Глава 11.

Функции многих переменных

35

fG( i)g1m :

m

1

G( i) I K: Åñëè G входит в эту систему, то после исключения

G оставшиеся

G( i) ïî-

S

K

K

прежнему покрывают

, следовательно, образуют конечное покрытие

множествами

из исходного семейства

fG( )g. Если среди fG( i)g1m íåò G, то они все входят в fG( )g, значит,

составляют конечное подпокрытие K. I

11.13.

Последовательностью в

R

n называется отображение

f : N ! R

n

:

Ïðè

Определениеk

k

k

ýòîì f(k) x

= (x1

; : : : ; xn) называется k-м членом последовательности. Саму последователь-

ность будем обозначать fxkg11 или просто fxkg.

Определение 11.14. Будем говорить, что

fx

k

g

сходится к некоторому пределу

a 2k

R

n тогда и

k

только тогда, когда (x ; a) ! 0; k ! 1; то есть 8 " > 0 9 K = K" : 8 k K

(x ; a) < ":

Jfxkg сходится ,

, fxikg сходится 8i = 1; n ,

Êð. Êîøè

, fxikg фунда-

Лемма ??

äëÿ ÷èñë.ïîñë.

ментальна 8i =

1; n

,

Лемма ?? , fxkg фундаментальна. I

Теорема 11.3 (Больцано

Вейерштрасс)

. Åñëè

f

xk

g

èç Rn ограничена, то существует сходяща-

яся подпоследовательность fxikg.

JÂ ñèëó (??),

jxikj (xk; 0) M: Следовательно, 8i = 1; : : :k; n fxikg ограничена. По Лемме

Больцано

Вейерштрасса для числовой последовательности из

fx1g

можно выделить подпоследо-

ki1

сходящуюся к некоторому числу

ki1

можно выделить

вательность fx1

g,

a1

. Далее так же из

fx2 g

ki2

подпоследовательность

fx2 g

, сходящуюся к некоторому пределу

a2.

k

Повторяя этот процесс, мы

построим подпоследовательность fxkin g è a 2 Rn такие, что 8j = 1; : : : ; n

xjin ! aj; kin ! 1. I

по любой

k

k

M

k

b ).

g 2 M

T

O(a) и сходящейся к a

тогда, когда 8 fx

O(a) :

(x ! a; k

! 1; ) ) f(x ) ! b (то есть предел функции f

Определение 11.17

Говорят, что

f

a

b

T

последовательности, лежащей в

, существует и равен

(Êîøè).

8 x 2 M

предел функции

в точке

равен

тогда и только

тогда, когда 8 " > 09 = (") > 0 :

0 < (x; a) < ) jf(x) bj < ":

Глава 11. Функции многих переменных

36

lim f(x) = b:

(11.6)

Определение 11.18. Пусть M неограниченное множество и

f определена

íà

M. Тогда

x!1

() 8

9

= (") > 0 :

8

x

2

M (x; 0) >

) jf(x) bj

< ") :

lim f(x) = b

( " > 0

Свойства предела

1. Арифметические свойства: Åñëè lim f(x) = b è lim g(x) = c; òî

x!a

x!a

(a)

lim (f(x) + g(x)) = b + c;

x!a

g(x) = bc;

x a

(b)

lim f(x)

!

f(x)

b

(c) Если дополнительно c = 0, òî lim

=

c.

6

x

!

a g(x))

2. Предельный переход и неравенства:

f(x) h(x) g(x)

(a) (Теорема о 2 милиционерах) Пусть

в некоторой

O(a)

è

lim f(x) =

x

!

a

x!a

x!a

(b) Åñëè lim f(x) > lim g(x); òî

9 O(a) : f(x) > g(x) 8x 2 O(a):

x

!

a

x

!

a

3. Критерий существования предела: x a

,

(f(x) = b + (x); ) ãäå (x) беско-

lim f(x) = b

!

M0 = (x0; y0) :

(M0; 1; 2) = f(x; y) : 0 < jx x0j < 1; 0 < jy y0j < 2g: Далее пусть

8

y :

0 < y

y

0j

<

2 9

lim f(x; y) = '(y) и пусть

lim '(y) = b: В этом случае говорят, что

9

j

x!x0

9 y!y0

повторный предел lim

lim f(x; y) = b: Аналогично определяется

lim lim f(x; y).

y!y0 x!x0

x!x0 y!y0