2003_-_Gmurman__TV_i_MS

суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным зна­

чением У; вероятности возможных значений Х +У для независнмых величин Х и У равны произведениям вероятностей слагаемых; для

зависимых величин - произведениям вероятности одного слагаемого

на условную вероятность второго.

Заметим, что H~KOTopыe суммы х+у могут оказаться равными между ссбоЙ. В этом случае вероятность возможного значения суммы

равна сумме соответствующих вероятностей. Например. если Х1 +У:! = = Ха +Уь и вероятности этих возможных значений соответственно

Следующее ниже свойство справедливо как для неза­

висимых, так и для зависимых случайных величин.

С в о й с т в о 4. Ма11U!матическое ожидание суммы двух

случайных величин равно сумме математических ожиданий

слагаемых:

м (Х +У) = М (Х) +м (У).

д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть случайные величины

Х и У заданы следующими законами распределения *):

Составим все возможные значения величины Х +У.

ДЛЯ этого к каждому возможному значению Х прибавим

возможные значения различны (если это не так, то дока­

зательство проводится аналогично), и обозначим их ве­

роятности соответственно через Pll' Р12' Раl И Р22'

Математическое ожидание величины Х + У равно сумме

произведений возможных значений на их вероятности:

м(Х +У) = (x1 +Yl) РН + (x1 +У'I.) Р12 + (Х'I. +Уl) Р21 +

+(Х'I. + У2) Р'l.2'

*) Чтобы упростить вывод, мы ограничились лишь двумя возмож­

Ными значениями каждой из величнн. В общем случае доказатель­

ство аналогичное.

Докажем, что Рll +Р1I= P1 • Событие, состоящее в том,

что Х примет значение х. (вероятность этого события

равна Рl)' влечет за собой событие, которое состоит в том,

что Х -!- У примет значение X1 -!- Уl или Х1 -!- У, (вероятность этого события по теореме сложения равна Рll -!- Р12)' и обратно. Отсюда и следует, что Рll -!- Ра = Рl' Аналогично

доказываются равенства

Р21 -!- Раа = Р2' Рll -!- Р21 = gl И Ра + Р22 = g2'

Подставляя правые части этих равенств в соотноше­

ние (*), получим

м (Х -!- У) = (Х1Рl -!- Х2Ра) -!- (Ylgl -!- y.ga)'

или окончательно

м (Х -!- У) = М (Х)-!-М (У).

Следствие. Математическое ожидание суммы

нескольких случайных величин равно сумме .математичес­

ких ожиданий слагаемых.

Например, для трех слагаемых величин имеем

М(Х -!- У -!-Z)=M [(Х -!-Y>-!-Z] =

=М (Х -!- У) -!- М (Z) = м (Х) -!- М (У) -1- М (Z).

Для произвольного числа слагаемых величин доказа-

u

тельство проводится методом математическои индукции.

Пример 2. Производится 3 выстрела с вероятностями попадания

q= 1-0,4=0,6.

Математическое ожидание числа попаданий при первом выстреле равно вероятности попадания (см. § 2, пример 2), т. е. М (Х1) = 0,4.

Аналогнчно найдем математические ожидания числа попаданий прн

втором и третьем выстрелах: М (Х2) =0,3, М (Хз) =0,6.

Общее число попаданнй есть также случайная величина, состоя­

щая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов:

Х=Х1 +Х2+ХЭ•

82

ром и т. д. Так как математическое ожидание числа появ­

лениА события в одном испытании равно вероятности

события (см. § 2, пример 2), тоМ (Х1)=М (Xz)=M (Хn)=р.

Подставляя в правую часть равенства (*) вместо каждого

слагаемого р, получим

М (Х) = ПР. (**)

3 а м е ч а н и е. Так как величина Х распределена по биноми­

альному закону, то доказанную теорему можно сформулировать

и так: математическое ожидание биномиального распределения с па­

раметрами пир равно произведению пр.

Пример. Вероятность попадания в цель при стрельбе нз орудия

р-=О,б. Найти математическое ожидание общего числа попаданий,

если будет произведено 10 выстре.10В.

Реш е н и е. Попадание при каждом выстреле не зависит от ис­ ходов других выстрелов, поэтому рассма1 риваеlYlblе события незави­

симы и, следовательно, искомое математическое ожидание

М(Х)=nр=10·0,6=6 (попадаНIIЙ).

Задачи

J. Найти математическое ожндание дискретной случайной

величины, зная закон ее распределения:

Отв. 2,6.

2. Производится 4 выстрела с вероятностью попадания в цель

Рl=О,6, pz=O,4, Ра=О,5 и Р4=О,7. Найти математическое ожидание o~eгo числа попаданнЙ.

Отв. 2,2 попадания.

З. дискретные независнмые случайные величины заданы законами

распределения:

Найти математическое ожндание произведения ХУ двумя способами:

а) составив закон распределения ХУ; б) пользуясь свойством 3.

Omв. 1,53.

4. Дискретные случайные величины Х и У зада.иы законами

5. Вероятность отказа детали за время ИСпытання на надежность равна 0,2. Найти математическое ожидание числа отказавших деталей, еслн испытанию будут подвергнуты 10 деталей.

Omв. 2 детали.

6. Найти математическое ожидание ПРОИ9ведения числа очков,

которые могут выпасть при одном бросании двух нгральных костей.

Отв. 12,25 очка.

84

7. Найти математическое ожидание числа лотереАных билетов,

на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по одному билету равиа 0,3.

ото. 6 билетов.

Глава восьмая

ДИСПЕРСИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ

ВЕЛИЧИНЫ

§ 1. Целесообразность введени я числовой

u u

характеристики рассеяния случаи нои величины

Легко указать такие случайные величины, кото­

рые имеют одинаковые математические ожидания, но раз­

личные возможные значения. Рассмотрим, например, дискретные случайные величины Х и У, заданные сле­

дующими законами распределения:

М(Х)=-О,ОI.0,5+0,ОI·0,5=О,

М (У) = -100·0,5+ 100·0,5=0.

Здесь математические ожидания обеих величин одинаковы,

а возможные значения различны, причем Х имеет воз­

можные значения, близкие к математическому ожиданию,

а У-далекие от своего математического ожидания. Таким

образом, зная ЛИшь математическое ожидание случайной

величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные

значения она может принимать, ни о том, как они рас­

сеяны вокруг математического ожидания. Другими сло­

вами, математическое ожидание полностью случайную

величину не характеризует.

По этой причине наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Так, например,

для того чтобы оценить, как рассеяны возможные зна­

чения случайной величины вокруг ее математического

ожидания, пользуются, в частности, числовой характе­

ристикой, которую называют дисперсией.

Прежде чем перейти к определению и свойствам дис­

персии, введем понятие отклонения случайной величины

от ее математического ожидания.

85

§ 2. ОТlUlOнение случайной величины

от ее математического ОЖ:ИАания

Пусть Х -случайная величина и М (Х)-ее ма­

тематическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой

случайной величины разность Х-М (Х).

Отк.лоненueм называют разность между случайной ве­

лнчииой и ее математическим ожиданиям.

Пусть закон распределения Х известен:

Х Х1 XjI'•• Хn

рРl р, • .. Рn

Напишем закон распределения отклонения. Для того

чтобы отклонение приняло значение х1-М (Х), доста­

точно, чтобы случайная величина приняла значение Х1•

Вероятность же зтого события равна Рl; следовательно,

и вероятность того, что отклонение примет значение

х1-М (Х), также равна Рl' Аналогично обстоит дело

и для остальных возможных значений отклонения. Таким образом, отклонение имеет следующий закон

распределения:

Приведем важное свойство отклонения, которое исполь­

зуется далее.

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно

нулю:

М[Х-М(Х)]=О.

д о к а з а т е л ь с т в о. Пользуясь свойствами матема­

тического ожидания (математическое ожидание разности

равно разности математических ожиданий, математическое

ожидание постоянной равно самой постоянной) и приняв

во внимание, что М (Х) - постоянная величина, имеем

М [Х-М (Х)]= М (Х) -М [М (Х)] = М (Х)-М (Х) = О.

Пример. Задан закон распределения дискретной случайной вели­

чины Х:

Убедиться, что математическое ожидание отклонения равно нулю.

Реш е н и е. Найдем математическое ожидание Х:

м (Х) = 1·0,2+ 2.0,8 = 1,8.

86

Найдем возможные значеиия отклонения, ДJlя чего из возможных

значений Х вычтем математическое ожидание М (Х): 1- 1,8 = - 0,8;

2-1,8=0,2.

Напишем закон распределення отклонения:

Найдем математическое ожидание отклонения:

М [Х-М (Х)]=(-О,8)·О,2+0,2·0,8=О.

Итак, математнческое ожидание отклонения равно нулю, как и

матическим ожиданием:

Х=Х-М (Х).

Название «центрированная величина» связано с тем, что математиче­ ское ожидание есть Ц е н т р распределения (см. гл. VII, § 3, замечание).

возможных значении случаинои величины вокруг ее сред·

него значения. Например, в артиллерии важно знать,

насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая

должна быть поражена.

На первый взгляд может показаться, что для оценки

рассеяния проще всего вычислить все возможные значения

отклонения случайной величины и затем найти их сред­ нее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как

среднее значение отклонения, т. е. М [Х -М (Х)], дЛЯ любой случайной величины равно нулю. Это свойство

уже было доказано в предыдущем IIараграфе и объясняется

тем, что одни возможные отклонения положительны, а

другие-отрицательны; в результате их взаимного пога­

шения среднее значение отклонения равно нулю. Эти со­

ображения говорят о целесообразности заменить возмож­

ные отклонения их абсолютными значениями или их

квадратами. Так и поступают на деле. Правда, в случае,

Когда возможные отклонения заменяют их абсолютными

значениями, приходится оперировать с аБСОЛЮТНbIМИ ве­

личинами, что приводит иногда к серьезным затруднениям.

Поэтому чаще всего идут по другому пути, т. е. вычисляют

среднее значение квадрата отклонения, которое и назы­

вают дисперсией.

87

дисперсией (рассеянием) дискретной случайной вели­

чины называют математическое ожидание квадрата откло­

нения случайной величиныоТ ее математического ожидания:

D(X)=M [Х-М (Х)]',

Пусть случайная величина задана законом распреде­

ления

Ха ••• ХN

Р, , •. Рn

Тогда квадрат отклонения имеет следующий закон рас­

пределения:

[Х -М (Х)]! [x1-M (Х)]' [х,-М (Х)]2 ... [хn-м (ХН'

D (Х) = м [Х-М (Х)]2 =

=[х1-М (Х)]2 Pl + [хэ-М (Х)]' Рэ + ... + [хn-М (X)]lpn.

Таким образом, для того чтобы найти дисперсию, до­

статочно вычислить сумму произведений возможных зна­ чений квадрата отклонения на их вероятности.

величины также есть постоянная величина.

Пример. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана

следующим законом распределения:

Реш е н и е. Найдем математическое ожидание:

М (Х)= }·0,3+2·0,5+5.0,2=2,3.

Найдем все возможные значения квадрата отклонения:

[ХI-М (X)]2=(1_2,3)2= 1,69; [X'I.-M (X)J2 =(2- 2,3)2 = 0,09;

[ха-М (Х)]2=(5-2,3)2=7,29.

Напишем закон распределения квадрата отклонення:

По определению,

D (Х) = \,69·0,3+ 0,09·0,5+ 7 ,29·0,2 = 2,01.

Вычисление, основанное на определении дисперсии, оказа.'IOСЬ

ОТносительно громоздким. Далее будет указана формула, которая приводит к цели значительно быстрее.

88

§ 4. Формула для ВЫЧИCJIени я дисперсии

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно

пользоваться следующей теоремой.

Теорема. дисперсия равна разности между математи­

ческим ожиданием квадрата случайной величины Х и

квадратом ее математического ожидания:

D (Х) = м (Х2)-[М (Х)]2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Математическое ожидание М (Х) есть постоянная величина, следовательно, 2М (Х) и М· (Х)

есть также постоянные величины. Приняв это во внима­

ние и пользуясь свойствами математического ожидания

(постоянный множитель можно вынести за знак матема­

тического ожидания, математическое ожидание суммы

равно сумме математических ожиданий слагаемых), упро­

стим формулу, выражающую определение дисперсии:

D(X)=M [Х-М (Х)]2=М [Х'....,..2ХМ (Х)+М2 (Х)]=

=м (Х2)-2М (Х) М (Х)+М2(Х)=

=М (Х2)-2М2 (Х) +.М2 (Х. ) = М (х!)-ма (Х).

Итак,

D (Х) = м (Х2)-[М (Х)]2.

Квадратная скобка введена в запись формулы для удоб­

ства ее запоминания.

Пример 1. Найти дисперсию случайной величины Х, которая

задана следующим законом распределения:

Реш е н н е. Найдем математнческое ожидание М (Х):

М (Х)=2·0,1+3·0,6+5·0,3=3,5.

Напишем закон расп редеnення случайной величины Х2;

Р0,1 0,6 0,3

Найдем матемаТические ожидания М (Х2):

М (Х2) = 4·0, 1+9·0,6 +25·0,3= 13,3.

Искомая дисперсия

D (Х) = м (Ю)-[М (Х)]2= 13,3-(3,5)2= 1,05.

3 а м е ч а н и е. Казалось бы, если Х и У имеют одинаковые воз­

Можные значения и одно и то же матемаТНЧеское ожидание, то и

дисперсин ~их величин равны (ведь возможные значеиия обеих ве·

89

личин одинаково рассеяны вокруг своих математических ожидаНИЙI).

Однако в общем случае это не так. Дело в том, что одинаковые воз­ можные ЗНачения рассматриваемых величин имеют, вообще говоря,

различные вероятности, а величина дисперсии оnред'!лмmся нд только

самими возможными значениями, но и ихверояmносmями. Например,

если вероятностн «далеких» от математического ожидания возможных

ЗНачений Х больше, чем вероятности этих же ЗНачений У, Н вероят­ ности «блИЗКИХ» знаЧений Х меньше, чем вероятности теХ же значе­

ний У, то, очевидно, дисперсия Х больше дисперсии У.

Приведем иллюстрирующий прнмер.

Пример 2. Сравнить дисперсии случайных величин, заДанных

законами распределения:

Реш е н и е. Легко убедиться, что

м (Х)= м (У) =0,97; D (Х):.. 3,69, D (У):.. 1,21.

результат можно было предвидеть без вычислений, глядя лишь на

законы распределеннЙ.

§ 5. СвоАства дисперсии

D (С) = М ПС-М (С»)а}.

Пользуясь первым свойством математического ожида­

ния (математическое ожидание постоянной равно самой постоянной), получим

D (С) = М [(С-С)!] = М (О) = О.

Итак,

D(C)=O.

Свойство стаНОВИ1СЯ ясным, если учесть, что постоян­

ная величина сохраняет ОДllO и то же значение и рассея­

ния, конечно, не имеет.

С в о й с т в о 2. nостоянн-ыu .множитель .можно выно­

сить за зnaк дисперсии, возводя его в квадрат:

D (СХ) = C2D (Х).

90