Глава 10
Геометрические приложения определенного интеграла
10.1Длина дуги кривой
Целью данного раздела является демонстрация одного из важных приложений 1 определенного интеграла вычисление длины дуги кривой. Но прежде мы должны определиться с понятием как кривой, так и ее длины. В следующих двух пунктах мы даем краткое изложение необходимых понятий (общая теория кривых предмет топологии 2).
10.1.1Понятие кривой
Определение 10.1. Пусть в плоскости фиксирована прямоугольная система координат. Множество точек (x; y), координаты которых представляют собой непрерывные на некотором отрезке
[a; b] функции:
x = '(t); y = (t); t 2 [a; b]; |
(10.1) |
называется кривой. В дальнейшем кривую будем обозначать : Другими словами, кривая непрерывный образ отрезка:
= f(x; y) : x = '(t); y = (t)g; ãäå '; 2 C[a; b]: |
(10.2) |
Ïðè ýòîì (??) называется параметризацией ; вектор функция
r(t) = ('(t); (t)); t 2 [a; b]; |
(10.3) |
параметризацией в векторной форме.
Точка r(a) называется началом, r(b) концом кривой :
Определение 10.2. Кривая называется простой или кривой без самопересечений, если r(t1) 6= r(t2) 8t1 6= t2 2 [a; b]:
Замечание 10.1. В общем случае кривая может быть устроена самым причудливым образом. Например, существует кривая, которая заполняет весь квадрат (кривая Пеано[ ?, c.167].)
Определение 10.3. Пусть некоторая кривая с параметризацией (??). Тогда непрерывная
вектор функция |
|
||||||||||
|
|
|
|
= |
|
( ); 2 [ ; ]; |
(10.4) |
||||
|
|
|
|||||||||
называется другой параметризацией , если существует возрастающая и непрерывная на |
[ ; ] |
||||||||||
функция t = f( ) такая, что f( ) = a; f( ) = b и |
|
( ) = |
|
(f( )) 8 2 [ ; ]: |
|
||||||
|
r |
|
|||||||||
|
При этом функция t = f( ) называется преобразованием параметров. |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||
1 |
Этим же будет показано, как естественным образом возникает понятие интеграла. |
|
|||||||||
2 |
Кафедра рядом! |
|
|||||||||
23
Глава 10. Геометрические приложения определенного интеграла |
24 |
Определение 10.4. Кривая называется кривой класса C(n); n 2 N, åñëè |
|
a) существует некоторая параметризация вида (??), где функции ' и |
n раз непрерывно |
дифференцируемы на [a; b]; |
|
b) любое преобразование параметров t = f( ) 2 [ ; ] n раз непрерывно дифференцируема и f0( ) 6= 0 8 2 [ ; ]:
Кривую класса C(1) мы кратко будем называть непрерывно дифференцируемой.
10.1.2Длина дуги кривой. Спрямляемые кривые
Рассмотрим кривую с параметризацией (??).
Определение 10.5. Пусть ftkg разбиение [a; b] и пусть Mk = r(tk); |
|
|
|
|||
k = 1; n: Ломаная |
||||||
l(ftkg) M0M1 : : : Mn называется вписанной в кривую : |
|
|
|
|
||
Пусть jlj длина l. Тогда |
|
|
|
|
|
|
jlj = |
n |
|
|
|
|
|
1 q('(tk) '(tk 1))2 + ( (tk) (tk 1))2 |
: |
(10.5) |
||||
|
X |
|
|
|
|
|
Определение 10.6. Кривая называется спрямляемой, если множество длин всех ломаных, вписанных в , ограничено. При этом величина
j j = sup jl(ftkg)j
ftkg
называется длиной кривой :
Замечание 10.2. Существуют неспрямляемые кривые (см. [ ?] или [?, c. 169] )
Лемма 10.1 (Корректность определения длины кривой) . Если спрямляема, то ее длина не зависит от параметризации.
JПусть (??) è (??) две параметризации кривой и пусть t = f( ) преобразование параметров. Тогда
( ) = r(f( )); |
2 |
[ ; ]; |
r(t) = (f 1(t)); t |
2 |
[a; b]: |
(10.6) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
||
Пусть l(ftkg) ломаная, соответствующая разбиению |
|
|
|
|
|
|||||||||
ftkg отрезка [a; b], l(f kg) ломаная, соот- |
||||||||||||||
ветствующая разбиению f kg отрезка [ ; ]: Положим |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
j j = sup jl(ftkg)j; |
~ |
~ |
|
|
|
||||||
|
|
|
j j = sup jl(f kg)j: |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
ftkg |
|
|
|
|
f kg |
|
|
|
||
Пусть ftkg разбиение [a; b]: Тогда f k = f 1(tk)g разбиение [ ; ] и согласно (??) r(tk) = ( k) )
~ |
~ |
~ |
~ |
|
||
l(ftkg) = l(f kg) ) jl(ftkg)j |
= jl(f kg)j j j 8ftkg ) |
j j j j. Аналогично доказывается, что |
||||
~ |
|
|
|
|
|
|
j j j j: I |
|
|
|
|
|
|
Теорема 10.1. Если кривая |
с параметризацией (??) непрерывно дифференцируема, то она |
|||||
спрямляема и |
|
|
|
|
|
|
|
j j = Z |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
('0)2(t) + ( |
0)2(t)dt: |
(10.7) |
|||
|
a |
p |
|
|
|
|
J1) Спрямляемость . Пусть ftkg разбиение [a; b]: Тогда поскольку функции ' è |
, задаю- |
|||||
щие параметризацию (??), удовлетворяют всем условиям Теоремы Лагранжа на каждом отрезке
[tk 1; tk], то существуют k; k 2 [tk 1; tk] такие, что '(tk) '(tk 1) = '0( k) tk; |
(tk) (tk 1) = |
||||||||||||
0( k) tk; k = 1; : : : ; n: Подставляя эти соотношения в формулу ( ??), будем иметь |
|
|
|||||||||||
|
jl(ftkg)j = |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.8) |
|
|
1 q('0( k))2 + ( 0( k))2 tk: |
|
|
|
|||||||||
|
|
X |
|
|
|
|
|
||||||
Функции '0; |
0 непрерывны на [a; b], следовательно, ограничены, значит, |
9 |
C |
> 0 : '0 |
(t) |
j |
|||||||
|
|
n |
|
j |
|
||||||||
C; j 0(t)j C |
8t 2 [a; b]: ) jl(ftkg)j Pp |
|
tk = Cp |
|
|
|
|
|
|||||
C2 + C2 |
2(b a): ) |
спрямляема. |
|
|
|||||||||
1