Глава 10. Геометрические приложения определенного интеграла |
25 |
2)Доказательство формулы ( ??). Сначала докажем, что для любого положительного " найдется
= (") > 0 такая, что для всех разбиений ftkg справедливо утверждение
d(ftkg) < ) jjl(ftkg)j Ij < ";
ãäå I правая часть (??). Â ñèëó (??) имеем
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jl(ftkg)j = |
q('0( k))2 + ( 0( k))2 tk + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
('0( k))2 + ( |
0( k))2 ('0( k))2 + ( 0( k))2 tk I1 + I2: |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
X |
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I1 = I1(ftkg) есть интегральная сумма для непрерывной функции |
|
('0(t))2 |
+ ( |
0(t))2, следователь- |
||||||||||||||||||||||||||||||
íî, |
9 |
1 = 1(") > 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
d(ftkg) < ) |
|
jjI1(ftkg)j Ij < |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.10) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Далее, поскольку |
|
|
|
|
|
jb1 b2j 8a; b1; b2 2 R; òî |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
a2 + b12 |
a2 + b22 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
p |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0( k) 0( k)j tk: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
jI2j |
1 |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.11) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция 0(t) непрерывна, следовательно, равномерно непрерывна на [a; b] |
) 9 |
|
(") > 0 : |
|||||||||||||||||||||||||||||||
8t1; t2 2 [a; b] jt1 t2j < 2 ) |
|
j 0(t1) 0 |
(t2)j < |
|
" |
|
: Тогда |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2(b |
|
a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
" |
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
d(ftkg) < 2 |
|
) |
|
jI2j < 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tk |
= |
|
: |
|
|
|
|
|
(10.12) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2(b |
|
a) |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Положим
(??).
Пусть теперь ftkg любое разбиение [a; b]: Выберем ft0kg измельчение ftkg так, чтобы d(ft0kg) <("): Тогда, поскольку при измельчении разбиения длина соответствующей ломаной может только
увеличиться, то, используя ( ??), будем иметь jl(ftkg)j jl(ft0kg)j < I +"; откуда j j I +": С другой стороны, согласно (??) j j jl(ftkg)j > I "; åñëè d(ftkg) < ("); òàê ÷òî j j I ": Таким образом,
I " j j I + " 8" > 0: Отсюда следует (??). I
Замечание 10.3. Для пространственной кривой справедливо аналогичное Теореме ?? утвержде-
íèå: |
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 [a; b]; непрерывно дифференци- |
||
Если кривая с параметризацией r(t) = ('(t); |
(t); (t)); |
||||||||||
руема, то она спрямляема и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
j j = Z |
b |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
('0)2(t) + ( |
0)2(t) + ( 0)2 |
(t)dt: |
|
|||||
|
|
|
a |
p |
|
|
|
|
|
||
Пример 10.1. Астроида имеет параметризацию: x = a cos3 t; |
y = a sin3 t; |
t 2 [0; 2 ]: |
|||||||||
По формуле (??) длина астроиды равна |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
=2 |
|
|
|
=2 |
|
=2 |
||||
j j = 4 |
Z |
|
|
|
sin t cos tdt = 6a Z |
|
|||||
9a2 cos4 t sin2 t + 9a2 sin4 t cos2 tdt = 12a Z |
sin 2tdt = 6a: |
||||||||||
|
0 |
p |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
||
10.2Площадь плоской фигуры
10.2.1Определение площади
В этом пункте мы ограничимся изложением элементарных сведений из теории площадей частного случая общей теории меры. Более развернутое (но далеко не полное! 3) изложение теории меры в Rn будет дано в IV части.
3Общая теория меры один из важных разделов функционального анализа.
Глава 10. Геометрические приложения определенного интеграла |
26 |
Определение 10.7. Фигурой будем называть любое ограниченное множество |
F на плоскости. |
Определение 10.8. Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная система координат. Прямоугольником будем называть множество вида = ab = f(x; y); a1 x b1; a2
y b2g. Число m( ab) = (b1 a1)(b2 a2) будем называть площадью прямоугольника ab.
Определение 10.9. Фигура P называется простой (или многоугольной) , если она состоит
из конечного числа прямоугольников (возможно, вырожденных), не имеющих общих внутренних |
|||||
точек: |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
\ |
|
||
|
|
j = ?; i 6= j: |
|
||
|
P = k; i |
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
P |
При таком представлении площадью P будем называть число m(P ) = m( k): |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
Обозначим через M множество простых фигур . |
|
||||
|
|
Свойства m(P ): |
|
||
1. m(P ) 0 8P 2 M: |
|
|
|
|
|
2. Åñëè P1; P2 2 M è P1 P2, òî m(P1) m(P2): |
SP2) = m(P1) + m(P2): |
||||
3. Åñëè P1; P2 2 M, òî P1 |
SP2 2 M. Åñëè P1 |
TP2 = ?; òî m(P1 |
|||
Упражнение 10.1. Доказать свойства 1 3.
Определение 10.10. Простая фигура P называется вписанной в фигуру F , если P F и
описанной около F , если F P:
Пусть F фигура, P и Q соответственно вписанная в F и описанная около F простые фигуры. Тогда согласно свойству 2 m(P ) m(Q): Следовательно, множество площадей простых
фигур вписанных в F (соответственно описанных около F ), ограничено сверху (соответственно снизу).
Определение 10.11. Числа
= (F ) = sup m(P ); = (F ) = |
inf m(Q) |
M3P F |
F Q2M |
называются соответственно нижней и верхней площадью фигуры F .
Определение 10.12. Фигура F называется квадрируемой, если (F ) = (F ): При этом число(F ) = (F ) = (F ) называется площадью фигуры F:
Замечание 10.4. Любая простая фигура квадрируема в смысле Определения ?? и (P ) = m(P ): Таким образом, мы понятие площади распространили с множества M на более широкий класс фигур, которые назвали квадрируемыми. Функцию , определенную на множестве квадрируемых фигур, называют Жордановым продолжением площади или просто площадью по Жордану.
Упражнение 10.2. Показать, что (F ) обладает теми же свойствами, что и m(P ) :
1. |
(F ) 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Åñëè F1 F2, òî (F1) (F2): |
|
1 T |
|
|
|
|
|
|
S 2 |
|
|
(F1) + (F2): |
|
|
2 |
|
? |
|
1 |
|
||
3. |
Åñëè F1; F2 квадрируемы, то их объединение квадрируемо. Если |
F |
|
F |
|
= |
|
; òî (F |
|
F |
) = |
Глава 10. Геометрические приложения определенного интеграла |
27 |
10.2.2Площадь криволинейной трапеции
Определение 10.13. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком функции y = f(x); где f непрерывна и неотрицательна на [a; b], прямыми x = a; x = b и осью
Ox:
Теорема 10.2. Криволинейная трапеция квадрируема и ее площадь равна
(F ) = Za |
b |
|
f(x)dx: |
(10.13) |
J1) Квадрируемость. Так как f непрерывна, то интегрируема, следовательно, 8" > 09 = (") >
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 : 8fxkg |
d(fxkg) < |
|
) 0 S(fxkg) s(fxkg) < ": |
|
|
|
(10.14) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Но при каждом разбиении fxkg |
суммы Дарбу представляют собой площади описанной и вписанной |
||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
m(P )P; |
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|||||
простых фигур P è Q: S(fxkg) = |
1 |
Mk xk = m(Q); s(fxkg) = |
1 |
|
mk xk = m(P ): |
||||||||||||
С другой стороны, |
|
|
|
|
|
|
|
m(Q); следовательно, 0 |
|
|
|
|
|
< ": Отсюда, в силу |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
произвольности ", получаем = .
2) Доказательство формулы ( ??). По доказанному, F квадрируема, следовательно, 8P F Q; P; Q простые, имеем m(P ) (F ) m(Q): В частности, 8fxkg s(fxkg) (F ) S(fxkg).
Отсюда, поскольку 8fxkg
согласно (??), будем иметь
I
b
R
s(fxkg) f(x)dx S(fxkg); то, взяв разбиение с d(fxkg) < (");
a
(F ) b f(x)dx |
< "; откуда в силу того, что " любое, следует (??). |
||
|
R |
|
|
a
Пример 10.2. Пусть F = f(x; y) : x = r cos '; |
y = r sin '; 0 r a; 0 ' g круговой |
|
сектор радиуса a и раствора : Тогда F квадрируем и |
||
(F ) = |
1 |
a2: |
|
||
2 |
||
JМожно считать, что < =2 (в противном случае сектор F можно разбить на несколько секторов, соответствующих острым углам, и воспользоваться свойством аддитивности площади). Тогда F можно рассматривать как криволинейную трапецию с a = 0; b = a и
f(x) =
0 x a cos ; a2 x2; cos x a:
a cos |
a p |
RR
Следовательно, F квадрируем и (F ) = |
tg xdx + |
a2 x2dx =: I1 + I2: Имеем |
0a cos
I1 |
= tg |
2 |
a cos |
2 |
|
a cos t преобразует I2 |
ê âèäó I2 = |
||||||||||
2 |
0 |
= a4 sin 2 : Далее, подстановка x = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
применяя формулу понижения степени |
|
2 |
|
|
легко находим |
||||
a |
|
sin |
tdt: |
Отсюда, |
sin |
t = (1 |
cos 2t)=2; |
||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
21 sin 2 ) I |
|
|
|
|
|
|||||
I2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Замечание 10.5 (Геометрический смысл интегрируемости) . Из доказательства видно, что функция f интегрируема на [a; b] тогда и только тогда, когда фигура F , ограниченная графиком f, осью
часть F , лежащая выше (ниже) оси абсцисс. |
b |
R |
|
абсцисс и прямыми x = a; x = b, квадрируема. При этом fdx = S+ S ; ãäå S = (F ); F+(F ) |
|
|
a |
Следствие. Пусть f и g непрерывны на [a; b] и f |
b g: Тогда площадь фигуры, ограниченной |
R
графиками функций f; g и прямыми x = a; x = b, равна (f g)dx:
a