Экономика-недвижимости1

Вклад – 100 ден. ед., ставка процента – 10 % годовых

В таблице первые строчки для сложного и простого процента, определяющие накопленную сумму на конец года, равны сумме полученного за год процента, начисленного на имеющийся в начале года вклад и накопленного на конец предшествующего года (равно на начало текущего года) вклада. Например,

FV (4 год) = 146,41 = 13,31 + 133,1.

Различие между способами особенно заметно для n = 50 лет, когда величина процента (сложного), равного 1067 д.е., превосходит всю накопленную по правилу простого процента сумму, равную 600 д.е. Различие также велико даже при небольших n ≥ 5 , если r > 15 % что следует из ниже расположенной таблицы.

Вклад – 100 ден. ед., срок вложения – n = 5 лет

141

где r – ставка процента, n – количество периодов начислений. Она показывает во сколько раз возрастает одна денежная единица за «n» периодов при ставке процента r. Если речь идет не об одной денежной единице, а величине PV, то:

ПРИМЕР 1

Земельный участок размером в 1500 м2 приобретен сегодня по цене 700 ден. ед./м2. Инвестор считает, что следует ожидать прироста стоимости земли с темпом 7 % в год. После 10 лет владения инвестор предполагает землю продать. Рассчитать ожидаемую рыночную стоимость земли через 10 лет.

Решение

FV = 1500 м2 × 700 д.е. / м2 × ((1 7% )10 = 100%

= 1,05 млн. ден. ед. × 1,967 = 2,065 млн. ден.ед.

Если начисление / взимание процентов производится не один раз в год, а несколько раз – «m», например, ежеквартально (m = 4), ежемесячно (m = 12) ежедневно (m = 365) и т.п., то формула (3) видоизменяется. По сложившейся практике заданная годовая процентная ставка в этом случае делится на «m», а число периодов начисления процентов увеличивается в «m» раз, и формула (4) принимает вид:

ПРИМЕР 2

Вкладчик положил в банк 30 тыс. д.е. под 12 % годовых. Определить аккумулированную сумму через 4 года, если проценты банк будет начислять ежеквартально (m = 4) и ежемесячно (m = 12).

Решение

FV4 = 30 тыс. д.е. × (1 + 0,124 ) 4 ∙ 4 = 30 ∙ 1,605 = 48,14 тыс. ден. ед.

FV12= 30 тыс. д.е. × (1 + 0,1212 ) 4 ∙ 12= 30 ∙ 1,612 = 48,37 тыс. ден. ед.

Сравнивая результаты, можно сказать, что капитализация вклада больше при большей частоте начисления процентов, что связано с эффектом «начисления процентов на начисленный процент».

Эффект «начисления процента на начисленный процент» приводит к тому, что кредитор фактически процент больше номинального. Этот больший процент называется эффективным rэ и он связан с номинальным «r» формулой:

142

ПРИМЕР 3

Найти эффективную годовую ставку для r = 0,16 и случаев ежеквартального (m = 4) и ежемесячного (m = 12) начисление процентов.

Решение

rэ4 = (1 + 0,164 )4 – 1 = 0,17; rэ12 = (1 + 0,1612 )12 – 1 = 0,172.

Таким образом, большая частота начисления процентов приводит к росту эффективной ставки процента.

Первая функция сложного процента может использоваться и в других задачах.

ПРИМЕР 4

Дом продается сегодня за 300 тыс. долл. Через четыре года по оценкам экспертов он может быть продан за 430 тыс. долл. Выгодна ли покупка дома, если ставка процента по валютным вкладам равна 8 %.

Решение

Исходные данные:

FV = 430 тыс. долл.;

PV = 300 тыс. долл.; n = 4 года;

rфакт. = 0,08 1/год.

С помощью формулы (4), которая после несложных преобразований принимает вид:

r nFV/PV 1, находим:

r = 4 PVFV 1(300430)0,25– 1 = 0,094 1/год.

Т.к. валютные вклады дают 8 %, а покупка и перепродажа дома через 4 года – 9,4 %, то подобную инвестицию следует считать выгодной.

ПРИМЕР 5

Предприниматель желает увеличить свой капитал в 2,5 раза посредством помещения денег на депозит под 12 % годовых. Начисление процентов происходит 2 раза в год. Сколько лет потребуется для увеличения капитала в 2,5 раза?

143

Решение

ПРИМЕР 6

Предприниматель желает знать, за какой срок удвоится стоимость земельного участка, если его цена возрастает с темпом 12 % в год.

Решение

Из формулы примера 5 находим, если в формуле положить m = 1 и PVFV = 2,

В большинстве случаев, когда темп роста стоимости находится в практически интересном диапазоне 3–20 %, используют вместо рассмотренной упрощенную формулу, называемую «правилом 72-х»:

n 72r ,

где r – задается в процентах (а не в долях единицы). В нашем примере

n 12%72 = 6 лет.

Эту простую формулу можно использовать и для нахождения нужного темпа роста, обеспечивающего удвоение стоимости за определенное число лет. Например, чтобы удвоить валовой внутренний продукт страны за 10 лет, необходимо,

72

чтобы он возрастал с темпом r = 10лет = 7,2 % в год.

144

8.2.Вторая функция: будущая стоимость единичного аннуитета FVA1 = φ2

Многие финансовые операции имеют вид не разовых платежей / поступлений, а серии регулярных выплат/доходов – арендные взносы, погашение долгосрочного кредита, получение процентов по облигациям, платежи в пенсионный фонд и т.д.

Последовательность одинаковых платежей/доходов, производимых/ получаемых через одинаковое время называется аннуитетом (лат. annuitas – ежегодный платеж) или рентой (лат. reddita – возвращенная).

Под платежом/взносом называется единовременный вклад/доход, производимый в каждом временном периоде. Он обозначается через РМТ (от англ. payment

– платеж). Если платеж делается в конце платежного периода он называется обычным, а если вначале авансовым. Чаще на практике встречается обычный платеж.

Формула будущей стоимости единичного аннуитета, как сумма членов геометрической прогрессии имеет вид:

Эту формулу также называют фактором фонда накопления капитала, т.к. она показывает накопленную к концу n-го периода денежную сумму, при условии вложения в каждом периоде одной денежной единицы под r процентов.

Если платеж не единичный, а равен РМТ, то накопленная сумма к концу n-го периода будет:

Если денежные платежи осуществляются не один раз в год, а «m» раз, то будущая стоимость аннуитета вычисляется по формуле, аналогичной формуле (8):

ПРИМЕР 7

Помещение сдается в аренду на 5 лет. Арендные платежи вносятся в конце года в размере 300 тыс. ден. ед. в банк на счет владельца помещения. Банк на внесенные суммы начисляет процент по ставке 13 % годовых. Предположим, собственник помещения снимать эти деньги со счета не будет. Какова станет накопленная на банковском счете денежная сумма к концу срока аренды?

Решение

Исходные данные:

РМТ = 300 тыс. ден. ед./год;

145

n = 5 лет;

r = 13 % годовых;

FVA = ?

По формуле (8) вычисляем:

FVA = 300 1,135 1 300 тыс. ден.ед./год 6,48год1944,1тыс.ден.ед. 0,13

Таким образом, арендные выплаты составят:

300тыс. ден. ед./год × 5 лет = 1500 тыс. ден. ед.,

аначисленные проценты (1944,1 – 1500) = 444,1 тыс. ден. ед.

ПРИМЕР 8

Молодая семья решила накопить деньги на покупку квартиры стоимостью 40 тыс. долл. Для этого ежемесячно в сумме 600 долл. вносятся деньги в банк. И на них начисляется процент по ставке 11 % годовых. Через сколько месяцев будет накоплена необходимая сумма?

Решение

Исходные данные:

PMT = 600 долл./мес.; FVA = 40.000 долл.;

m= 12 раз/год;

n= ?

Подставляем исходные данные в формулу (9) и получаем:

ПРИМЕР 9

Предпринимателю предстоит через 2 года и 3 квартала купить недвижимость, которая будет стоить 410 000 долл. Сегодня он имеет возможность вкладывать деньги в размере 10 000 долл. в месяц в банк под 14 % годовых. Альтернативным вариантом вложений, по более рискованным, является приобретение корпоративных облигаций под 17 % годовых. Рассчитать достаточность накоплений 410 000 долл. для 2-х вариантов.

146

Решение

Исходные данные:

FVA = 410.000 долл.;

n = 2 года и 3 квартала; m = 12 1/год;

PMT = 10.000 долл.; r1 = 14% годовых; r2 = 17% годовых;

FVA(r1) = ?, FVA(r2)= ?

По формуле (11) находим:

Второй вариант – вложение облигаций более рискован, но дает возможность накопить требуемую (410 000 долл.) сумму.

8.3. Третья функция сложного процента: фактор фонда возмещения капитала

SFF1 = φ3

Иногда необходимо знать какой платеж нужно ежегодно вносить, чтобы к концу n-го периода времени накопить заданную сумму. Эта задача решается с помощью фактора фонда возмещения капитала SFF1.

Если в формуле (8) положить FVA = 1, РМТ = SFF1, то получим:

Легко увидеть, если сравнить формулы (8.10) и (8.7), что FVA1 = 1/SFF1. Формула (7) показывает, сколько будет накоплено капитала, если в течении «n» периодов времени вносить по одной денежной единице. А формула (10) показывает какую долю денежной единицы нужно вносить в течении «n» периодов времени, чтобы накопить одну денежную единицу. Таким образом, величины FVA1 и SFF1 взаимно обратные.

Формула (10) позволяет ответить на вопрос о величине ежегодного платежа РМТ, обеспечивающего накопление нужной суммы FVA:

147

В тех случаях, когда платежи делаются «m» раз в год в течении «n» лет, то формула (11) принимает вид:

ПРИМЕР 10

Владельцы кондоминиума планируют провести внешний ремонт здания через 6 лет и предполагают, что это будет стоить 70 000 долл. Для этого им необходимо в конце каждого года депонировать платеж под 10 % годовых. Какую сумму они должны ежегодно вносить?

Решение

Исходные данные:

FVA = 70 000 долл.; n = 6 лет;

r = 10 % годовых; РМТ = ?

По формуле (11) вычисляем:

ПРИМЕР 11

Ипотечный кредит (шаровая ипотека) в 150 000 долл. предусматривает периодическую выплату одних процентов. Через 10 лет должна быть погашена основная сумма долга. Чтобы это сделать, заемщик хочет вносить каждый месяц платеж, на который будет начисляться 9 % годовых. В результате создаваемого фонда возмещения, к концу 10-го года должна собраться требуемая сумма. Какой ежемесячный платеж необходимо делать?

Решение

Исходные данные:

FVA = 150.000 долл.;

n = 10 лет; m = 12 1/год;

r = 9% годовых; РМТ = ?

По формуле (12) находим:

148

150 000 долл. 0,0051671/мес 775 долл./мес.

ПРИМЕР 12

Через 4 года у предпринимателя появится возможность выкупить завод по производству сантехнических изделий, стоимость которого будет предположительно составлять 2,3 млн. долл. Чтобы скопить эту сумму, предприниматель планирует ежеквартально откладывать в банке на свой счет некоторую сумму под 12 % годовых. Какова должна быть величина этой суммы?

Решение

Исходные данные:

FVA = 2 300 000 долл.;

n = 4 года; m =4 1/год;

r = 12 % годовых; РМТ = ?

По формуле (12) вычисляем:

8.4. Четвертая функция:

текущая стоимость денежной единицы PV1 = φ4

Текущая (в настоящий момент времени) реальная стоимость одной денежной единицы (PV1), получаемой в конце n-го периода времени при известной доходности (r) находится из формулы:

1

φ4 = PV1 = (13) (1 r)n

Если нужно узнать текущую стоимость не одной, а FV денежных единиц, то формула (13) принимает вид:

149

1 PV = FV · PV1 = FV · (1 r)n

(14)

Разумеется, здесь предполагается, что ставка доходности «r» и ставка дисконтирования «d» равны. Вообще это неверно, но в эволюционно развивающейся экономике при доходности порядка 10–15 % их можно считать равными. В этом случае PV1 показывает какую долю денежной единицы нужно положить на депозит в банк под «r» процентов годовых, чтобы в конце n-го периода эта доля превратилась в денежную единицу.

ПРИМЕР 13

Предприниматель считает, что сможет через 2 года продать квартиру за 70 000 долл. За какую цену ее следует купить сегодня, чтобы получаемый им доход давал не менее 20 % годовых.

Решение

Исходные данные:

FV = 70.000 долл.; n = 2 года;

r = 20% годовых;

PV = ?

По формуле (14) вычисляем:

Таким образом, цена покупки не должна превосходить эту сумму, чтобы доход давал рентабельность больше или был равен 20 % годовых.

В тех случаях, когда проценты начисляются не один раз в год, а «m» раз, то формула (14) принимает вид:

(15)

ПРИМЕР 14

Земельный спекулянт приобрел опцион на покупку земельного участка, который он затем планирует продать девелоперу. Опцион дает право купить 150 га земли по цене 7000 долл. за га через 3 года. Какую сумму земельный спекулянт должен сегодня положить в банк под 10 % годовых с ежеквартальным начислением процентов, чтобы к концу 3-го года на его счете в банке была требуемая сумма.

150