5.3 Динамические свойства преобразователей

6.3.1 Исследование дифференциальных уравнений движения преобразователей даёт возможность определить частотные и временные характеристики (характер движения и время успокоения) СИ в целом.

Начнем рассмотрение системы с общих представлений цепей и уравнений.

…x(t) = … u(t) (132)

где u (t), х(t) - соответственно вход и выход преобразователя;

…, … - коэффициенты уравнения.

С целью упрощения выкладок в ТАР реализуется символический метод записи уравнений – в операторной (символической) форме.

(+ … +… +)Х(p) = (+…+) U (p) (133)

Следовательно, можно записать зависимость выходного сигнала от входного:

X(p) = [+…+/+ … +… +] U(p) (134)

Или:

X (p) = W_u (p) U (p) (135)

Введя обозначение оператора, определяющего зависимость выход – входы как понятие так называемой передаточной функции, получим:

W(p)= К(р)/D(p) (136)

где К(р) и D(p) – соответствующие полиномы.

X (p) = W(p) U (p) (137)

Передаточная функция (ПФ)– это отношение преобразования Лапласа выходной величины СИ или ее звена X (p) к преобразованию Лапласа входной величины U (p).

W(p) =X (p) / U (p) (138)

Видно, что передаточные функции (основная и по возмущению) зависит только от параметров САУ и не зависит от воздействий. ПФ может представлять систему в целом, её фрагмент или отдельные звенья.

Передаточная функция обладает следующими свойствами:

1. представляет собой дробно-рациональную функцию;

2. коэффициенты вещественные;

3. значение корней характеристического уравнения, составленного из полинома числителя +…+=0, являются нулями (ПФ имеет m нулей);

4. значение корней характеристического уравнения, составленного из полинома знаменателя + … +… + = 0, являются полюсами (ПФ имеет n полюсов);

Как получить уравнение СИ? Для этого система разбивается на простые элементы, совокупность всех уравнений которых и даст уравнение системы в целом. То есть система разбивается на динамические звенья.

Динамическим звеном называется часть СИ, описываемая дифференциальным уравнением не выше второго порядка (или иным), которая не может быть заменена более простыми составляющими.

Общая ПФ последовательное соединение звеньев СИ (рисунок 23):

_к

W(p) = П Wi (p) (139)

^{i =1}

где к - количество элементарных звеньев цепи.

W1(p)

W2(p)

U(p) X1(p) X2(p) Ui(p) X(p)

Wi (p)

Рисунок 23 – Последовательное включение элементов.

Для согласованного параллельного соединения звеньев СИ (рисунок 24) ПФ:

_k

W (p)=  Wi (p) (140)

^{i =1}

U (p) U₁(p) X₁ (p) X(p)

W1(p)

W2(p)

U2 (p) X2 (p)

Wi(p)

Ui (p) Xi (p)

Рисунок 24 - Параллельное включение элементов.

Откуда:

_k

X(p) =  X(p) = [W1 (p) + W2 (p) + ... + Wi (p)] U (p) (141)

ⁱ⁼¹

Соединение элементов СИ по схеме с обратной связью (встречное, рисунок 25) имеет ПФ:

W(p) = W0(p)/ 1+ W0(p) W0c(p) (142)

W0 (p)

U (p) U (p) - X1 (p) X(p)

W0c(p)

X1(p)

Рисунок 25 – Встречное включение элементов.

5.3 2 Комплексная частотная характеристика СИ получается из передаточной функции при замене р = j , т.е. K (j)= W (j). В общем случае:

W (j) = Rе()+ j Im() (143)

Амплитудной и фазовая частотные характеристики (АФЧХ):

где A() = W (j)=  Re²()+ Im²() (144)

 () = arc tg [ Im() / Re () ] (145)

Некоторые другие показатели СИ определяются по её частотной характеристике – резонансная частота _р , частота среза _ср , полоса пропускания _мах .

Широкое применение находят частотные характеристики, построенные в логарифмическом масштабе частоты (рисунок 14) - логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ). Логарифмическая амплитудная частотная характеристика - ЛАЧХ, логарифмическая фазовая частотная характеристика - ЛФЧХ.

При построении ЛАФЧХ частоты по оси абсцисс откладываются в логарифмическом масштабе в октавах (частотный интервал, соответствующий удвоению частоты) и, чаще, в декадах (интервал, соответствующий изменению в десять раз). В одной декаде содержится 3.32 октавы. Ординатой амплитуды частотной характеристики принимается величина L() в децибелах:

L()= 20 lg A() [дб] (146)

В реальных условиях работы СИ входные сигналы могут иметь произвольный характер, поэтому для исследования ее динамических свойств следует выбирать такие сигналы, которые по возможности близко отражали бы наиболее существенные особенности реальных процессов. Подобранные таким образом сигналы называются типовыми. Кроме гармонической (синусоидальной) функции к ним относятся:

ступенчатая (толчкообразная) функция;

импульсная функция (кратковременное воздействие со значительной величиной амплитуды;

Ступенчатая функция (рисунок 16):

u_вх (t)= A 1(t) = A [1] = 1[t] (147)

Преобразование Лапласа (изображение) функции:

L {1[t]} = 1/ p (148)

Переходной функцией (характеристикой) системы или элемента называют функцию, оригинал которой х_вых(t) определяется из ее изображения обратным преобразованием Лапласа:

х_вых(p)= W(p)1/p (149)

х_вых(t)= L^{- 1} {W(p) 1/p} (150)

Переходная функция описывает переходные процессы в системе или звене при ступенчатом воздействии на входе.

h (p) = W(p) / p (151)

h (t) = L^-1 { h (р)} (152)

Характер изменения во времени выходного сигнала (регулируемого параметра) при воздействии на вход импульса называется импульсной переходной функцией (импульсной характеристикой или весовой функцией) системы w(t). Входное воздействие можно рассматривать как предел двухсторонних импульсов, симметричных относительно оси координат - дельта-функцию (или импульсную функцию Дирака) -  (t).

Рассматривая дельта-функцию как предельный случай воздействия двух разнополярных ступенчатых сигнала, можно установить зависимость:

w ( t) = h ( t ) (153)

5.3.3 При составлении дифференциальных уравнений СИ одной из задач является получение дифференциальных уравнений отдельных элементов системы. Эти уравнений составляются на основе физических законов, которые характеризуют поведение элемента (законы механики, электротехники и т.д.). Методика составления дифференциальных уравнений динамических звеньев следующая:

1) Установление физических законов поведения СИ. Математическое выражение закона, определяющего процесс в данном элементе системы, являются исходным дифференциальным уравнением этого элемента;

2) Выявление и анализ факторов для определения зависимостей переменных, входящих в исходное уравнение, и нахождение математических выражений, характеризующих эти зависимости. (Последние могут быть выражены аналитическими функциями или заданы графически. Подстановка найденных выражений в исходное уравнение дает, как правило, нелинейное уравнение элемента);

3) Линеаризация дифференциального уравнения. Получение уравнения в отклонениях (или приращениях), выраженного в абсолютных единицах;

4) Уравнение приводится к безразмерному виду, для чего все его члены делят на некоторое постоянное значение переменной, имеющее размерность членов этого уравнения (например, на минимальное или максимальное, начальное или номинальное значения переменной).;

5) Переход к относительным единицам, для чего выбирают постоянное значение для каждой координаты любого из приращений, входящих в уравнение, затем определяют соотношение приращений и выбранных постоянных значений. Вводят обозначения относительных единиц и коэффициентов уравнения.

Каждое звено имеет свою входную и выходную величины (напряжение, угловая скорость, и т.п.), соответствующее их физической природе. Все разнообразие существующих линейных элементов СИ можно разложить на несколько наиболее простых ( элементарных, типовых) звеньев и затем рассматривать ее как комбинацию этих звеньев. Различают следующие наиболее распространенные типы звеньев.

Безинерционное звено (усилительное, пропорциональное, безъемкостное) определяется уравнением:

Хвых (p) = К U вх (p) (154)

где К - коэффициент усиления (передачи) звена.

Интегрирующее (астатическим, нейтральным), если его выходная величина пропорциональна интегралу по времени от входной величины и ПФ:

A x ( t) = K u (t) (155)

Передаточная функция звена:

W(p)= K/p (156)

Инерционное звено (апериодическое) с ПФ:

W(p) = K / (Tp+1) (157)

Звено называется дифференцирующим, если его выходная величина пропорциональна дифференциалу по времени от входной величины:

A Х(p)= B p U(p) (158)

W (p) = K p (159)

Интегро-дифференцирующее звено имеет следующую передаточную функцию:

W(p)= (1+T1 p))1+T 2 p)/(1+T3 p)(1+T4 p) (160)

где T1 = R1C1; T 2 = R2C2, а T3 и T4 определяются из уравнений:

T1 T 2 = T3 T4 ; T3 + T4 = T1 + T 2 + T1, 2 (161)

где T1 , 2 = R1 C2

Звено называется колебательным, если связь между выходной и входной величинами определяется формулой:

A2 p² X(p) + A1 pX(p) +A0 X(p) = B0 U(p) (162)

Большинство СИ имеют такие накопители энергии как масса и гибкость, индуктивность и ёмкость:

iR + L di/dt + 1/ C  i d t = u(t) (163)

L d²i/d t² + R di /dt+ i 1/C = du/dt (164)

Передаточная функция звена:

W(p)= К / (Т²р² +2T p+1) (165)

Звено называется запаздывающим, если зависимость между выходным и входным сигналами выражается формулой:

X (t) = K ( t -  ) U (t) (166)

где  - задержка прохождения сигнала.

Передаточная функция звена:

W(p) = K e ^{- p } (167)

5.3.4.Наряду с обычными линейными СИ может содержать хотя бы один элемент (звено) с существенно нелинейной характеристикой. Такие элементы оказывают сильное влияние на характеристики САУ в целом и требуется е рассмотрение как нелинейной. Так, например, недопустим принцип суперпозиции, усложняется понятие устойчивости (могут возникать незатухающие колебания).

Нелинейным элементом (звеном) принято называть то или иное устройство, у которого статические характеристики в рабочем диапазоне существенно нелинейны.

Характеристики большинства нелинейностей могут быть разделены на две группы:

нелинейные однозначные характеристики;

нелинейные неоднозначные характеристики.

Один из эффективных методов анализа нелинейных элементов СИ основан на частотно-амплитудном методе и методе гармонической линеаризации. Метод является приближенным и основан на понятии об эквивалентном комплексном коэффициенте усиления нелинейного элемента, понятии о передаточной функции нелинейного элемента в принятом для линейных систем представлении. При анализе входной сигнал НЭ можно рассматривать как гармоническое воздействие U=U_m Sin ( t+). Это предположение (гипотеза фильтра) основано на том, что СИ с некоторым приемлемым для практических расчетов приближением можно рассматривать как фильтр низких частот, срезающих высшие гармоники, возникающие после НЭ. Сигнал на выходе НЭ будет представлять некоторую периодическую функцию времени, которую можно разложить в ряд Фурье и, при данном допущении, принимать во внимание только первую гармонику. В этом случае можно ввести и понятие о передаточной функции нелинейного звена.

Х Х

А Um₁  А

- a a U 1 t

- A 2

U X

1 2

0 t

t

Х₁

Рисунок 33 – Прохождение гармонического сигнала

через нелинейный элемент типа “насыщение”.

Передаточной функцией нелинейного элемента (комплексным коэффициентом усиления или амплитудной характеристикой) называется отношение амплитуды первой гармоники его выходного сигнала Х₁к амплитуде входного гармонического сигнала U:

W(U_m) = x₁ / u = Re (U) + j Im(U) (168)

Модуль ПФ и фаза определятся формулами:

W(U_m)  =  Re² (U) + Im²(U) (169)

 (U_m) = arc tg Im (U) / Re(U) (170)

5

W_нэ (U_m)

0 aU_m

Рисунок 34 – Зависимость передаточной функции от входного сигнала.