Глава 9

Определенный интеграл

9.1Интегрируемость

9.1.1Интегральные суммы

Определение 9.1. Набор точек a = x0 < x1 < xn = b называется разбиением отрезка [a; b] и обозначается fxkg. Число d = d(fxkg) = max jxk xk 1j называется диаметром разбиения

fxkg.

Определение 9.2. Разбиение fx0kg называется измельчением разбиения fxkg, если множество точек fx0kg содержится в множестве fxkg.

Определение 9.3. Разбиение fxkg отрезка [a; b] называется объединением разбиений fx0kg è fx00kg этого же отрезка, если fxkg = fx0kg [ fx00kg.

Ясно, что объединение двух разбиений является измельчением каждого из них. Пусть функция f определена на [a; b] è jf(x)j < 1 8x 2 [a; b].

Определение 9.4. Выражение

n

X

= f( i) xi;

i=1

ãäå xi = xi xi 1; i некоторая точка из [xi 1; xi]; fxkg разбиение [a; b], называется интегральной суммой для функции f.

Заметим, что интегральная сумма зависит от разбиения fxkg и набора промежуточных точек f g. Поэтому в дальнейшем, если мы хотим подчеркнуть эту зависимость, будем употреблять более развернутое обозначение

= (fxkg; );

ãäå = f kg; k 2 [xk 1; xk].

9.1.2Геометрический смысл интегральных сумм

Пусть f непрерывна и неотрицательна на [a; b]. Тогда поскольку число f( i) xi есть площадь прямо-

угольника, опирающегося на отрезок [xi 1; ; xi] и имеющего высоту f( i), òî (fxkg; ) представляет собой площадь ступенчатой фигуры, изображенной на рисунке.

9.1.3Интегрируемость

Определение 9.5. Число I называется пределом интегральных сумм (fxkg; ) ïðè d(fxkg) ! 0 тогда и только тогда, когда

8" > 0 9 = (") > 0 : 8fxkg; (d(fxkg < ) =) (j (fxkg; ) Ij < "):

При этом пишут

I = lim (fxkg; ):

d!0

11