4.7 Неравноточные измерения

4.7.1 Одна и та же величина измеряется в разных условиях различными средствами и возникает проблема объединения результатов измерения.

Пусть имеется L групп измерений одной и той же величины Х. По измерениям каждой группы составлены оценки измеряемой величины МО_Х1… МО_ХL. Известны дисперсии измерений каждой группы, или ₁ …_{L ,} и число измерений в каждой группе n₁ … n_L. Требуется найти оценку Х по данным всех групп измерений.

При измерении одной и той же величины, что является необходимым условием объединения:

Х_1k = X_2k = … = X_Lk = А (97)

Будем искать Х_k как линейную функцию – как среднее взвешенное [ ]:

_n

Х_k =  m _i МО_{X i} (98)

¹

Задача сводится к нахождению весов m _i.

Из выражения (98) следует:

_{n n}

Х_k =  m _i X _i = m _i X _{i k} (99)

^{1 1}

Откуда:

_n

MO =  m _i X_i (100)

¹

_n

 m _i = 1 (101)

¹

4.7.2 Для эффективной оценки Х требуется, чтоб дисперсия была минимальной.

D [X] = D[ m _i X _i] =  m² _i σ²_i= m²₁ ₁ ² + m²₂ ₂ ² + … + m²_L _n ² (102)

Из выражения (102):

m _n = 1 – (m ₁ + m ₂ + … + m _n-1) (103)

Для определения условия минимума дисперсии возьмём производные от (103) по g _i и приравняем их нулю. Так как имеется L-1 неизвестных, требуется L-1 производных:

2m₁ ₁ ² –2 (1 - m ₂ - m ₂ - … - m _L-1) _n ² = 0

2m₂ ₁ ² –2 (1 - m ₁ - m ₄ - … - m _L-1) _n ² [X _L] = 0 (104)

………………………………………………………

2m _L-1  ² [X ₁] –2 (1 - m ₁ - m ₄ - … - m _L-2)  ² = 0

Откуда:

m ₁: m ₂ : ……… : m _L= 1/₁ ² : 1/ ₂² ….. : 1/_n ² (105)

Чтобы найти веса m _i необходимо знать либо дисперсии МО [X_i], либо их отношения.

Задача решается так:

1) Вводится обозначение m _i = 1/ _i² , получим: m _i = m _i /  m _i (∑m _i =1)

2) Результирующее математическое ожидание:

МО_∑ =∑ m_i MO_i

Дисперсия:

_L

D [X] =_x ² =  m² _i σ²_х (106)

¹

ПРИМЕР.

Результаты групп измерений: МО_Х1 = 409.52 В; ²₁ = 0.1 В²;

МО_Х2 = 409.44 В; ²₂ = 0.03 В²;

1) Веса групп: по формулам (106): m₁ = 1/²₁= 1/ 0,1= 10.0; m₂ = 1/²₂= 1/ 0,03 = 33.3

m₁ = m₁ / m = 10.0 / (10.0+33.3) = 10 / 43.3 = 0.23; m₂ = m₂ / m = 33.3 / 43.3 = 0.77;

m _i = 0.23 + 0.77 = 1.0

2) Среднее взвешенное по формуле (99):

Х = m _i МОх_i = 0.23  409.52 + 0.77409.44 =409.46

1. Дисперсия по формуле (107):

σ²_∑ = 0.23²σ²₁+ 0.77²σ²₂=0.053•0.1 +0.6•0.03≈0.02

_∑[X] =0.02 ≈ 0.15B

Результат измерения при доверительной информации Р=0.95:

Х = 409.46 0.3 В

4.7.3 Если дисперсии измерений во всех группах одинаковые, а число измерений разное, тогда веса:

m _i = n _i / N (107)

где N =  n _i ;  m _i =1

Совокупное среднее:

_L

MO_ =  m _i MO_{Х i} (108)

¹

Дисперсия:

D_[Х] =_i ² =  ²/ N (109)

ПРИМЕР

Результаты групп измерений: МО_Х1 = 409.52 В; n = 4;

МО_Х2 = 409.44 В; n = 6; ²₁ =²₂ = 0.1 В²;

1 Веса измерений: m₁= 4 / (4+6)=0.4 ;m₂ = 6 /10 = 0.6;

2 Оценка среднего: MO_= 0.4409.52 + 0.6409.44 = 163.8+245.6=409.464:

3 Дисперсия: D_[Х] = 0.01/ 10 = 0.001

4 Результат измерения: Х _Р=0.95 = 409.46420.033 В

4.7.4 Для случая с разными дисперсиями в каждой группе измерений²₁…²_Lи числом измеренийn₁…n_Lв группах при определении результата измерений и коэффициентов влияния предпочтение можно отдать числу измерений, уменьшающим дисперсии вNраз. Математическое ожидание рассчитывается по весовым коэффициентам, определяемым по количеству измерений (108). Суммарная дисперсия[Рабинович]:

_{L ni} L L

D[Х] =   (Х _i – MO _∑)² / N(N-1) = { (n _i -1) ²_i +  n _i (МО_i - MO_) ² }/ N(N-1) (110)

^{1 1 1 1}

где MO_- среднее арифметическоеLгрупп измерений.

ПРИМЕР.

Результаты измерений: МО_Х1 = 409.52 В; ²₁ = 0.1 В²; n ₁ = 10;

МО_Х2 = 409.44 В; ²₂ = 0.03 В²; n ₂ = 15.

1) Веса групп: по формулам (108): m₁ = n₁ / N₁= 10/ 25 = 0.6; m₂ = 15/ 25 = 0,6.

m _i = 0.4 + 0.6 = 1.0

2) Среднее взвешенное по формуле (109):

Х = m_i Х_i = 0.4409.52 + 0.6409.44 = 409.49

3) Дисперсия по формуле (111):

D[Х] ={ [(n ₁-1) ²₁ + (n ₂ –1) ²₂ ] + 10  [409.52 - 409.49)² +15  (409.44 - 409.49) } / 25 (25-1) =

= 90.1+140.03 + {10(0.03)² + 15 (-0.05)²}/ 600  0.9+0.42 = 1.32

2. Результат измерения: Х_P=0.95 = 409.49  21.32 В.