2003_-_Gmurman__TV_i_MS

§ 4. Метод произведений для вычисления

выборочных средней и дисперсии

Метод произведений дает удобный способ вычис­

ления условных моментов различных порядков вариаци­

онного ряда с равноотстоящими вариантами. Зная же

u

условные моменты, нетрудно наити интересующие нас

начальные и центральные эмпирические моменты. В част­

ности, методом произведений удобно вычислять выбороч­ ную среднюю и выборочную дисперсию. Целесообразно

пользоваться расчетной таблицей, которая составляется

так:

1) в первый столбец таблицы записывают выборочные (первоначальные) варианты, располагая их в возрастаю­

щем порядке;

2) во второй столбец записывают частоты вариант;

складывают все частоты и их сумму (объем выборки n) помещают в нижнюю клетку столбца;

3) в третий столбец записывают условные варианты

и; = (xj-C)jh, причем в качестве ложиого нуля С выби­

рают варианту, которая расположеиа примерно в сере­

дине вариационного ряда, и полагают h равным разности

между любыми двумя соседними вариантами; практически же третий столбец заполняется так: в клетке строки,

внижнюю клетку столбца;

5)умншиают частоты на квадраты условных вариант

изаписывают их произведения njU~ в пятый стол~ец;

сложив все полученные числа, их сумму ~ nju1 поме­

щают в нижнюю клетку столбца;

6) умножают частоты на квадраты условных вариант,

увеличенных каждая на единицу, и записывают произве­

дения n; (и; + 1)2 В шестой контрольный столбец; сложив

все полученные числа, их сумму ~ nj (и;+ 1)2 помещают

в нижнюю клетку столбца.

hpави.llЬНО.

После того как расчетная таблица заполнена и про­ верена правильность вычислений, вычисляют условные

моменты:

M~ = (~n,uj)/n, м; = (~niuшn.

Наконец, вычисляют выборочные среднюю и диспер­

СИЮ по формулам (*) и (****) § 3:

х. = Mih+C. D. = [M;-(M~)I] h'.

Пример. Найти методом пронзведений выборочные среднюю и

дисперсию следующего СТатистического гаспределеиня:

-1, -2, -3, -4, а под иулем - 1, 2, 3, 4, 5;

4) произведения частот иа условиые варианты заПИсываем в чет­

вертый столбец; отдельно иаходим сумму (-46) отрицаТj>ЛЬНЫХ и от­

Дельно сумму (103) положительных чисел; сложив этн числа, их

сумму (57) помещаем в иижнюю клетку столбца;

I( о и т р о л ь: ~ nju~+2~ njUi+n=383+2·57 + 100= 597.

~ n( (щ+ 1)' =597.

Вычисления произведеИl~ правильио.

242

Вычислим условные моменты первого и второго порядков:

M~ = (~щи;)/n= 57/100 = 0,57;

м: = (~niu~)/n = 383/Н)()= 3,83.

Найдем шаг: h = 10,4-10,2 = 0,2.

Вычислим искомые.выборочиые среднюю и дисперсию:

- +

ХВ = M1h+C = 0,57 ·0,2 11,0 = 11,1;

DB =[M;_(M~)2] h2 = (3,83-(0,57)2] ·0,22 = 0,14.

§5. Сведение первоиачальиых вариант

кравиоотстояlЦИМ

Выше изложена методика расчета выборочных

характеристик для равноотстоящих вариант. На прак­ тике, как правило, данные наблюдений не являются рав-

Рекомендуем читателю убедиться, что выборочные средине и дис­

персии, вычисленные по первоначальным и равноотстоящим вариан­ там, окажутся соответственно РdВНЫМИ.

Хв = 1,250, Ув= 1.246; Dж =О,О18; DII =O,OI7.

Как видим, замена первоначальных вариант равноотстоящими не при­

вела к существенным ошибкам; прн этом объем вычислительноА

работы значительно уменьшается.

§ 6. Эмпирические и выравнивающие

(теоретические) частоты

А. Дискретное распределение. Рассмотрим дис­

кретную случайную величину Х, закон распределения

которой неизвестен. Пусть r1'pоизведено n испытаний, в которых величина Х приняла n1 раз значение X~ n2 раз

значение Х2, ••• , nlt раз значение XIt, причем ~ n. = n.

Эмпирическими частоm,ами называют фактически на­

блюдаемые частоты n •.

Пусть имеются основания предположить, что изуча­

емая величина Х распределена по некоторому определен­

ному закону. Чтобы яроверить, согласуется ли это пред;

положение с данными наблюдений, вычисляют частоты наблюдаемых значений, т. е. н а х од я т те орет и ч е с к и частоту n; каждого из наблюдаемых значений в предпо­

ложении, что величина Х распределена по предполагае­

мому закону.

Выравнивающими (теоретическими) в отличие от фак­

тически наблюдаемых эмпирических частот называют

частоты ni. найденные теоретически (вычислением). Вы-

245

равнивающие частоты находят с помощью равенства

n; =nР/.

где n-число испытаний; Р(-вероятность наблюдаемого

значения Xl. вычисленная при допущении, что Х имеет

предполагаемое распределение.

Итак, выравнивающая частота наблюдаемого значения Х, дискретного распределения РШJна nроиэведению числа ucnьuпaHий на вероятность этого наблюдаемого значения.

Пример. В результате зксперимеита, состоящего из n=520 испы­

таиий, в каждом из КОО'ОрЫХ perнстрировалось число Х/ ПОЯlI.IJеииЙ некоторого события, получено следующее эмпирическое распределенне:

величина Х (генеральиая совокупность) распределена по закону

Пуассона.

Реш е и и е. Известно, <rro параметр А., кморым определяетси

распределеиие Пуассоиа, равен математическому ожиданию ЭТОГО

распределения. Поскольку в Ka'leCТ8e оцеики математического ожи­ даиия принимают выборочиую среднюю (см. гл. XVI, § 5), то и в

качестве оцеики А. можио прииять выборочиую среднюю ХВ. Легко иайти по условию, что выборочиая среднJUI равна 1,5, следовательно,

можно принять А.= 1,5.

Таким образом, формула Пуассоиа

Р,. (k)=(л"е-~)/kl

принимает вид

РiIQ (k)= (1 ,5" .e-l·~)/kl

Пonьзуись зтой формулой, наЙдем вероятности Р"20 (k) при k=O, 1,

Найдем выравнивающие чаСТОТЫ (результаты умножения округ­ oIIеиы до едииицы):

n~= пР (О) =520·0,22313= 116, n; = пР (1) = 520· 0,33469 = 174.

Аналогично наХОJl.ЯТ и остальиые выравнивающие чаcтarы. В ито­

ге ПOollучим:

Сравнительно небольшое ра<:хождеиие змпирических и выравни­

вающих частот подтверждает предпonожение. что рассматриваемое

распределение подчинено закоиу nуассоиа.

Заметим, что если ПОДСЧИТать выборочную дисперсию по данному распределеиию, то окажется, что она равна выборочной средней,

т. е. 1,5. Эго служит еще одним подтверждеиием сделанного предпо­

ложения. поскольку дпя распределения Пуассоиа А.= М (Х) = D (Х).

i46

Сравиеиии 9мпирических и теоретических чаcroт «на глаз), ко­

нию задач по теорни вероятностей и математнческой СТатистике.

М., «Высшая школа», 1972 (см. гл. XIII, § 17).

Б. Непрерывное распреде.ление. В случае непрерывного

распределения, вероятности отдельных возможных значе­

ний равны нулю (см. гл, Х, § 2, следствие 2). Поэтому весь интервал возможных значений делят на k непересе­

кающихся интервалов и вычисляют вероятности Рj попа­

дания Х в i-й частичный интервал, а затем, как и для дискретного распределения, умножают число испытаниА

n; = nР{.

где n-число испытаний; Р,-вероятность попадания Х

в l-й частичный интервал, вычисленная при допущении. что Х имеет предполагаемое распределение.

В частности. если имеются основания предположить,

что случайная величина Х (генеральная совокупность)

распределена н о р м а л ь н о, то выравнивающие частоты

могут быть найдены по формуле

n; = nh <р (Uj),

ав

где n-число испытаний (объем выборки), h-длина час­

тичного интервала, О'в-выборочное среднее квадрати-

ческое отклонение, u,=(Xj-Хв)!О'в (х,-середина i-ro

частичного интервала),

<р (и) = 1 е- и·/9

Y2ii. .

Пример иа применение формулы (*) приведен в § 7.

П о я с н е н и е. Поясним происхождение формулы (*). Напишем плотность общего нормального распределения:

2-47

При а = О и а = 1 получим плотность нормированного

распределения:

или, изменив обозначение аргумента,

(j) (и) = у1_ е- ul/<j.

Сравнивая (**) и (***) , заключаем, что

f (х) = ~ (j) (и).

а

Если математическое ожидание а и среднее квадрати­

ческое отклонение а неизвестны, то в качестве оценок

9ТИХ параметров принимают соответственно выборочную

среднюю хв И выборочное среднее квадратическое откло­

где U = (х-хв)!ав.

Пусть х{-середина i-ro интервала (на которые раз­ бита совокупность всех наблюдаемых значений нормально

распределенной случайной величины Х) длиной h. Тогда

вероятность попадания Х в этот интервал приближенно

равна произведению длины интервала на значение плот­

ности распределения '(х) в любой точке интервала и, в

частности, при х = х{ (см. гл. XI, § 5):

P 1=hf (XI) =h 'Iо (j) (Ui)'

в

Следовательно, выравнивакхцая частота

n;=nР/= nh (j)(ttj),

ав

где Ul = (xj-х.)!ав' Мы получили формулу (*).

248

§ 7. Построение нормальной кривой

по опытным данным

Один из способов построения нормальной кривой

по данным наблюдений состоит в следующем:

1) находят Хв и О'в' например. по методу произведений;

2) находят ординаты У; (выравнивающие частоты)

теоретической кривой по формуле у,= nh • <Р(Ui)' где п-

ав

сумма наблюдаемых частот) h - разность между двумя

соседними вариантами: и; = (Xj-XB)/O'B И <Р (и) =

=(1/V 2n) е-иl/2 ;

3)строят точки (Х,. У,) в прямоугольной системе ко­ ординат и соединяют их плавной кривой.

Близость выравнивающих частот к наблюдаемым под­

тверждает правильность допущения о том. что обследуе­

мый признак распределен нормально.

Пример. Построить нормальную кривую по данному распределе­

иию:

Реш е н и е. Польэуясь методом произведений (см. § 4), найдем

.%в=34,7,ов=7,38.

Вычислим выравнивающие частоты (табл. 9).

249

На рис. 22 построены нормальная (теоретическая)

кривая по выравнивающим частотам (они отмечены круж­

ками) и полигон наблюдаемых частот (они отмечены

§ 8. Оценка отклонения змпнрнческого

распреде.rreния от нормального.

Асимметрия и ексцесс

Для оценки отклонения эмпирического распре­

деления от нормального используют различные характе­

ристики, к числу которых относятся асимметрия и эксцесс.

Смысл этих характеристик аналогнчен смыслу асимметрии

и эксцесса теоретического распределения (см. гл. ХН, §9).

Аси'мметрия Э'мnирического распределения определяется

равенством

а" = та/а:,

где тв-центральный эмпирический момент третьего порядка (см. § 2).

Эксцесс Э'мnирического распределения определяется ра­

венством

е. = т~a~-3,

где т.-центральныЙ эмпирический момент четвертого

порядка.

Моменты т. и т. удобно вычислять методом произ­

ведений (см. § 4). используя формулы (***) § 3.

250