10.2.3Площадь криволинейного сектора

Пусть функция r(') непрерывна и неотрицательна на отрезке [ ; ] [0; 2 ]: Тогда вектор функция r(') = (r(') cos '; r(') sin ') непрерывна на [ ; ], поэтому служит параметризацией некоторой кривой .

Определение 10.14. Уравнение

называется уравнением кривой в полярной системе координат.

Определение 10.15. Криволинейным сектором F называется фигура, ограниченная кривой, заданной уравнением (??) и двумя лучами ' = ; ' = :

Теорема 10.3. Криволинейный сектор квадрируем и его площадь равна

сектор Pk è Qk квадрируем (см. Пример ??), поэтому фигуры P и Q, как объединение конечного числа квадрируемых фигур (см. п.3 Упр. ??), квадрируемы, причем

10.3Объем тела в пространстве

10.3.1Кубируемость

Определение 10.16. Телом называется любое ограниченное множество T в R3:

Определение 10.17. Пусть в пространстве зафиксирована прямоугольная система координат. Параллелепипедом будем называть множество вида = ab = f(x; y; z); a1 x b1; a2

y b2; a3 z b3g. Число m( ab) = (b1 a1)(b2 a2)(b3 a3) будем называть объемом параллелепипеда ab.

Определение 10.18. Тело P называется простым, если оно состоит из конечного числа параллелепипедов (возможно, вырожденных), не имеющих общих внутренних точек:

Упражнение 10.3. Доказать свойства 1 3.

Определение 10.19. Простое тело P называется вписанным в тело T , если P T и описанным около T , если T P:

Пусть T тело, P и Q соответственно вписанное в T и описанное около T простые тела. Тогда согласно свойству 2 m(P ) m(Q): Следовательно, множество объемов простых тел, вписанных в T (соответственно описанных около T ), ограничено сверху (соответственно снизу).

Определение 10.20. Числа

называются соответственно нижним и верхним объемом тела T .

Определение 10.21. Тело T называется кубируемым, если (T ) = (T ): При этом число(T ) = (T ) = (T ) называется объемом тела T:

Упражнение 10.4. Показать, что (T ) обладает теми же свойствами, что и m(P ) :

1.(T ) 0:

2.Åñëè T1 T2, òî (T1) (T2):

T S

3.Åñëè T1; T2 кубируемы, то их объединение кубируемо. Если T1 T2 = ?; òî (T1 T2) =

(T1) + (T2):

10.3.2Объем тела вращения

Пусть T тело, полученное вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции F = f(x; y) : x 2 [a; b]; 0 y f(x)g: В частном случае, когда f(x) = r = const > 0; тело вращения есть цилиндр с радиусом основания r и высотой h = b a. Обозначим его C.

JПусть K основание цилиндра круг радиуса r. Круг квадрируем (как объединение двух криволинейных трапеций), следовательно, для любого " > 0 существуют простые фигуры p; q такие, что p K q и 0 S(p) S(q) < "=h; где S(F ) означает площадь (по Жордану) плоской фигуры

F:

Пусть P è Q прямоугольные призмы с основаниями p è q и высоты h. Тогда P C Q è

m(Q), следовательно, j (C) r2hj < " ) (??): I

J1) Кубируемость. Пусть fxkg разбиение [a; b]; mk; Mk нижняя и верхняя грани f íà [xk 1; xk]: Для каждого отрезка [xk 1; xk] построим цилиндры Ck è ck с радиусами Mk è mk ñî-

nn

SS

отвeтственно и обозначим C = Ck; c = ck: Тогда

11

Тогда из соотношений (??) и (??) будем иметь m(Q) m(P ) = (m(Q) (C)) + ( (C) (c)) + ( (c) m(P )) < ": Таким образом, 8" > 0 9P; Q 2 M : P T Q и m(Q) m(P ) < ": Отсюда

(T ) (T ) ": ) (T ) (T ) = 0 ) T кубируемо.

R

a

Пример 10.4. Пусть T шар радиуса r.

p Так как шар есть тело вращения криволинейной трапеции F , соответствующей функции f(x) = r2 x2; x 2 [ r; r]; то по формуле (??)

r

Z

(t) = (r2 x2)dx = 43 r3:

r

10.3.3 Работа силы вдоль кривой

A) Натуральная параметризация кривой

Пусть некоторая плоская непрерывно дифференцируемая кривая с параметризацией ( ??). Обозначим через s(t) длину дуги кривой от ее начала до точки r(t): Тогда по Теореме ??

t

Z

p

s(t) = '02( ) + 02( )d :

a

Определение 10.22. Точка r(t0) кривой называется особой, если r0(t0) = 0: Непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек называется гладкой кривой.

Лемма 10.3. Если гладкая кривая, то для нее существует параметрическое представление= (s), где параметром s служит длина дуги кривой.

JПо условию не имеет особых точек, следовательно, s0(t) = p'02(t) + 02(t) > 0 на [a; b], значит, s(t) возрастает на [a; b], поэтому существует обратная функция t = t(s); которая возрастает и непрерывно дифференцируема на [0; j j]: Тогда вектор функция (s) = r(t(s)) является другой параметризацией кривой .I

Определение 10.23. Параметризация = (s) называется натуральной и параметр s называется натуральным параметром.

B) Работа

Пусть материальная точка M движется вдоль гладкой кривой : r = r(s). Далее пусть на точку M в положении r(s) действует сила F (s); направленная вдоль касательной к :

a