Глава 9. |
Определенный интеграл |
16 |
Теорема 9.5 (Интегрируемость сложной функции) . Пусть f интегрируема на [a; b], M |
= |
|
sup f; |
m = inf f. Далее, пусть функция F определена на [m; M] и удовлетворяет там условию |
|
[a;b] |
[a;b] |
|
|
|
|
Липшица: 9K > 0 : 8t1; t2 2 [a; b] |
|
|
|
jF (t1) F (t2)j Kjt1 t2j: |
|
Тогда функция h(x) = F (f(x)) интегрируема на [a; b]. |
|
|
JПусть " > 0: Òàê êàê f интегрируема на [a; b], òî 9 = (") > 0 : 8fxkg (d(fxkg) < ) |
) |
|
(S(f; fxkg) s(f; fxkg) < "=K): |
|
|
Пусть Mk; mk верхняя и нижняя грани f íà [xk 1; xk] è Mk ; mk верхняя и нижняя грани h
íà [xk 1; xk]. Тогда (8x; y 2 [xk 1; xk] h(x) h(y) jh(x) h(y)j Kjf(x) f(y)j KjMk mkj) ) (Mk mk K(Mk mk)) ) 8 fxkg : d(fxkg) <
S(h; fxkg) s(h; fxkg) = |
(Mk mk) xk K (Mk mk) xk = K(S(f; fxkg) s(f; fxkg)) < " I |
P |
P |
k |
k |
Следствие. Справедливы следующие утверждения:
1)Если функция f(x) интегрируема на [a; b], то 8n 2 N функция fn(x) интегрируема на [a; b];
2)Если неотрицательная функция f(x) интегрируема на [a; b], то 8 1 функция f (x)
интегрируема на [a; b].
J1) При натуральных n функция '(t) = tn удовлетворяет условию Липшица на любом отрезке
[m; M] (из Теоремы Лагранжа о конечных приращениях следует, что в качестве постоянной K
можно взять max j'0(t)j ).
[m;M]
2)Доказывается так же, как и 1). I
9.4Свойства определенного интеграла
9.4.1Линейность и аддитивность
Лемма 9.7 (Линейность). 1) Если f и g интегрируемы на [a; b], то f g также интегрируема на [a; b] и
Z b Z b Z b
(f g)dx = fdx gdx:
a a a
2) Если f интегрируема на [a; b], то 8C = const функция Cf интегрируема на [a; b] и
Z b Z b
Cfdx = C fdx:
aa
J1) 8fxkg; имеем (f g; fxkg; ) = (f; fxkg; ) (g; fxkg; ), откуда легко следует 1). Утверждение 2) доказывается точно так же I
также интегрируема на [a; b] и справедлива формула |
|
8 |
; : : : ; cn = const функция |
Pi |
cifi |
|||
Следствие. Если функции f1 |
; : : : ; fn |
интегрируемы на [a; b], то |
c1 |
|
||||
|
Z b |
X |
Z b |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
cifidx = |
ci |
fidx: |
|
|
|
|
|
a |
i |
i |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Лемма 9.8. Если f и g интегрируемы на [a; b], то fg также интегрируема на [a; b].
JИмеем
fg = 14 (f + g)2 (f g)2 ;
откуда на основании п. 1) Леммы ?? и следствия из Теоремы ?? получаем доказываемое утверждение. I
Определение 9.10. Если a = b, то по определению считаем, что любая функция интегрируема
на [a; b] и полагаем aa fdx = 0. Åñëè a > b; |
то говорим, что f интегрируема на [a; b] тогда и |
||
только тогда, когда Rf интегрируема на [b; a] |
и при этом полагаем |
ab fdx |
ba fdx: |
|
R |
|
R |
Глава 9. Определенный интеграл |
17 |
Лемма 9.9 (Аддитивность). Пусть f интегрируема на [a; c] и [c; b]. Тогда f интегрируема на [a; b]
è
Zab fdx = Zac fdx + Zcb fdx: |
(9.7) |
JÅñëè a = b, òî (??) следует из Определения ??. Пусть a < b.
1) Случай a < c < b. Для любого разбиения fxkg существует l такой, что xl c < xl+1: Тогда
l |
n |
|
X |
Xl |
+ I2 + I3: |
S(fxkg) s(fxkg) = |
(Mk mk) xk + (Ml+1 ml+1) xl+1 + (Mk mk) xk I1 |
|
1 |
+2 |
|
Òàê êàê f интегрируема на [a; c] è [c; b], òî I1; I3 ! 0; ïðè d(fxkg) ! 0: 0 I2 (M m))d(fxkg) ! 0: Таким образом, S(fxkg) s(fxkg) ! 0; d(fxkg) ! 0: Отсюда по Теореме ?? следует интегрируемость f íà [a; b]:
Докажем (??). Так как, по доказанному, f интегрируема на [a; b], òî
Z b
fdx = lim (fxkg; ); (9.8)
ad(fxkg)!0
причем предел существует при любом выборе разбиения. В частности, если |
fxkg = fxk0 |
g [ fxk00g, |
|||||||||||||||||||||
ãäå |
f |
xk0 |
g |
è |
xk00 |
|
разбиения отрезков [a; c] |
è [c; b], то правая часть (??) будет стремиться с сумме |
|||||||||||||||
|
|
|
|
f |
c g |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
интегралов |
R |
c 2= (a; bR), |
|
a |
|
c <c a < b. По условию f |
|
|
[a; c] |
|
|
f |
|||||||||||
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
fdx è |
c |
fdx. Тем самым (??) доказано. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Случай |
|
|
|
|
например, |
|
|
|
интегрируема на |
|
|
, следовательно, |
|
|||||||
|
Òàê êàê f |
|
|
|
|
R |
|
[c; b],Ròî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
интегрируема на [c; a] è |
c fdx = |
|
a fdx. Покажем, что f интегрируема на [a; b]: |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
интегрируема на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
8" > 0 9 = (") > 0 : |
8fxkg |
(d(fxkg) < ) ) (S(fxkg) s(fxkg) < "): |
(9.9) |
|||||||||||||
Пусть fxk0 g разбиение [a; b] ñ d(fxkg) < ; где удовлетворяет (??). Покажем, что |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(fxk0 g) s(fxk0 g) < ": |
|
|
|
|
(9.10) |
|||
|
Действительно, выберем произвольное разбиение fxk00g отрезка [c; a] |
ñ d(fxk00g) < и образуем |
|||||||||||||||||||||
разбиение fxkg = fxk0 |
g [ fxk00g отрезка [c; b]. Тогда d(fxkg) < ) ) (S(fxkg) s(fxkg) < ", откуда |
||||||||||||||||||||||
легко следует (??). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Èòàê, f интегрируема на [c; a] |
è [a; b]. Тогда, по доказанному, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Z b Z a Z b Z c Z b
fdx = fdx + fdx = fdx + fdx;
c c a a a
÷òî äàåò (??). I
9.4.2Оценки интегралов
В этом пункте будем считать, что a < b.
Лемма 9.10 |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
fdx 0: |
|
|
|
|
|
|
|
Åñëè |
|
|
интегрируема и неотрицательна на |
[a; b]; òî Ra |
||||||||||||||||||||||||
|
|
(Монотонность). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
J |
|
|
Ra |
|
|
|
|
d!0 |
|
|
f |
|
|
0 |
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
По определению |
|
|
fdx = lim ( |
xk); ) |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
{z |
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a)R |
|
ab fdxR |
|
|
|
|
|
||
2) Если f интегрируема на [a; b] и m |
|
f |
|
|
M, òî m(b |
|
|
|
M(b |
|
a): |
|
||||||||||||||||||||||
Следствие. 1) Если f и g интегрируемы на [a; b] и f |
g, òî |
|
a fdx |
a gdx; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2) следует из 1).I |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|||||||
|
g |
0 |
) Ra |
hdx = |
Ra |
fdx |
Ra |
gdx |
|
0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
J1) Положим h = f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Лемма 9.11. Если f интегрируема на [a; b], то jfj интегрируема на [a; b] и
Z b fdx |
Z b jfjdx: |
(9.11) |
|
|
|
|
|
a a
Глава 9. Определенный интеграл |
18 |
JИмеем jf(x)j = '(f(x)); ãäå '(t) = jtj: Òàê êàê jjt1j jt2jj jt1 t2j; òî ' удовлетворяет условию Липшица, следовательно, функция jfj по Теореме ?? интегрируема. Далее, поскольку f(x) jf(x)j; то по п. 1) следствия из Леммы ?? Rab fdx Rab jfjdx, откуда следует (??)I
Замечание 9.2. Из интегрируемости jfj не следует интегрируемость f.
Пример 9.4. f(x) = D(x) 1=2, где D(x) функция Дирихле.
jf(x)j = 1=2 ) интегрируема, но f не интегрируема (см. Пример ??).
9.4.3Теоремы о среднем значении
Теорема 9.6 (I формула среднего значения) . Пусть f и g интегрируемы на [a; b] и g 0 на
[a; b] (или g 0 на [a; b]). Обозначим через m и M нижнюю и верхнюю грани f на [a; b]. Тогда
9 2 [m; M] :
Z b fgdx = Z b gdx: |
(9.12) |
|
a |
a |
|
JДокажем теорему в случае g 0:
Пусть сначала a b: Имеем mg fg Mg: Из Леммы ?? следует, что функции mg; fg; Mg интегрируемы на [a; b], а из следствия 1 из Леммы ??
|
|
|
|
|
|
|
m Zab gdx Zab fgdx M Zab gdx: |
|
|
|
(9.13) |
|||
По условию g 0 ) ab gdx 0: Åñëè |
ab gdx = 0; òî (??) следует из (??) ( любое). Пусть |
|||||||||||||
|
b |
gdx > 0; |
тогда число |
|
|
b |
fgdx= |
b gdx удовлетворяет условиям m |
|
|
|
M è (??). |
||
R |
a |
R |
|
a |
a |
R |
9 2 [m; M] : |
|
|
|||||
|
Пусть теперь a > b: |
Тогда, по доказанному, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
R |
|
R |
|
|
|
|
|
|
||||
Z a Z a
fgdx = gdx;
bb
откуда получаем (??). I
Следствие 1. Если f интегрируема на [a; b], то 9 2 [m; M] : Rba fdx = (b a);
JСледует из (??) ïðè g 1: I
Следствие 2. |
Если f непрерывна на [a; b]; g интегрируема на |
[a; b] è g 0 (èëè g 0), òî |
|||
9 2 [a; b] : |
Z |
a |
fgdx = f( ) Z |
a |
|
|
|
gdx: |
(9.14) |
||
bb
JÅñëè f непрерывна, то (??) выполняется. Далее снова в силу непрерывности f 9 2 [a; b] : f( ) = ) (??). I
Теорема 9.7 (II формула среднего значения) . Если f интегрируема на [a; b], g монотонна и ограничена на [a; b], то 9 2 [a; b] :
Zab fgdx = g(a) Za fdx + g(b) Z b fdx: |
(9.15) |
Формулу (??) называют формулой Боннэ. Ее доказательство можно найти в любом стандартном учебнике по матанализу (см. [ ?, c.359],[?, c.117] èëè [?, c.228]). Мы дадим еще одно доказательство, которое, на наш взгляд, отличается большей наглядностью.
Без ограничения общности можно считать, что a < b: Сначала мы докажем одно утверждение, которое представляет и самостоятельный интерес.
Лемма 9.12 (О сплайн интерполяции). Пусть функция f интегрируема на [a; b]: Тогда суще-
ствует последовательность непрерывных кусочно линейных 1 на [a; b] функций ffng11 |
таких, что |
Zab jf(x) fn(x)j dx ! 0; n ! 1: |
(9.16) |
1Функцию f будем называть кусочно линейной на [a; b], если отрезок [a; b] можно разбить на конечное число интервалов, на которых функция f линейна.
Глава 9. Определенный интеграл |
19 |
||
|
|
n |
|
JПусть xk = a + |
k |
1 |
разбиение [a; b] è fn функция, графиком которой служит |
(b a)n |
|||
ломаная с вершинами в точках Ak = (xk; f(xk)). Тогда
sup jf(x) fn(x)j Mk mk;
[xk 1;xk]
ãäå Mk; mk верхняя и нижняя грани функции f íà [xk 1; xk]: Отсюда, используя свойства монотонности и аддитивности интеграла а также интегрируемость функции f, будем иметь
Za |
b |
n |
xk |
jf(x) fn(x)j dx = |
1 |
Zxk 1 jf fnjdx |
|
|
|
X |
|
|
|
n |
|
|
|
X |
(Mk mk) xk = S(f; fxkg) s(f; fxkg) ! 0; n ! 1: I |
|
|
1 |
|
Следствие. Если f и g интегрируемы на [a; b], то существует последовательность непрерывных
кусочно линейных на [a; b] функций ffng11 è fgng11 таких, что |
|
Zab jf(x)g(x) fn(x)gn(x)jdx ! 0; n ! 1: |
(9.17) |
JПусть ffng11 è fgng11 последовательности, построенные для f è g òàê æå, êàê ïðè äîêà- зательстве Леммы ??. Тогда, поскольку f è g интегрируемы, значит, ограничены, то существует
C = const > 0
jf(x)j C; jg(x)j C 8x 2 [a; b]: |
(9.18) |
Из способа построения следует, что fn è gn также удовлетворяют этим неравенствам. Следовательно, jfg fngnj = jf(g gn) + (f fn)gnj C(jf fnj + jg gnj): Отсюда, в силу (??) и аналогичного соотношения для gn, получим (??). I
Завершение доказательства Теоремы |
??. Из соотношения (??) имеем |
|
||
Za |
b |
|
b |
|
f(x)g(x)dx = n!1 Za |
fn(x)gn(x)dx: |
|
||
|
|
lim |
|
(9.19) |
Покажем, что интеграл |
In = Zab fn(x)gn(x)dx |
|
||
|
|
|||
представляется в виде (??) с некоторым n 2 [a; b]: |
|
|
||
Имеем |
n |
Z xk |
n |
|
|
|
|||
XX
|
|
In = |
xk 1 |
fngndx Ink: |
|
|
1 |
1 |
|
Рассмотрим функцию Fn(x) = |
ax fn(t)dt; |
x 2 [a; b]; интеграл с переменным верхним пре- |
||
делом (см. следующий раздел). |
Òàê êàê |
fn непрерывна на [a; b], то по Теореме ?? функция Fn |
||
|
R |
|||
дифференцируема на [a; b] è Fn0 (x) = fn(x): Поэтому, применяя к каждому из интегралов Ink ôîð- мулу интегрирования по частям, будем иметь
|
n |
xk |
|
n |
|
xk |
In = |
1 |
Zxk 1 |
Fn0 (x)gn(x)dx = |
1 |
xk |
Zxk 1 Fn(x)gn0 (x)dx!: |
Fngnjxk 1 |
||||||
|
X |
|
|
X |
|
|
Функции Fn è gn непрерывны на [a; b]; поэтому
n |
xk |
= Fn(b)gn(b) Fn(a)gn(a) = Fn(b)gn(b) = gn(b) Za |
b |
|
1 |
fn(t)dt; |
|||
Fngnjxk 1 |
||||
X |
|
|
|
òàê ÷òî
Z b Z b
In = gn(b) fn(t)dt Fn(x)gn0 (x)dx:
aa