Глава 12. Неявные функции

55

x

@F

+ ! > 0

)

@y

@F

(x; y) +

y

f(x + x) f(x)

:

=

=

@x

x

x

@F

(x; y) + !

@y

1.

F (M0) = 0;

2.

@F

;

@F

; : : : ;

@F

непрерывны в O(M0); причем

@F

(M0) 6= 0:

@y

@x1

@xn

@y

б) f дифференцируема в 0

= f(x1; : : : ; xn) : jxi xi0j < i; i =

1; n

g è

@F

(x1; : : : ; xn; f(x1; : : : ; xn))

@f

(x1; : : : ; xn) =

@xi

:

(12.9)

@xi

@F

(x1; : : : ; xn; f(x1; : : : ; xn))

@y

руемую в некоторой окрестности точки (x0

; x0); ее производные вычисляются по формулам ( ??):

1

2

@f

2x3

@f

2x3

=

1

;

=

2

:

@x1

y

@x2

y

8

F1: (:x: :1:;:::::::;:x:m: :;:y:1:;:::::::;:y:n:): :=: :0;

(12.10)

<

Fn(x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn) = 0:

:

Глава 12. Неявные функции

56

Поставим вопрос: при каких условиях система ( ??) однозначно определяет n функций

y1 = f1(x1; : : : ; xm);

: : : : : : : : : : : : : : : : : :

(12.11)

yn = fn(x1; : : : ; xm);

и при каких условиях эти функции дифференцируемы?

Для упрощения записи введем обозначения: x = (x1; : : : ; xm);

y = (y1; : : : ; yn); через F(x; y)

íèÿ (??) è (??) запишутся в виде: F(x; y) = 0 è y = f(x): Далее пусть x0 = (x0

; : : : ; x0

); y0 =

(y0; : : : ; y0 ); M0 = (x0; y0); = ( ; : : : ;

1

x0

m

); = ( ; : : : ; ): Тогда запись

j

x

j

<

(èëè

1

0

n

0 1

m

1

n

0

jy y

j < ) будет означать jxi xi j < i; i = 1; m; (соответственно jyi yi j < i; i = 1; n:) Далее

положим

0

@f1

@f1

1

0

@F1

@F1

1

0

@F1

: : :

@F1

1

: : :

: : :

@x1

@xm

@x1

@xm

@y1

@yn

f0(x) = B

@f: : :n: : : : :@f: : :n:

C;

Fx0 (x; y) =

B

@F: : :n: : : : :@F: : :n:

C; Fy0

(x; y) = B

@F: : :n: : : : :

@F: : :n:

C:

B

: : :

C

B

: : :

C

B

: : :

C

@xm

@x1

@xm

@y1

@yn

B

@x1

C

B

C

B

C

@

A

@

A

@

A

Замечание 12.1. Матрица Fy0

(x; y) квадратная, следовательно,

Fy0 обратима тогда и только

тогда, когда det F0

= 0:

y

6

Величина det Fy0

называется якобианом функций F1; : : : ; Fn относительно переменных y1; : : : ; yn

и для него принято обозначение:

D(F1; : : : ; Fn)

:

D(y1; : : : ; yn)

Теорема 12.3. Пусть функции Fi(x; y); i =

1; n; определены в O(M0) è

1.

F(M0) = 0;

2. Частные производные

@Fi

@Fi

(i; k =

j =

) существуют и непрерывны в O(M0);

;

1; m;

1; n

@xj

@yk

3.

det F0 (M0) = 0:

y

6

Тогда существуют = f(x; y) 2 Rn+m :

jx x0j < ; jy y0j < g O(M0) и единственная

функция f(x) :

à) 8 (x; y) 2 F(x; y) = 0 , y = f(x);

б) функция f(x) дифференцируема на 0

=

fj

x

x0

j

<

g

;

E(f)

0

=

fj

y

y0

j

<

g

è

x

y

f0(x) = Fy0 (x; f(x)) 1 Fx0 (x; f(x)):

(12.12)

JДоказательство проведем индукцией по n.

n 1:

Ïðè n = 1 теорема совпадает с Теоремой ?? и потому верна. Пусть теорема верна при

Докажем, что она тогда справедлива и при n. Доказательство разобьем в несколько этапов.

1). Из условия 3 следует, что хотя бы один элемент последней строки матрицы

Fy0

(M0) отличен

от 0. Без ограничения общности можно считать, что этим элементом является

@Fn

(в противном

@yn

случае мы можем просто переобозначить переменные

y1; : : : ; yn). Из условия 2 по Теореме ?? îá

устойчивости знака непрерывной функции заключаем, что

@Fn

6= 0 в некоторой окрестности U

@yn

точки M0 (возможно, меньшей чем O(M0)).

Тогда применяя к соотношению

Fn(x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn) = 0

Теорему ??, найдем ~ = ~m+n 1

~1

U; ãäå ~m+n 1 =

f

(x

; : : : ; x ; y

; : : : ; y

n 1

) :

j

x

i

x0

<

~ ;

y

y

0

~

;

~1

= (y

0

~ ; y

0

~

1

; y

m 1

i j

j

i

i j

<

ig

n

n

+ ~ ); и функцию f(x ; : : : ; x

; : : : ; y

n 1

); дифференцируемую

íài

n

n

1

m

1

~m+n 1 è ñ E(f~) ~1; ÷òî

8

(x; y) 2

~

F(x; y) = 0

,

~

(12.13)

yn = f(x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn 1):

Глава 12. Неявные функции

57

8

F1(x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn 1; f~(x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn 1)) = 0;

>

1(x1; : : : ; xm; y1

; : : : ; yn 1)

(12.14)

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

>

>

>

n 1

(x ; : : : ; x ; y

; : : : ; y

n 1

)

<

1

m

1

>

Fn 1(x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn 1; f~(x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn 1)) = 0:

>

2). Покажем,

>

1

; : : : ; n

1 удовлетворяют всем условиям теоремы.

>

:

что функции

@ i

@Fi

@Fi

@f~

=

+

;

i; j = 1; n 1:

(12.15)

@yj

@yj

@yn

@yj

Далее, поскольку Fi(M

0

~

0

0

0

; : : : ; y

0

0

0

; y

0

; : : : ; y

0

) = 0:

) = 0 è f(x

; : : : ; x ; y

1

n 1

) = 0; òî i(x

; : : : ; x

1

n 1

Осталось проверить условие 3.

1

m

1

m

Положим

n(x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn 1) Fn(x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn 1; f~(x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn 1)):

Согласно (??) n 0 íà ~m+n 1; следовательно,

@ n

@Fn

@Fn @f~

0; j = 1; n 1:

=

+

(12.16)

@yj

@yj

@yn

@yj

0

@f~

@F1 @f~

1

0

@ 1

: : :

@ 1

@F1

1

@F1

+

@F1

; : : : ;

@F1

+

;

@F1

@y1

@yn 1

@yn

= B

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

C

@y1

@yn @y1

@yn 1

@yn @yn 1

@yn

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

@ n

1

@ n

1

@Fn

1

:

B

@F

n

@F

n

@f~

@F

@F

@f~

@F

C

B

: : :

C

B

n

n

n

C

B

@y1

@yn 1

@yn

C

B

+

; : : : ;

+

;

C

B

@Fn

C

B

@yj

@yn @yi

@yn

1

@yn

@yn 1

@yn

C

B

0 : : : : : : 0

C

@yn

@

A

B

C

B

C

@

A

@Fn

Отсюда, в силу соотношения

(M0) 6= 0 (п. 1) и условия 3, заключаем, что якобиан

@yn

@ 1

: : :

@ 1

D( 1

; : : : ; n

1)

@y1

@yn 1

D(y1

; : : : ; yn

=

: : : : : : : : : : : : : : : : : :

1)

@ n

1

@ n

1

: : :

@yn

@y1

1

отличен от 0 в точке M

0

окрестность V (M

0

)

. Далее, снова применяя Теорему

??, найдем некоторую

точки

M

0, в пределах которой

D( 1; : : : ; n 1)

6= 0:

D(y1; : : : ; yn 1)

Таким образом, система (??) удовлетворяет условиям 1 3 теоремы, так что по предположению

индукции найдутся m+n 1 = f(x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn 1) :

jxi xi0j <

i; jyi yi0j

< i; g; ãäå

i ~i i ~i; и такая вектор-функция f(x) = (f1(x); : : : ; fn 1(x)), дифференцируемая на x0 =

f

(x ; : : : ; x ) :

x

x0

<

, c областью значений в n 1 =

f

(y

; : : : ; y

) :

j

y

i

y0

< ;

g

, ÷òî

1

m

j i

i j

ig

y

1

n 1

i j

i

y = f(x); x 2 x0 :

(12.17)

(??), получаем функциональную зависимость

yn = fn(x); x 2 x0 ;

(12.18)

1По условию теоремы Fi имеют непрерывные в O(M0) частные производные, следовательно, по Теореме

äèô-

ференцируемы