которая по построению равносильна в пределах = 0x m+n 1 1 системе уравнений (??). 4). Таким образом, утверждение а) теоремы доказано. Остается проверить формулу ( ??).

Согласно а)

F(x; f(x)) 0; x 2 0x;

что в покоординатной записи означает

По доказанному функции fi дифференцируемы в 0x, а функции Fi(x; y) по условию диффе-

или в матричной форме

F0x(x; y) + F0y(x; y) f0(x) = 0;

ãäå y = f(x): Отсюда, учитывая обратимость матрицы F0y(x; y) в , получим (??).I

12.2.2 Взаимно - однозначное отображение в Rn

Пусть в O(M0); M0(x01; : : : ; x0n) 2 Rn; определены функции

Теорема 12.4. Пусть функции f1; : : : ; fn â O(M0) имеют непрерывные частные производные пер-

вого порядка по всем переменным и D(f1; : : : ; fn) (M0) 6= 0: Тогда функции f1; : : : ; fn осуществля-

D(x1; : : : ; xn)

ют взаимно однозначное отображение некоторой окрестности U(M0) O(M0) точки M0 â некоторую окрестность V (N0) точки N0(y10; : : : ; yn0 ), ãäå yi0 = fi(M0):

JПусть Fi(x; y) = yi +fi(x1; : : : ; xn): Тогда функции Fi удовлетворяют всем условиям Теоремы

??:

1.Fi(M0; N0) = 0;

2.Все частные производные первого порядка Fi непрерывны в O(M0; N0) è

F0x(M0; N0) = D(f1; : : : ; fn) (M0) 6= 0;

D(x1; : : : ; xn)

12.3Условный экстремум

12.3.1Постановка вопроса

Все изученные нами до сих пор результаты по исследованию функции на экстремум относятся к так называемому случаю безусловного экстремума. Другими словами, эти результаты применимы только к исследованию поведения функции в полной окрестности некоторой точки, когда на аргумент не накладывается никаких условий .

Часто возникает более сложная и с практической точки зрения более интересная ситуация, когда ищется экстремум функции при некоторых условиях, ограничивающих поведение аргумента 2.

Пример 12.2 (Изопериметрическая задача) . Среди всех прямоугольников , имеющих заданный периметр 2p, найти тот, который имеет наибольшую площадь S.

Обозначив через x è y стороны прямоугольника, приходим к следующей задаче

S(x; y) = xy 7 !max;

x + y = p:

Таким образом, экстремум функции ищется не на всей области определения, а лишь на ее части, определяемой уравнением связи 3 x + y = p: Эта задача, конечно, легко сводится к обычной задаче

безусловного экстремума: выразив из уравнения связи y через x, мы приходим к задаче нахождения максимума функции x(p x) на отрезке [0; p]:

В общем случае задача на условный экстремум ставится так:

Пусть функции Fi удовлетворяют всем условиям Теоремы ??:

1)Fi(M0) = 0;

2)@Fi ; @Fi ; i; k = 1; n; j = 1; m; непрерывны в O(M0) и отличен от 0 хотя бы один из миноров

@xj @yk

Тогда по Теореме ?? существуют = f(x; y) 2 Rn+m : jx x0j < ; jy y0j < g и единственный набор функций yi = fi(x); i = 1; n, дифференцируемых на 0x = fjx x0j < g и таких, что

8 (x; y) 2 (??) , yi = fi(x); i = 1; n:

Это означает, что в пределах окрестности точки M0

u= f(x1; : : : ; xm; f1(x1; : : : ; xm); : : : ; fn(x1; : : : ; xm)) (x1; : : : ; xm);

èзадача нахождения условного экстремума функции n + m переменных свелась к задаче нахождения безусловного экстремума функции в m-мерном прямоугольнике 0x:

Замечание 12.2. На практике указанный способ нахождения точек условного экстремума удается реализовать лишь в том случае, когда удается найти явные выражения

для неявных функций y1; : : : ; yn, заданных уравнениями связи (??). Собственно, мы так и поступили в примере ??.

2Фактически мы уже сталкивались с такой задачей при нахождении глобальных экстремумов наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на некотором компакте (п.11.8.4).

3На самом деле имеются дополнительные ограничения, возникающие из контекста задачи: x; y 0:

Укажем другой способ нахождения точек условного экстремума, не прибегая к явному решению системы (??), хотя существованием этих решений мы будем пользоваться и в этом случае.

На самом деле мы найдем лишь необходимые условия экстремума.

Итак, пусть по-прежнему Fi удовлетворяют условиям 1), 2) так, что справедливо ( ??), и пусть функция f дифференцируема в O(M0):

Предположим, что M0 = (x0; y0) точка условного экстремума или что то же самое x0 точка обычного (безусловного) экстремума сложной функции

Взяв дифференциал от обеих частей каждого из тождеств ( ??) и воспользовавшись снова инвариантностью формы I дифференциала, будем иметь:

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : (12.27)

Система (??) линейна относительно переменных dy1; : : : ; dyn, причем определитель матрицы

D(F1; : : : ; Fn)

этой системы равен D(y1; : : : ; yn) (M0); который, в силу условия 2), отличен от 0. Следовательно, систему (??) можно разрешить относительно dy1; : : : ; dyn, причем последние, согласно формулам Крамера, будут линейными функциями от dx1; : : : ; dxm:

m

X

dyi = aijdxj; i = 1; n;

j=1

Так как в равенстве (??) фигурируют только дифференциалы независимых переменных, то ( ??)тождество относительно dx1; : : : ; dxm, следовательно, A1(M0) = = Am(M0) = 0: Присоеди-

няя к этим равенствам n условий связи, получим необходимые условия существования условного экстремума:

(??) система из n+m уравнений для определения n+m координат точки возможного условного экстремума.

12.3.2Метод неопределенных множителей Лагранжа

В изложенном в предыдущем пункте методе нарушается симметрия относительно переменных: часть из них (x1; : : : ; xm) мы рассматриваем как независимые переменные, а остальные ( y1; : : : ; yn)

x1; : : : ; xm. Лагранж предложил другой метод, при котором все переменные играют одинаковую роль. Этот метод основан на следующей теореме.

Теорема 12.5. Пусть функции Fi удовлетворяют условиям 1), 2) п. ?? и пусть функция f дифференцируема в O(M0): Тогда если M0 точка условного экстремума задачи (??) (??), òî

вектор grad f(M0) является линейной комбинацией векторов grad Fi(M0); i = 1; n; òî åñòü

Здесь x1; : : : ; xm независимые переменные, поэтому ( ??) тождество относительно dx1; : : : ; dxm,

Отсюда и из (??) ïðè i = i; i = 1; n следует утверждение теоремы. I

Функцию называют функцией Лагранжа, а метод ее использования методом Лагранжа. Функция Лагранжа удобна тем, что необходимые условия ее экстремума как функции перемен-

íûõ 1; : : : ; n; x1; : : : ; xm è y1; : : : ; yn в точности совпадают с равенством ( ??) и условиями связи

(??). Действительно,

>

>

>

>

:

Таким образом, при решении задачи ( ??) (??) можно написать с неопределенными множителями функцию Лагранжа (??) и искать уже ее критические точки.