 x + 10 y = 2 z + 2

2 y + 10 z = 5

x(0) = 0; y(0) = 0; z(0) = 0;

x(1) = 0:4; y(1) = 0:08; z(1) = 0:484; x(2) = 0:65; y(2) = 0:092; z(2) = 0:52; x(3) = 0:76; y(3) = 0:1; z(3) = 0:52; x(4) = 0:762; y(4) = 0:132; z(4) = 0:53;

Чтобы вычислить погрешность, методом Гаусса находим точное решение: x = 0:809; y = 0:176; z = 0:535

0 = (0:047; 0:044; 0:005); = 0:047; = 0:06 = 6%

Погрешность решения системы методом исключения складывается из погрешностей отдельных арифметических операций. В итерационном методе на первых шагах значительная погрешность возникает из-за медленной сходимости процесса. С ростом числа итераций точность увеличивается и может быть найдено даже точное решение, в том смысле, что итерации решения стабилизируются.

Можно оценить погрешность численно, методом, похожим на метод Рунге. Нужно найденное приближение x0 подставить в си-

стему и найти невязку разность между правой и левой частью:0a = a Ax0. Тогда решение 0x системы A 0x = 0a, если его найти с такой же относительной погрешностью как у приближения x0, äàñò

приближение к погрешности решения. Благодаря линейности систе- мы решение 0x находится с той же относительной точностью, что и решение x0, поскольку действия с порядками чисел осуществляются