Лекции по ЧМ и ТВ

22 Глава I. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

÷òî

если @ a произведение операторов умножения на функцию a(x) и дифференцирования; эта формула называется формулой Лейбница:

Запишем уравнение в операторной форме и разложим его оператор на множители: P [y] = (@2 + 3@ + 2)[y] = (@ + 1)(@ + 2)[y] = 0. Теперь сразу получаем

формулу общего решения из решений уравнений первого порядка, которые соответствуют множителям: y = C1 e x + C2 e 2x. Очевидно, так можно решать любые уравнения с постоянными коэффициентами.

6.3Сведение нормальной системы к одному уравнению. Метод исключения

Пусть дана система

Рассуждение проводится в окрестности точки x = 0; y = 0.

Естественный, хотя и не вполне надежный алгоритм состоит в следующем. Выбрав, скажем, первую неизвестную, продифференцируем n 1 раз по x первое уравнение y10 = f1 в силу системы.

Дифференцировать в силу системы это значит рассматривать f

как сложную функцию, зависящую от x è y(x) и плюс к этому под-

Из первых (n 1)-ого уравнения найдем переменные y2; : : : ; yn è ïîä- ставим в последнее. Найти их можно по теореме о неявной функции,

Пример 8.

сведение одной задачи к другой приведет к существенному прогрессу в решении первой. Это обстоятельство резко контрастирует с алгебраическим случаем, где исключение из системы всех неизвестных, кроме одной, в линейном случае сразу решает задачу, а в нелинейном может значительно облегчить.

6.4Несколько способов понижения порядка уравнения

1)Если уравнение не содержит независимую переменную:

f(y; : : : ; y(n)) = 0;

то подстановка y0 = u(y) понижает его порядок.

то оно эквивалентно уравнению меньшего порядка, правда с параметром:

f(x; y; : : : ; y(n)) = C

7) Если уравнение y(n) = f (в нормальной форме) имеет первый интеграл, иначе говоря, если дана функция F (x; y; : : : ; y(n 1)), ïðî-

8) Если система y0 = f(x; y) имеет первый интеграл F (x; y); òî

путем добавления к ней уравнения F = c:

3. Найдем частное решение. Рассматриваются два случая.

3.1. Метод подбора применим, когда правая часть имеет специальный вид:

f = Rp(x) eax h cossin ibx;

ãäå Rp многочлен степени p. Решение в этом случае можно найти в виде:

ãäå n(a + ib) кратность корня a + ib многочлена P (k) (если число

a+ ib не корень многочлена P (k), то полагаем n(a + ib) = 0), Sp è Tpмногочлены степени p с неопределенными коэффициентами. Что-

бы их найти, нужно подставить y0 в уравнение (I.16) и, считая его после этого тождеством, выписать уравнения для коэффициентов и решить их.

3.2 Метод вариации постоянных пригоден для любой правой ча- сти и для линейных уравнений с переменными коэффициентами, когда известно общее решение однородного уравнения. Запишем его в виде:

z = C1z1 + + Cnzn;

ãäå (Cj) произвольные постоянные, а (zj) частные решения однородного уравнения. Частное решение ищется в виде:

Требуется доказать, что z из (I.17) общее решение однородного

уравнения, а y0 в (I.18) и (I.19) частные решения (I.16).

однородному уравнению.

Общим решением функция z будет в том случае, если она по- рождает в любой точке x0 любые начальные данные задачи Коши для уравнения, иными словами, если система уравнений z(x0) = z0,

z(n 1)(x0) = zn 1 Cj имеет решение при любых правых частях. Это значит, что определитель этой системы

должен быть отличен от нуля. Если бы это было не так, то существовало бы ненулевое решение (C1; : : : ; Cn) соответствующей одно-

родной системы. Тогда по теореме Коши функция z с этими по-

стоянными тождественно равна нулю. Но это невозможно, так как функции (zj) линейно независимы. Это нетрудно доказать индук-

цией по сумме максимальных степеней x и числа экспонент, суще-

ственно входящих в тождество. Из легко проверяемого тождества (@ k1)[xp ek2x] = pxp 1 ek2x + (k2 k1)xp ek2x вытекает, что один из

операторов (@ kj) уменьшает эту сумму на единицу.

Чтобы получить частное решение (I.18) применим к равенству P y = f оператор (@ a ib)p+1. Он уничтожит правую часть;

уравнение станет однородным и y0 из формулы (I.18) есть та часть

его общего решения, которая не удовлетворяет уравнению P z = 0.

Осталось показать, что метод вариации постоянных верный метод. Продифференцируем равенство (I.19) n раз, приравнивая каж-

дый раз, кроме последнего, члены с первыми производными функций ui к нулю. На последнем шаге приравняем эти члены к f. Тогда в придачу к системе уравнений (I.20) получим систему равенств:

системе уравнения умножить последовательно на коэффициенты оператора P : a0, . . . , an 1, 1 и сложить, получится равенство

P [y0] = u1P [z1] + + unP [zn] + f = f;

òàê êàê P [zk] = 0 ïðè âñåõ k. Следовательно, там где система (I.20) разрешима, можно найти и y0, а система разрешима, так как ее опре-

Пример 10.

yIV + 8y000 + 42y00 + 104y0 + 169y = 972x ex + 648 e 2x sin 3x k4 + 8k3 + 42k2 + 104k + 169 = 0

k1;2;3;4 = 2 3 i

z = e 2 x((C1 + C2x) cos 3 x + (C3 + C4x) sin 3 x) y0 = (ax + b) ex + x2 e 2 x(c cos 3 x + d sin 3 x) =

= (3x 2) ex 9x2 e 2x cos 3x

Пояснение. Характеристическое уравнение можно решить методом угадывания корня или найдя общий его делитель с его же производной. Вычисление коэффициентов a; b; : : : лучше поручить компьютеру.

Пример 11.

7.2Метод исключения для систем с постоянными коэффициентами

Свести систему вида:

ãäå P = (Pij) квадратная матрица, составленная из дифферен-

циальных операторов, к уравнению можно несколькими способами. Рассмотрим некоторые из них.

Пусть Pe = (Peij) матрица, присоединенная к матрице P . Сделаем замену

7.4Уравнение Эйлера

В 1740 Л. Эйлер изучал уравнение вида

P (x; @)y = xny(n) + an 1xn 1y(n 1) + + a1xy0 + a0y = f (I.24)

Оно сводится к уравнению с постоянными коэффициентами заменой

переменной: x = et. В самом деле, полагая x @ = ddt = D, получим: xk@k = D(D 1) : : : (D k + 1),

что можно проверить, применив обе части к функции xp. Следова-

тельно,

P (x; @) = Q(D) = D(D 1) : : : (D n + 1)+

+an 1D(D 1) : : : (D n + 2) + + a1D + a0. Алгебраическое уравнение Q(k) = 0 называется характеристиче- ским для уравнения Эйлера. Его можно получить, подставив z = xk в однородное уравнение P [z] = 0 и поделив его на z. Решение одно-

y0 = (ln x)n(a+ ib)xa(Sp(ln x) cos(b ln x) + Tp(ln x) sin(b ln x));

ãäå n(a + ib) кратность корня a + ib многочлена Q(k), Sp è Tp

многочлены степени p с неизвестными коэффициентами. Они на-

ходятся из системы линейных уравнений, которая получается в результате после подстановки y0

Используя ln jxj вместо ln x, можно получить формулы пригодные

и для отрицательных значений x.

По этой же схеме решаются уравнения с оператором вида:

P (a(x) @ + b(x));

ãäå P многочлен с постоянными коэффициентами.

8Линейные системы уравнений

Системы с переменными коэффициентами как правило не решаются в квадратурах. Исследовать исключения мы не станем, а установим