сюда согласно определению inf получаем s(fx0kg) I : Так как последнее неравенство выполняется для всех разбиений fx0kg, то оно должно выполняться и для sup левой части по всем разбиениям:

I I : I

9.3Критерий интегрируемости. Классы интегрируемых функций.

9.3.1Критерий Дарбу интегрируемости

Теорема 9.1 (Дарбу). Для интегрируемости ограниченной на [a; b] функции f необходимо и достаточно, чтобы

JНеобходимость. Пусть f интегрируема на [a; b]. Это означает, что существует конечный предел

откуда согласно следствию из Леммы ?? S(fxkg) I + "=2 ïðè d(fxkg) < :

Аналогично доказывается, что s(fxkg) I "=2 ïðè d(fxkg) < : Тем самым (??) доказано.

Достаточность. Пусть (??) выполнено. Тогда, устремляя в соотношении ( ??) d(fxkg) ê 0, получим I = I I: Воспользовавшись теперь неравенством ( ??) и снова неравенством (??), будем иметь

j (fxkg; ) Ij < S(fxkg) s(fxkg) ïðè âñåõ fxkg; . Отсюда на основании (??) следует (??)I

9.3.2Классы интегрируемых функций

Теорема 9.2 (Интегрируемость непрерывной функции) . Если функция f непрерывна на [a; b], то она интегрируема на [a; b].

JÒàê êàê f непрерывна, то она равномерно непрерывна на [a; b], òî åñòü

Отсюда если fxkg любое разбиение с d(fxkg) < , òî 8x; x0 2 [xk 1; xk]; k = 1; n; имеем jf(x) f(x0)j < "=(b a); òàê ÷òî jMk mkj "=(b a): Тогда при d(fxkg) <

X

S(fxkg) s(fxkg) = (Mk mk) xk ": I

k

Определение 9.9. Множество A называется множеством меры нуль (ммн) в смысле Жордана тогда и только тогда, когда 8 " > 0 9 конечная система интервалов, имеющих суммарную длину меньше " и покрывающих множество A.

Говорят, что некоторое свойство P выполняется почти всюду на некотором множестве M тогда и только тогда, когда часть множества M, где не выполняется P , есть ммн в смысле Жордана.

Теорема 9.3 (Интегрируемость почти всюду непрерывной функции) . Если функция f ограничена и непрерывна почти всюду (в смысле Жордана) на [a; b], то она интегрируема на [a; b].