4.6 Корреляционная функция

4.6.1 Часто для определения нормированного коэффициента корреляции пользуются формулой расчёта безразмерной зависимости (- 1.0 < К < 1.0) [17]:

К=  [х_1i – MO(x₁)][х_2i – MO (x₂)]/  [х_1i – MO(x₁)]²  [х_2i – MO (x₂)]² (91)

MO(x₁) MO(x₁)

К ≈ 0 К ≈ 1

MO (x₂) MO (x₂)

Рисунок 19 – Взаимная корреляция сигналов (0<К<1).

4.9 Метод наименьших квадратов

4.9.1 Решение условных уравнений, которое приводит к минимуму сумму квадратов невязок, осуществляется методом наименьших квадратов. При нормальном распределении погрешностей метод приводит к оценкам неизвестных с наибольшей вероятностью.

Для случая линейных уравнений с тремя неизвестными (m=3nдляi=1.2….n) система уравнений имеет вид:

А х_i + В у_i + С z_i = l _i (118)

1) Если в эту систему условных уравнений подставить какие-либо оценки измеряемых величин А, В, С, то получим невязки:

А х_i + В у_i + С z_i - l _i = v _i (119)

2) По условию (117) найдём частные производные. Для трёх измерений:

Q/А = 2(Ах_i + Ву_i + С z_i-L_i)x_i = 0

Q/B= 2(Ах_i + Ву_i + С z_i-L_i) у_i = 0 (120)

Q/C= 2(Ах_i + Ву_i + С z_i-L_i)z_i = 0

3) Найдём систему так называемых нормальныхуравнений:

А  x² _i + В  x _i у _i + С  x _i z _i =  x _i L _i

А  x _i у _i + В  у² _i + С  y _i z _i =  y _i L _I (121)

А  z_i x _i + В  z _i у _i + С  z ²_i =  z _i L _i

4) При написании нормальных уравнений используют обозначения Гаусса:

 x² _i = [xx];  x _i у _i = [xy];  у² _i =[yy] ….. (122)

Тогда нормальные уравнения примут вид:

[xx]Ẵ+ [xy]В + [xz]Č = [x l]

[xy]Ẵ + [yy]В + [yz]Č = [y l] (123)

[xz]Ẵ + [yz]В + [zz]Č = [zl]

Две особенности матрицы коэффициентов:

матрица симметрична относительно главной диагонали;

все элементы главной диагонали положительны.

5) Кратко решение системы уравнений записывается с помощью определителей:

Ẵ=D_x/D;B=D_y/D; Č =D_z/D(124)

где главный определитель:

[xx] [xy] [xz]

D= [yx] [yy] [yz]

[zx] [zy] [zz]

Остальные определители получаются из главного заменой столбца с коэффициентами при неизвестном (для D_x этоА, D_у этоВ,D_z этоC) на столбец со свободными членами:

[xL] [xy] [xz]

D_x= [yL] [yy] [yz] (125)

[zL] [zy] [zz]

[xx] [xl] [xz]

D_y = [yx] [yl] [yz] (126)

[zx] [zl] [zz]

[xx] [xy] [xl]

D_z = [yx] [yy] [yl] (127)

[zx] [zy] [zl]

6) Оценка погрешности полученных результатов в случае, если погрешность измерения одной величины существенно превышает другие, решается преобразованием условных уравнений с выделением этой величины в свободный член. В этом случае дисперсия найденных значений определяется по формулам:

D² (A) = S² ●D₁₁ / D; D² (B) = S² ●D₂₂ / D; D² (C) = S² ●D₃₃ / D; (128)

где D_11,D_22, D₃₃– алгебраические дополнения элементов [xx], [yy], [zz] определителя D соответственно (получаются удалением из матрицы D столбца и строчки, на пересечении которых находится данный элемент).

[yy] [yz] [xx] [xz] [xx] [xy]

D₁₁ = D₂₂ = D₃₃ =(129)

[zy] [zz] [zx] [zz] [yx] [yy]

S² =v²_i / (n–m) (130)

ПРИМЕР

Результаты измерения углов призмы, выполненное тремя измерениями [ ]:

х₁ = 89⁰55'; y₁ = 45⁰5' ; z₁ = 44⁰57'

x₂ = 89⁰59' ; y₂ = 45⁰6' ; z₂ = 44⁰55'

x₃ = 89⁰57' ; y₃ = 45⁰5' ; z₃ = 44⁰58'

1) Оценки измеряемых величин:

A₀=MO_x = 89⁰57' ; B₀=MO_y = 45⁰5,33' ; C₀=MO_z = 44⁰56,57'

Сумма углов треугольника должна удовлетворять:

А+В+С=180⁰ (131)

Фактически же: А+В+С = 179⁰59'

Необходимо значения МО_i откорректировать так, чтобы выполнялось условие (131).

2) Примем значения искомых величин:

А=А₀ +а; В= В₀ +b; С= С₀+с (132)

Тогда система условных уравнений примет вид:

а¹ = МОх - х₁ = - 2'; b₁ = - 0.33'; c₁= 0.33'

a₂ = 2' ; b₂ = 0.67'; c₂ = - 1.67' (133)

a₃ = 0; b₃ = - 0.33'; c₃ = 1.33'

3) Уравнение связи примет вид:

А₀ + а + В₀ = в + С₀ + с = 180⁰ (134)

Следовательно:

а + в + с = 180⁰ - 179⁰59' = 1’ (135)

с = 1' - а – b (136)

Получим следующую систему условных уравнений:

1●ả +0● b = -2'; 0●ả + 1●b = -0.33'; 1●ả +1●b = 0.67'

1●ả +0●b = 2'; 0●ả +1●b = 0.67'; 1●ả+1●b = 0.67' (137)

1●ả +0●b = 0; 0●ả +1●b = -0.33'; 1●ả + 1●b = -0.33'

4) Система нормальных уравнений:

[xx]a +[xy]b = [xl]

[xy]a + [yy] b = [yl] (138)

где:

[xx] = 1+1+1+1+1+1+1 = 6

[xy] + 1+1+1+1 = 3

[yy] = 1+1+1+1+1+1 =6

[xl] = -2' +2' -0.67' + 2.67" -0.33' = 3'

[yl] = -0.33' +0.67' -0.33' +0.67' +2.67' = 00.33' = 3'

Нормальные уравнения примут вид:

6а + 3b = 3’

3a +6b = 3’

5)Главный определитель системы уравнений (138):

6 3

D = 3 6 = 36 – 9 = 27

Другие определители:

3’ 3

Dа = 3’ 6 = 18’ – 9’= 9’

6 3’

Db = 3 3’ = 18’ – 9’= 9’

c= 1 – (a+b) = 0.33’

6) Подставляя полученные оценки в условные уравнения, получим остаточные невязки:

V₁= 2.33’ ;v₄= 0.6… ;v₇= 0

V₂= -1.67’ ;v₅= -0.33,,, ;v₈= -2’

V₃= 0.33’ ;v₆= 0.6… ;v₉= 1’

7) оценка дисперсии условных уравнений:

S² =v²_i / (9 – 2) = 14.34/7 = 2.05

8) Дополнения элементов [xx], [yy], [zz] определителя D:

D₁₁ = 6;D₂₂ = 6

9) Дисперсии найденных значений неизвестных:

S²(a) = S² ● D₁₁ / D= S²● 6 / 27 = 2.05 ● 0.2 = 0.456 = S²(b);

S (a) = S(b) = 0.675

10) В итоге:

А = 89⁰57.33’;B=45⁰5.67’;C=44⁰57’

S(A)=S(B)=S(C) = 0.68’

При доверительном интервале Р=0.95:

А = 89⁰57.33’±1.3’;B=45⁰5.67’±1.3’;C=44⁰57’±1.3’

Если зависимость линейная – корреляционный или регрессионный анализ.

Связи между физическими явлениями, установленные на основании проведенных измерений (совокупности полученных данных) представляются в аналитическом виде (в виде формул). Построение количественной модели по экспериментальным данным - метод регрессии [1]. Данные для построения модели в случае двух переменных Х и У, элементами которого являются х_i и у_i при i = 1,2,…к. Из теоретического анализа известно какая из переменных независима (входная величина Х), какая зависима (выходная У).

Регрессионной моделью называется связь между условным значением МО зависимой переменной от независимой (регрессия первого рода):

У = МО [у_i / х_i ] = MO [X] (111)

Определение MO [X] может производиться последовательно для каждой точки, если х_i многократно реализованы. За точку можно принимать небольшой интервал и среднее значение в этом интервале (с вычисленными доверительными интервалами и погрешностями). Получается множество точек (х_i, MO [X_i]).

Для задачи определения модели регрессионным методом (регрессии второго рода) исходными данными являются результаты измерений у_i и х_i, и отыскивается модель линейного вида (линейная регрессия):

у = х +  +  (112)

либо нелинейного вида (нелинейная регрессия):

у = f(х) +  (113)

f(x) = b₀ + b₁x + … + b_qx^q (114)

Модель считается определённой, если известны коэффициенты и случайная составляющая  (МО []=0).

Определённая таким образом модель должна удовлетворять условию, которое дало название метода наименьших квадратов:

_{к k}

 [у_i – (х_i + )]² =  ²_i = min (115)

_{1 1}

4.8.2 Одной из предпосылок анализа является предположение, что искомая зависимость отражается плавной кривой [6]. Выбрав вид формулы, её параметры находят интерполяционным приближением полученной формулы к экспериментальным данным.

В основе применения метода наименьших квадратов лежит допущение, что критерием оптимального выбора искомых параметров является минимум суммы квадратов отклонений полученных эмпирических данных от теоретической кривой. (Иногда принимается другая модель - минимизируется максимальное отклонение). Задача решается интерполяционным приближением [6] или методом проб [1]: в выбранную формулу последовательно подставляют все полученные значения и получают систему уравнений, по которым составляется нормальные уравнения. Интерполяционный полином должен иметь степень, на единицу меньше числа точек. Решения последних даёт искомое значение параметров, подставляя которые в условные уравнения, можно найти невязки этих уравнений и по ним оценить СКО условных уравнений. СКО определяется и погрешностью измерений и неточностью формулы, описывающей искомую зависимость. То есть полученное СКО характеризует не только погрешность условных уравнений, но и несовершенство принятой формулы – неточность аппроксимации, которая является неслучайной.

4.8.3 Для построения моделей используют многочлены и ортогональные ряды:

1) полином Чебышева;

2) функции Лагерра, Эрмита…

Отыскивается возможность аппроксимации результатов измерения этими функциями [14].

Одним из примеров применения метода является обработка результатов совокупных измерений [6]. Так как из-за погрешности измерений нельзя найти такие значения измеряемых величин, удовлетворяющих все уравнения типа:

F(А, В, С,… х; у, z… ) = L (116)

где А, В, С,… - искомые неизвестные;

х; у, z… L –измеряемые величины и известные коэффициенты;

Подставляя полученные при измерении числовые значения х_i, у_i, z_i…, получим ряд уравнений вида:

F(А, В, С,… х_i, у_i, z_i…) = L _i (117)

ПРИМЕР.

При определении температурных коэффициентов ( ):

R₂₀ +  (t-20) +  (t-20)² = R_t (118)

……………………………………….

Каждая комбинация позволяет получить одно уравнение, так что система уравнений содержит всю информацию о значениях искомых величин и имеет вид:

F(X₁, X₂,… X_m; X₁, X₂,… X_к) = 0 (112)

где X₁, X₂,… X_m – значение искомых величин;

X₁, X₂,… X_к – полученные при прямых или косвенных измерениях значения величин.

При совместных измерениях при переходе от одного уравнения к другому меняются условия измерений, следовательно, и значения величин X₁, X₂,… X_к, а при совокупных измерениях – сочетания величин и соответственно вид уравнений (93).

4.8.2 После подстановки в систему уравнений результатов измерений и проведения необходимых преобразований получаем ряд уравнений, содержащих лишь искомые уравнения и числовые коэффициенты (условные уравнения).

ПРИМЕР.

Методом совместных измерений сопротивления и температуры требуется определить коэффициенты ив формуле для сопротивления резистора: