- •Первообразная. Неопределенный интеграл
- •Определение и основные свойства неопределенного интеграла
- •Первообразная
- •Интеграл!неопределенный
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Таблица основных неопределенных интегралов
- •Основные методы интегрирования
- •Метод подстановки
- •Интегрирование по частям
- •Классы функций, интегрируемых в элементарных функциях
- •Интегрирование рациональных дробей с вещественными коэффициентами
- •Интегрирование квадратичных иррациональностей
- •Интегрирование дифференциального бинома
- •Интегрирование некоторых тригонометрических выражений
- •Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях
- •Определенный интеграл
- •Интегрируемость
- •Интегральные суммы
- •Геометрический смысл интегральных сумм
- •Интегрируемость
- •Суммы Дарбу
- •Определение
- •Основные свойства сумм Дарбу
- •Критерий интегрируемости. Классы интегрируемых функций.
- •Критерий Дарбу интегрируемости
- •Классы интегрируемых функций
- •Свойства определенного интеграла
- •Линейность и аддитивность
- •Оценки интегралов
- •Теоремы о среднем значении
- •Интеграл с переменным верхним пределом
- •Интегрирование по частям и формула Тейлора
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Критерий Лебега интегрируемости функции
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Длина дуги кривой
- •Понятие кривой
- •Длина дуги кривой. Спрямляемые кривые
- •Площадь плоской фигуры
- •Определение площади
- •Площадь криволинейной трапеции
- •Площадь криволинейного сектора
- •Объем тела в пространстве
- •Кубируемость
- •Объем тела вращения
- •Работа силы вдоль кривой
- •Функции многих переменных
- •Функция многих переменных. Ее предел
- •Предел функции многих переменных
- •Повторные пределы
- •Непрерывность функции многих переменных
- •Понятие непрерывности
- •Основные свойства непрерывных функций
- •Дифференцируемость функции многих переменных
- •Частные производные
- •Дифференцируемость функции многих переменных
- •Дифференциал
- •Достаточное условие дифференцируемости
- •Дифференцируемость сложной функции
- •Инвариантность формы первого дифференциала
- •Производная по направлению. Градиент
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Формула Тейлора
- •Экстремум функции многих переменных
- •Необходимое условие экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Случай двух переменных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции
- •Неявные функции
- •Существование и дифференцируемость неявной функции
- •Понятие о неявной функции
- •Неявная функция одной переменной
- •Неявная функция многих переменных
- •Неявные функции, заданные системой уравнений
- •Теорема об однозначной разрешимости системы уравнений
- •Взаимно - однозначное отображение в Rn
- •Условный экстремум
- •Постановка вопроса
- •Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Достаточные условия
- •Пример
Глава 9. Определенный интеграл |
|
|
|
12 |
|
Определение |
9.6. Функция f |
называется интегрируемой по Риману на |
[a; b], åñëè |
||
lim |
Величина этого |
предела |
I |
называется интегралом Римана от |
функции f |
9 d!0 (fxkg; ): |
|
|
|
|
|
по отрезку [a; b] и обозначается
Z b
I = f(x)dx:
a
Таким образом,
Z b
f(x)dx lim (fxkg; );
ad!0
a нижний, b верхний пределы интегрирования.
Пример 9.1. Если |
|
, òî |
|
интегрируема на любом |
|
b |
|
Действительно, |
f = c = const |
|
f |
n |
[a; b] è |
Ra |
cdx = c(b a). |
|
|
|
n |
|
|
|
XX
(fxkg; ) = c xi = c (xi xi 1) = c(b a):
11
Лемма 9.1 (Необходимое условие интегрируемости) . Для того, чтобы функция f была интегрируема на отрезке [a; b]; необходимо, чтобы она была ограничена на [a; b].
JПредположим противное: пусть функция f неограничена сверху (случай, когда f неограничена
снизу, рассматривается аналогично).
Сначала мы покажем, что для любого разбиения можно подобрать набор промежуточных точектак, чтобы интегральная сумма принимала сколь угодно большое значение.
Итак, пусть M > 0; fxkg разбиение [a; b]. Òàê êàê f неограничена на [a; b], то она неограничена хотя бы на одном отрезке разбиения. Без ограничения общности можно считать, что f
неограничена на [a; x1]. Зафиксируем произвольные точки 2 2 [x1; x2]; : : : ; n 2 [xn 1; b] и обозна- чим 1 = f( 2) x2 + + f( n) xn: Òàê êàê f неограничена сверху на [a; x1]; то существует точка1 2 [a; x1] такая, что f( 1) > (j 1j + M)= x1: Тогда
j (fxkg; j = jf( 1) x1 + 1j jf( 1) x1j j 1j > M: |
(9.1) |
По условию функция f интегрируема, следовательно, |
|
8" > 0 9 = (") > 0 : 8fxkg; (d(fxkg) < =) (j (fxkg; ) Ij < "): |
|
С другой стороны, для M = jIj + 1 и любого разбиения с d < согласно (??) существует набор= (M) такой, что j (fxkg; (M)j jIj + 1, следовательно, j Ij j j jIj 1: I
Пример 9.2 (Пример ограниченной,но неинтегрируемой функции) . f(x) = D(x) функция Дирихле.
Покажем, что f неинтегрируема на [0; 1]:
Пусть fxkg разбиение [0; 1]. Тогда в любом частичном отрезке [xk 1; xk] существуют точки
0 |
; 00 |
= |
; òàê ÷òî |
|
= D( 0 |
) x |
|
= 1; |
= |
D( 00) x = 0: |
|
|
Если бы функция D(x) |
P |
|
k |
|
2 |
P" = 1=2 |
k |
|||||
k 2 Q |
k |
2 Q |
|
1 |
k |
|
|
k |
|
|||
|
|
|
|
|
была интегрируема, то для |
нашлось бы положительное число |
|
|||||
такое, что для любого разбиения fxkg с диаметром d < и любого набора j (fxkg; ) Ij < 1=2; òî åñòü j 1 I < 1=2; j 2 Ij < 1=2; откуда j 1 2j < 1 противоречие.
9.2Суммы Дарбу
9.2.1Определение
Пусть f ограничена на [a; b], fxkg некоторое разбиение [a; b]. Положим
mk = inf f; |
Mk = sup f: |
x2[xk 1;xk] |
x2[xk 1;xk] |
Определение 9.7. Суммы |
n |
n |
|
X |
X |
S = Mk xk; s = mk xk |
|
1 |
1 |
называются соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции.
Глава 9. Определенный интеграл |
13 |
Суммы Дарбу зависят как от функции f, так и от разбиения. Поэтому в дальнейшем чтобы под- черкнуть эту зависимость (там, где нужно), мы будем употреблять более развернутые обозначения:
S(fxkg) = S(f; fxkg); s(fxkg) = s(f; fxkg):
Выясним геометрический смысл сумм Дарбу. Рассмотрим криволинейную трапецию, то есть фигуру, ограниченную отрезком [a; b], графиком непрерывной неотрицательной функции f и прямыми
x = a; x = b: Поскольку для любого разбиения fxkg число Mk является наибольшим значением
f на отрезке [xk 1; xk], òî fxkg есть площадь ступенчатой фигуры, содержащей криволинейную
трапецию.
Аналогично, нижняя сумма Дарбу равна площади ступенчатой фигуры, содержащейся в криволинейной трапеции.
9.2.2 Основные свойства сумм Дарбу
Лемма 9.2. Пусть fxkg разбиение [a; b]. Тогда для любого набора
s(fxkg) (fxkg; ) S(fxkg): |
(9.2) |
JСледует непосредственно из определений ?? è ??. I
Лемма 9.3. Пусть fxkg разбиение [a; b]. Тогда для любого " > 0 найдутся наборы и такие, что
0 S(fxkg) (fxkg; ) < "; 0 (fxkg; ) s(fxkg) < ":
[a; b] è " > 0. Тогда из определений нижней и верхней граней следует,
что существуют k; k 2 [xk 1; xk] такие, что Mk f( k) > Mk "=(b a); mk f( k) < mk + |
|||||||||||||
"=(b a); откуда легко следует утверждение леммы. I |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Следствие. Для любого разбиения fxkg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sup ( |
f |
x |
kg |
; ); |
s( |
f |
x |
kg |
) = inf ( |
f |
x |
kg |
; ); |
S(fxkg) = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где sup и inf берутся по всевозможным наборам промежуточных точек для данного разбиения fxkg.
Лемма 9.4. При измельчении разбиения верхняя сумма может только уменьшаться, а нижняятолько увеличиваться.
JДостаточно доказать утверждение для измельчения, которое получается добавлением одной
точки.
Итак, пусть fx0kg разбиение , которое получается добавлением к fxkg точки x 2 (xi 1; xi): Тогда S(fx0kg) получается из S(fxkg) заменой члена Mi xi íà Mi0(x xi 1) + Mi00(xi x); ãäå Mi0 è Mi00 верхняя грань F , взятая соответственно по [xi 1; x] è [x; xi]. ßñíî, ÷òî Mi0; Mi00 Mi; откуда,
S(fx0kg) S(fxkg). Аналогично доказывается, что s(fx0kg) s(fxkg). I
Лемма 9.5. Для любых двух разбиений fx0kg è fx00kg отрезка [a; b] s(fx0kg) S(fx00kg):
JПусть fxkg объединение разбиений fx0kg è fx00kg. Тогда по предыдущей лемме s(fx0kg) s(fxkg) S(fxkg) S(fx00kg): I
Замечание 9.1. Из Леммы ?? следует, что для любой ограниченной на [a; b] функции f множе-
ство нижних сумм Дарбу ограничено сверху, а множество верхних сумм Дарбу снизу. Следовательно, существуют верхняя грань множества нижних сумм и верхняя грань множества верхних сумм Дарбу.
Определение 9.8. Верхним (нижним) интегралом Дарбу от функции f, ограниченной на [a; b],
называется число I = inf S( |
f |
x |
) (соответственно I |
|
= sup s( x |
kg |
)). |
||
f |
xk |
g |
kg |
|
f |
|
|||
|
|
|
|
|
fxkg |
|
|
||