4.4 Проверка нормальности распределения, сбоев и однородности измерений

4.4.1 Центральная предельная теорема теории вероятности – распределение случайноф величины близко к нормальному, если определяются влиянием большого числа независимо действующих факторов. Обычно гипотеза, что функция имеет нормальное распределение, может быть провена.

Так, распределение погрешности отдельного измерения может быть любым, при N измерениях (при равномерном распределении ошибки каждого измерения) результирующая функция распределения стремится к нормальной уже при N3 (рисунок 18).

N=3

N=2

N=1

- 1 -0.5 0 0.5 1

Рисунок 18 – Изменение распределения серии измерений.

Практически проверка нормальности распределения случайных погрешностей небольшой группы измерений может быть проведена следующим образом [6]:

1) По реализации измерений х₁, х₂ …. X_n вычисляется значение параметра d:

d =   x _i – MO(x)  / n (x) (82)

2) Выбирается уровень значимости критерия q и по таблице 2 находятся значения d _q и d _1-q .

Гипотеза о нормальности принимается, если выполняется условие:

d _q  d d _1-q (83)

ПРИМЕР.

По n=10 результатам измерений (таблица 1):

1. Вычисляется МО(х)=10.25 В и(x) =  1800  10 ^–4 / 9 = 0.14В;

2. По формуле (25): d =1.3 / 10  0.14 = 0.928;

3) По выбранному q=0.05 и справочным данным [Рабинович] находятся: d _q =0.907 и d _1-q=0715.

4) Проверяется условие (26): d _1-q =0.715  d =0.928 ?? d _q = 0.907

Условие не выполняется, гипотеза о нормальном распределении не принимается.

Проверку нормального распределения результатов измерения можно проверить и по гистограмме измерений оценкой частоты появления различных результатов, что соответствует вероятности их еализации [Харт] .

Для большего числа измерений применяется более сложная методика [6]:

1) Вычисляются МО (х) и СКО - (х);

2) Группируют реализации погрешности по интервалам, для каждого из которых вычисляют середину Хi₀и подсчитывают количество реализаций, попавших в каждый интервал;

3) Вычисляют число наблюдений для каждого интервала, теоретически соответствующее нормальному распределению, для чего от реальных середин интервалов переходят к нормированным:

[Хi₀ МО(х)]/(х) =z_i(84)

4) Для каждого z_i находятзначение функции распределения вероятностей по формуле:

z²_i

f(z_i) = e /  2 (85)

ПРИМЕЧАНИЕ: расчёт для различных значений приведены в таблицах (для z_i =0…3.9 – в [6]).

5) Вычисляют общую часть наблюдений, которая теоретически должна быть в каждом интервале:

 _i = f(z_i)  n  (Xi _{0 +1}  Xi ₀) / (x) (86)

где (Xi _{0 +1}  Xi ₀) – интервал при построении гистограммы.

Если в какой-либо интервал теоретически попадает меньше пяти реализаций, то в обоих гистограммах его соединяют с соседним. X

6) Определяется число степеней свободы: к = L-3 (L – число интервалов после укрупнения).

7) Вычисляют показатель разности частот:

² =  ² _i (87)

где ² _i = ( _i ?   _i)² /  _i

8) Выбирают уровень значимости критерия q ( целесообразно q0.01, чтоб не иметь большую ошибку или снизилась чувствительность критерия при росте q). По уровню q и числу степеней свободы к по таблице [6] находят границу критической области ²_q, так что Р(²  ²_q ) = q ( то есть вероятность того, что ²  ²_q , равна q).

Если Р(²  ²_q )  q , гипотеза о нормальном распределении отвергается.

Если ²  ²_q , гипотеза о нормальном распределении принимается.

4.4.2 Если в результатах измерений одно-два хв резко отличаются от остальных, следует проверить не являются ли они грубыми погрешностями, подлежащими исключению. Если считать распределение нормальным, то эта задача решается следующим образом [6].

1. Вычисляются МО(х) и (х) с учётом всех n измерений.

2. Определяется значение:

t = x _в – MO(x) / (х) (88)

3. Выбирается уровень значимости q, для которого по справочным данным [Рабинович] находится отвечающее этому уровню значениеt_Глибо вычисляется:

t_Г = max x _i – MO(x) / (х) (89)

Если t  t_Г, то х_в можно отбросить.

С уменьшением q растёт t_Г и условие t  t_Г выполнить труднее.

ПРИМЕР.

Пусть в измерениям по таблице 1 добавился выброс х_в = 11В.

1) Определяется значение: t = x _в – MO(x) / (х)= 11- 10.25  / 0.14 = 0.75/0.14=5.49

Вычисляется t_Г = max x _i – MO(x) / (х) = 10.5 – 10.25 / 0.14 = 0.25/0.14=1.78

(для q=0.05 по табличным данным t_Г = 2.414).

Так как t  t_Г , то х_В можно отбросить.

4.4.3 Проверка однородности наблюдений – требование убедиться в устойчивости результатов измерения, особенно если объект недостаточно изучен – то есть результаты измерений группируются вокруг одного и того же центра и имеют одну и ту же дисперсию. Признак однородности группы результатов измерения – отсутствие значительных смещений МО и СКО относительно друг друга.

Пусть имеется две группы измерений n₁ и n₂. Для проверки однородности определяются СКО и составляется соотношение:

F= ₁ / ₂ (90)

Выбирается значение вероятности q и по справочным данным [Рабинович] выбирается значение F_q.

Гипотеза однородности принимается, если F F_q .

Существуют методики проверки однородности для нескольких групп измерений и проверки допустимости различий между средними арифметическими.