2 Теория погрешностей измерения

2.1 Классификация погрешностей измерения

2.1.1 Ключевая проблема теории измерений – модель погрешностей.

Под точностью измерений понимают качество измерений, отражающее близость их результатов к истинному значению измеряемой величины. Измерение тем более точно, чем меньше его погрешность.

Погрешностью называется разность между истинным и измеренным значением величины (базовое определение):

 = Х – Х* (6)

Истинное значение физической величины – значение физической величины, которое идеальным образом отражало бы в качественном и количественном соотношении соответствующее свойство объекта. Неизвестно (её определение является целью измерения), поэтому для оценки погрешностей используют косвенные данные.

Измеренное (действительное) значение физической величины - значение физической величины, определяемое экспериментально и приближающееся к истинному.

В общем определении погрешность – многомерный нестационарный случайный процесс.

Классификации погрешностей [6]:

1) по характеру погрешности - систематическая и случайная погрешности;

2) по условиям измерения - основная погрешность (в эталонных условиях) и дополнительная (в иных условиях, при действии на СИ дестабилизирующих факторов окружающей среды);

3) по характеру измеряемой величины - статические и динамические погрешности;

4) по физическим причинам погрешностей (квантование, калибровка, и т.п.).

Кроме того, погрешности классифицируются как:

1) абсолютные и относительные, и приведенная погрешности;

2) грубые ошибки (существенно превышают погрешность измерения) и промахи (следствие ошибочных действий оператора).

Абсолютная погрешность измерения ( _абс) – выражена в единицах измеряемой величины.

Относительная погрешность ( _отн) выражена в долях от истинного значения измеряемой величины (чаще всего в %).

Приведенная погрешность – относительно пределу измерения СИ.

Статической погрешностьюназывается погрешность, возникающая в статических условиях (режиме) измерения. Она определяется статическими характеристиками всех участвующих в процессе измерения элементов.

Динамическая погрешностьвозникает в изменяющихся во времени процессах (переходный процесс и т.п.) и определяется динамическими характеристиками элементов (передаточной функцией, переходной и весовой характеристиками).

Принятая модель погрешности трактует погрешность СИ как нестационарный многомерный случайный процесс:

 = _cист + _cл = h (x₁, x₂, … x_m , T) + g (x₁, x₂, … x_m , T) (191)

2.2 Систематические погрешности

2.2.1 Систематической погрешностью _сист называется составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или изменяющейся по известному закону при повторных измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях.

То есть систематическая погрешность определяется МО ошибок при измерении одного и того же значения измеряемой величины в одних и тех же условиях.

Классификация систематических погрешностей:

1) методические погрешности (погрешности метода или теоретические погрешности);

2) инструментальные погрешности;

3) погрешности оператора.

Источники систематических погрешностей:

1) метод измерения (методическая составляющая);

2) погрешность СИ (инструментальная погрешность);

3) погрешности оператора (из-за неверного отсчёта шкалы или неверных действий, промахи и т.д.).

Методические погрешности _метод возникают из-за несовершенства метода измерения и вследствие влияния СИ на объект.

ПРИМЕР: Измерение напряжения вольтметром с входным соспротивлением R_вх и внутренним сопротивлением источника сигнала R_вн. (рисунок 6):

U = E Rвх / (Rвн +R вх) (7)

Погрешность:

Е = E Rвн / (Rвн +R вх) (8)

СИ

Е Rвн U Rвх

Рисунок 6 – Систематическая погрешность измерения.

Инструментальная погрешность _инстр вызывается несовершенством СИ: неточность градуировки, неправильным расположением (установочная погрешность), и т.п.

Дополнительные и динамические погрешности также часто возникают из-за несовершенства СИ.

Выделяют:

1) постоянная систематическая погрешность (условно и безусловно постоянная);

2) прогрессирующая погрешность;

3) периодическая погрешность.

2.2.2 Обнаружение постоянной систематической погрешности является сложной задачей, может быть выполнена расчётным путём (методическая погрешность) или измерением несколькими способами (решающий способ). Изменяющуюся систематическую погрешность определить легче (статистическими методами). Графическое представление результатов измерения в той последовательности, в которой они получены, позволяет обнаружить систематическую погрешность без математичесого анализа.

Если систематическая погрешность обнаружена, то её можно исключить использованием более точных СИ или сопоставлением измерениями другим методом [6]:

1. методом замещения;

2. методом противопоставления;

3. методом компенсации по знаку.

Метод замещения даёт наиболее полное решение задачи. Он реализуется заменой измеряемой величины известной и их сравнением.

ПРИМЕР.

Взвешивание массы Х на неравноплечных (коромысла L₁  L₂) весах. Способ Борда:

1. Взвешиваемая масса помещается на одну из чашек весов и уравновешивается массой М:

Х = М  L₂ / L₁

2) Вместо массы Х на ту же чашку весов помещают и уравновешивают гири массой Р;

Р = М  L₂ / L₁

3) Вывод: Х = Р (L₁  L₂ не имеет значения).

Метод противопоставления основан на сравнении двух результатов измерений, проводимых так, чтоб систематическая погрешность оказывала разные, но известные воздействия на результаты измерений.

ПРИМЕР.

Способ измерения Гаусса:

1. Масса Х уравновешивается гирями Р₁: Х = Р₁  L₂ / L₁

2. Масса Х переставляется на чашку, где были гири, и уравновешивается гирями Р₂:

Х = Р₂  L₁ / L₂

3) Вывод:Х =  Р₁ Р₂

Метод компенсации основан на двух измерениях, проводимых так, чтоб систематическая погрешность в результат каждого измерения входила с обратным знаком.

ПРИМЕР.

1) Производится измерение напряжения с паразитной термо-ЭДС (U) в контактах измерительной цепи: Х₁ = U + U

2) Производится измерение c изменением полярности источника напряжения:

Х₂ = U - U

3) Вывод: Х = (Х₁ + Х₂) /2

Перечисленные методы не исчерпывают всех возможностей устранения систематических погрешностей.

2.2.4 Результаты измерений, полученных при наличии систематических погрешностей, называется неисправленным (черновой результат измерений). Для исправления результата измерения его складывают с поправками, равными систематической погрешности по величине (со средним значением) и обратными им по знаку.

Х = Х_изм ±  _c (9)

ПРИМЕР:

Для измерения напряжения по схеме рисунок 6:

E = U +  E

Поправки могут быть заданы как в виде формул, так и таблиц или графиков. Так, для прогрессирующей систематической погрешности:

Х=(Х₁t₂ – X₂t₁) / (t₂ – t₁) (10)

где Х₁, X₂ – результаты измерения в моменты времени t₁, t₂ соответственно.

Как правило, общая систематическая погрешность имеет составляющие - элементарные систематические погрешности. Общая погрешность [6]:

 _{c } =   _{c I} = _метод ± _инстр ± _опер (11)

Однако в состав элементарной систематической погрешности может входить случайная составляющая.

2.2.5 Черновой результат измерения (без учёта погрешностей):

Х* = Х_ч (12)

Скорректированный результат измерения получается после введения поправки по систематической погрешности:

Х*_к = Х  _сист (13)