Лекции по ЧМ и ТВ

122 Глава V. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

m

13 Характеристическая функция

Метод характеристических функций используется для вычисления распределений сумм случайных величин и предельных распределений.

Характеристической функцией случайной величины математическое ожидание функции ei t X:

Z Z

'X (t) = M( ei t X) = ei t x d FX (x) = ei t x p(x) dx

Ясно, что характеристическая функция лишь знаком при аргументе отличается от преобразования Фурье плотности распределения величины X: ' (t) = bp ( t), конечно в том случае, когда эта плотность существуетX.

Предложение 43. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристиче- ских функций:

Когда распределения случайных величин имеют плотность эта формула вытекает из свойств преобразования Фурье и свертки. В общем случае доказательство приходится повторить. Согласно определению: 1

124 Глава V. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

свертку индикатора отрезка [a "; b + "] с дельта-образной последовательностью: " = I[a "; b+"] ".

Определение 45. Последовательность d Fn(x) вероятностных ìåð слабо сходится к мере d F(x),

d Fn(x) ! d F(x), w

åñëè M( (Xn)) ! M( (X)) для любой бесконечно дифференцируемой функции (x) с компактным носителем. В этом случае

говорят также, что слабо сходятся случайные величины, их распределения или функции распределения.

Предложение 46. Теорема непрерывности.

d Fn(x) ! d F(x) тогда и только тогда, когда последователь- w

ность характеристических функций сходится в каждой точке:

' (t) ! ' (t) 8t.

Xn X

Пусть последовательность мер слабо сходится. Ясно, что сходимость характеристических функций не следует сразу из определения слабой сходимости только потому, что функция eixt не равна нулю на

бесконечности. Аппроксимируем ее функциями с компактным носителем. Пусть гладкая функция #A(x) равна 1 ïðè jxj A, ðàâ-

íà 0 ïðè jxj A + 1 и не убывает с ростом A. Можно в качестве

#A(x) взять построенную выше функцию "(x) ïðè " = 1, a = A, b = A. Òàê êàê #A(x) ! 1, когда A ! 1, то при любом " по теореме Лебега M(#A(X)) 1 ", когда A A". Отсюда следует, что

M(#A(Xn)) 1 2", когда A = A" è n n", и, следовательно, когда A A", поскольку с ростом A математическое ожидание случайной

величины #A(X) растет при любой случайной величине X. Теперь

в сумме 'Xn (t) = M(#A(Xn) eiXnt) + M((1 #A(Xn)) eiXnt) первое

слагаемое стремится к ' (t) а второе имеет порядок ": j M((1

X

#A(Xn)) eiXnt)j M((1 #A(Xn))) 2", что и требуется. Докажем теперь обратное, пусть поточечно сходится последова-

усилить.

Предложение 47. Для функций распределения слабая сходимость эквивалентна равномерной сходимости.

Пусть последовательность FXn слабо сходится к F = FX . Äîêà- жем, что отсюда следует сходимость в каждой точке a. Рассмотрим

две гладкие функции с компактными носителями # , #+, настолько близкие к ступеньке

F(a 0) F(a + 0) M(#+(X)) F(a + 0) + ". Обе они плавно поднимаются от 0 до 1 вблизи 1, # быстро и плавно опускается äî 0 перед точкой a, à #+ после. Тогда, ввиду слабой сходимости, при больших n будут выполняться неравенства F(a 0) 2"

M(# (Xn)) F(a 0)+", F(a+0) " M(#+(Xn)) F(a+0)+2",

которые означают, что FXn ! F в каждой точке непрерывности и с каждой стороны любой точки разрыва, то есть, в a 0 è â

a + 0. Из поточечной сходимости выводится равномерная. Прямую

Rx можно разбить на конечное количество ограниченных и два полуограниченных промежутка, на каждом из которых функция F(x)

возрастает не более, чем на ", для любого заранее заданного числа ". Если j FXn(xj) F(xj) " в концах каждого промежутка, то

j;k=1

Предложение 48. (Теорема Бохнера Хинчина) Комплекснознач- ная функция (t), (0) = 1, интегрируемая и непрерывная в нуле,

тогда и только тогда есть характеристическая функция некоторой случайной величины, когда она положительно определена.

126 Глава V. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Необходимость условия следует из равенства

преобразование Фурье с помощью формулы обращения, получим:

В доказательствах теоремы Муавра Лапласа и центральной предельной теоремы появятся примеры применения метода характеристических функций.

P(jX mj < 3 ) = 2 (3) = 0:997 : : :

Для весьма обширного класса задач это значит, что значения нормальной случайной величины, отличающиеся от наиболее вероятного более чем на три средних квадратических отклонения, маловероятны. Это правило применяют и по-другому: неизвестно как распределенная величина считается нормальной, если она ему подчиняется.

15.0.3Распределение хи-квадрат

Случайной величиной 2 с n степенями свободы называется сумма

квадратов n независимых (0; 1)-нормальных величин. Ее распределение имеет вид:

ложения 43: ' 2 = (1 2 it) n=2, из чего следует, что распределение2 тоже оказывается гамма-распределением: 2 = 1=2;n=2.

15.0.4Распределение Стьюдента с n степенями свободы

Случайная величина

свободы, имеет плотность распределения: