2.3 Случайные погрешности

2.3.1 Случайная погрешность обусловлена рассеиванием результатов по случайному закону.

Случайная погрешность обнаруживается при повторении измерений одной и той же величины в одних и тех же условиях: повторные измерения одной и той же величины одним и тем же СИ в одних и тех же условиях отличаются один от другого и отдельный результат предсказать невозможно.

Изучение характера погрешностей измерений привело к выдвижению двух эмпирических аксиом:

1. аксиома случайности (равные по величине, но различные по знаку погрешности встречаются одинаково часто;

2. аксиома распределения (малые погрешности встречаются чаще, чем большие).

Совокупность случайных погрешностей подчиняется статистическим и вероятностным законам.

Причины случайной погрешности:

1. случайные погрешности СИ;

2. колебания влияющих величин:

3. ограниченной чувствительности СИ.

Случайная функция характеризуется (рисунок 7):

1) интегральной функцией распределения F(x) – универсальный способ описания;

2) плотностью распределения Р(x).

Для нормального закона распределения случайной величины:

P(х)= 1/σ √2π • eхр [– (x – MO_х)² /2σ_х² ] (14)

F(x)

X

Р(x)

Хmin MO Xmax X

Рисунок 7 – Плотность распределения случайной функции.

Оценка истинного значения случайной величины - математическое ожидание (центральный момент первого порядка):

МО (х) =  х f(х)dx = Х_i / n (15)

Разность (X_i – MO_x) - случайная погрешность. Дисперсия (центральный момент второго порядка или средневзвешенное отклонение) или среднеквадратическое отклонение (СКО), отражающеесходимость резудьтатов измерений (степень концентрации относительно МО), характеризуется оценкой: _n

D (x) = [x_i  МО (х)]² / (n-1) = ²(x) (16)

¹

При большом числе измерений принимается (n-1)≈n.

2.4 Скорректированный результат измерения

2.4.1 Полный результат измерения достигается после установления доверительного интервала случайной погрешности Р:

Х*_р= Х*_к  _сл (17)

Или:

Х*_к - _сл  Х*_р Х*_к + _сл (18)

Результат дополняется указанием вероятности и интервала ошибки.

2.5 Моделирование погрешностей

2.5.1 При моделировании погрешностей рассматриваются реальные свойства конструктивных элементов СИ (изменение характеристик детерминированного или случайного характера под воздействием внешних факторов, режимов работы или времени эксплуатации). В моделировании источников погрешностей целью является детерминированная модель СИ.

Исходными данными для расчёта являютсяконструктивные параметры A₁, A₂, … A _k, содержащие постоянную A _{i 0} и случайную A _i составляющие:

A _i = A _{i 0} + A _i (19)

По физическим причинам нестабильности конструктивных параметров различают следующие составляющие:

1. неопределённость номинальных значений А_{i 0} (один элемент множества возможных состояний);

2. зависимость от условий среды А_i (Z) (температуры и т.п.). В детерминированной модели эта составляющая учитывается принятием i-й величины в качестве влияющей, эффект воздействия которой оценивается, например, выражением:

dX_i / dU_i = F(U₁, U₂, … U_m ) /  U₁ +  F / A_i  A_i / U_i (20)

Фактор A_i / U_i известен из свойств материала, F / A_i определяется по модели СИ.

3. нестабильность параметра во времени А_i (T_Э), что может быть вызвано осцилляциями (молекулярными явлениями) с условно принятым характерным диапазоном частот менее 1Гц, неучитываемыми изменениями воздействующих величин с характерным диапазоном частот (10 ^{- 5} …1) Гц (например, суточный цикл), дрейфом от старения и износа с характерным диапазоном частот менее 10 ^{- 5} Гц.

2.5.2 В некоторых случаях для описания явлений, не следующих из детерминированной модели, вводятся специальные (источники тепловых шумов, стыков контактов, шумов дискретизации). Каждый источник, как случайная переменная, характеризуется распределение вероятностей и спектральной плотностью (внутренние источники характеризуются широким спектром частот). Нестационарные источники погрешностей (параметры имеют нестационарные величины и изменяются случайным образом) отражают явления износа и старения; их можно рассматривать как независимый источник нестабильности на входе определённой ступени преобразования.

Исходное

значение

А(Т₀, Z_{i 0}) А₀(Т₀, Z_{i 0}) А₀(Т_Э, Z_{i 0}) А(Т_Э, U_i ,Z_i )

А₀(Т₀, Z_{i 0})

А (Т_Э, Z_{i 0})

U_i, Z_i

Рисунок 9 - Составляющие погрешности конструктивного параметра.

Если источник погрешностей локализован в структурной схеме, и известны его характеристики и модель, то влияние этого источника на выходную величину можно рассчитать. Нелинейные элементы могут значительно расширять спектр шумов, усредняющие – суживать.

2.5.3 Обобщённая модель погрешности по формулам (1) и ( ):

 = F (U₁, U₂, … U_m, T, A₁, A₂, … A _k, Z) - F (U₁, U₂, … U_m, A₁, A₂, … A _k) (31)

Вторая часть приведенного выражения является функцией номинальных значений (представляет собой процедуру градуировки) и измеряемых значений.

Следовательно, погрешность представляет собой многомерный нестационарный случайный процесс, аргументами которого являются входные величины и время эксплуатации.

 = F₁ (U_i, T, A_i, Z) (32)

2.5.4 СИ можно использовать, если известны их метрологические свойства – то есть погрешность. Эти сведения необходимы для оценки погрешности измерения. Соответствие СИ установленным для них нормам делает их взаимозаменяемыми.

В основе нормирования погрешностей лежит следующее:

1. указываются пределы допускаемых погрешностей, включающие систематическую и случайную составляющие;

2. отдельно нормируют основную и все дополнительные погрешности, а также другие свойства СИ, влияющие на точность измерений.