2003_-_Gmurman__TV_i_MS

с в о й с т в о 4. а) При y:::z ею функция распределения

системы становится функцией распределения составляю­

щей Х:

F (х, ею) = Р1(х).

б) При х = ею функция распределения систе.мы стано­ вится функцией распределения составляющей У:

F (ею, у) = Р1 (у).

Д О К а 3 а т е л ь с Т В о. а) Так как событие У< ею досто­

верно, то F (х, ею) определяет вероятность события Х < х,

т. е. представляет собой функцию распределения состав­

ляющей Х.

б) Доказывается аналогично.

§5. Вероятность попадания случайной точки

вПОJlУПОJlОСУ

Используя функцию распределения системы слу­ чайных величин Х и У, легко найти вероятность того,

Р (х. ~ Х < Х2' У < у) =

=Р(х2, у)-Р(х., у).

Аналогично имеем

Р(Х <х, Yl~Y<Y2)=

точки в полуполосу равна приращению функции распре­

деления по одному из аргументов.

§6. Вероятность попадания случаАиоА точ&и

вПРЯМОУГO.llьиик

Рассмотрим ПРЯМОУГOJlьник ABCD со сторонами.

пара.ллельными координатным осям (рис. 15). Пусть урав­

нения сторон тахоаы:

(п/2) sin (п/3) - sin (п/6) sin (п/З)] - [sin (п/2) sin (п/4)-

-siп (п/6) sin (п/4)] =[ УЗ/2- УЗ/4]-[ У2/2- У'2/4]=

=( уз- У'2)/4=0,О8.

[62

§ 7. Пяотн~rь COBмecTHoro распределения вер.оЯТIЮСтei непрерывкоА двумерной с.лучаАноЙ веяичины (двумерная пяотность веРОЯlfносrи)

Двумерная случайная величнна зздавалась с помощью функции распределения. Непрерывную двумерную

величину можно также задать, пользуясь плотностью

распределения. Здесь и далее будем предполагать, что функция распределения F (х, у) всюду непрерывна и имеет

всюду (за исключением, быть может, конечного числа кривых) непрерывную частную производную второго

порядка.

Плотностью сов.м.сстного распределения вероятностей f (х, у) двумерной непрерывной случайной величины (Х, У)

называют вторую смешанную частную производную от

функции распределения:

f (х у) _a'l.F(x, у)

,- дхду •

Геометрически эту функцию можно истолковать как по­

верхность, которую называют поверхностью распределения.

Пример. Найти плотность совместного распределения f (х, 11)

системы случайных величин (Х, У) по известиой функции распреде­

.nеиия

F (х, у) = sin х sin у (О < х";;;; n/2. О < y.s:;;; n/2).

Реш е н и е. По определению плотности совместиого распределеиия,

a2F

{(Х. У)=дхду'

Найдем частную производиую по Х от функции распределения:

дР .

дх =соsхslПУ.

Найдем от полученного результата частную производную по У.

8 итоге получим искомую плотиость совместиого распределеиия:

a1p

f (х. у) = дх ду= соз х соз у (О.с;;х ..;;;; n/2. О...:11 < n/2).

§ 8. Нахождение функции распределения системы

по известной пяотности распредеяения

Зная плотность совместного распределения f (х, у)'

Можно найти функцию распределения F (х, у) по формуле

у%

F (х, у) = S S f (х, у)dx dy,

что непосредственно следует из определения плотности

распределения двумерной непрерывной случайной вели­

чины (Х. У).

Пример. Найти функцию распределения двумерной случайноii вenичины по данной плотности совместного распределения

1

! (К. у) = nl (1 +xll) (1 +уl)'

Ре w е и и е. Воспользуемся формулой

=:;t I (arQtgx dy= arctg +

I 5 ~yl +i) (~ х+{) ~ S dg

n -00 1 у!!

==(~arctgK++) (~ arctgy+t).

§ 9. Вероятностный смысл двумерной плотности

вероятности

Обозначив для краткости левую часть равенства через рАВСО и применив к правой части теорему Лагранжа,

'64

Итак, Функuию f (х, у) можно рассматривать как пре­ дел отношения вероятности попадан"я СJIучайной точки

в прямоугольник (со сторонами Ах и Ау) к площади этого

пр~моугольника, когда обе стороны прямоугольника стре­

мятся к нулю.

Перепишем .соотношение (**) § 9 так: f (6, '1)Ах Ау = РАВСО'

нии случайной точки в эту область, так: (Х, Y)cD.

Разобьем область D на n элементарных областей пря­

мыми, параллельными оси Оу, находящимися на расстоя­

нии Ах одна от другой, и прямыми, параллельными оси Ох,

находящимися на расстоянии Ау одна от другой (рис. 17)

,для простоты предполагается, что эти прямые пересекают

контур области не более чем в двух точках). Так как

J65

события, СОСТОЯlЦие в попадании случайной точки в эле­ ментарные области, несовместны, ТО вероятность попада­

ния в область D приближенно (сумма элементарных об­ лас'tей приближенно равна области DI) равна сумме

вероятностей попаданий точки в элементарные области:

вают SAe.ltteHtnO.Itt вероятности. Как следует нз предыдущего, элемент

вероятности определяет вероятность попадания случайиой точки в э.nе­

ментарный прямоугольник со стороиами dx и dy.

Пример. ПЛотность распределеиия двумериой случайной величины

1

f (х, у)= п2 (1 +%2)( 1+yl!)'

о

166

§ 11. Свойства двумерной плотности вероятности

неотриuательное число; площадь этого прямоугольника -

положительное число. Следовательно, отношение этих двух

чисел, а значит, и их предел (при Ах-О и Ау-О), который равен f (х, у) (см. § 9), есть неотрицательное

число, т. е.

'(х, y)~O.

Заметим, что свойство непосредственно следует из того, что F (х, у)-неубывающая функция своих аргументов

(§ 4).

С в о й с т в о 2. двойной несобстеенный интеграл с бес­ конечными пределами от двумерной плотности равен

единице:

д о к а 3 а т е л ь с Т В о. Бесконечные пределы интегри­

рования указывают, что областью интегрирования служит

вся плоскость хОу; поскольку событие, состоящее в том,

что" случайная точка попадет при испытании на плоскость

хОу, достоверно, то вероятность этого события (она и

определяется двойным несобственным интегралом от дву­

мерной плотности) равна единице, т. е.

ею ею

~ ~ f (х, у) dxdy= 1.

-CIC -со

Пример. Задана плотность совместного распределення непрерыв­

иой двумерной случайной величины (Х, У): f (х, у) =С cos х cos у в квадрате О<;х,,;;;:п/2, О,,;;;:у<;;п/2; вие этого квадрата '(х, у)=О. Найти постоянный параметр С.

Реш е и и е. Воспользуемся своАством 2, учитывая, что " и у

изменяются от О до п/2:

167

Orсюда

C=I/(j' созх"12 cos ydg )-

Выполиив интегрирование, получим искомое значеиие парамет·

ра с= 1.

§ 12. Отыскание плотностеА вероятности

составляющих двумерной случайной величины

Пусть известна плотность совместного распреде­ ления вероятностей системы двух случайных величин.

Найдем плотности распределения каждой из состав­

ляющих.

Найдем сначала П.JIотность распр@деления составляю­

щей х. Обозначим через Р1 (х) функцию распределения составляющей х. По определению плотности распределе­ иия одномерной случайной велнчины,

Приняв во внимание соотношения

Р. (х) = ~" ...~, (х, у)dxdy.

-QO -е

Продифференцировав обе части 9ТОГО равенства по х,

получим

•

~1 = Sf (х, y)dy,

-00

или

00

'I(Х)= ~ f(x, y)dy.

168

Аналогично наХО,lJ;ИТСJl ПЛОТНОСТЬ распределения состав­

ляющей У:

Итак, плотность распределения одной из составляю­

щих равна несобсmвeнному интегралу с бесконечными пре­

делами от плотности совместного распределения системы, причем nеременная интегрирования соответствует другой

составляющей.

Прнмер. Двумерная случайная величина (Х, У) задана плот­

деления составляющей У:

{2М={ Y4- y l/(2n) при IYI<2.

Опрн 1у 1~ 2.

§ 13. )'словные законы распределении

•

состаВЛRIOЩИХ системы дискретных случаиных

величии

Известно, что если события А и В зависимы, то условная вероятность события В отличается от его безус­

169

Аналогичное положение имеет место и для случайных

величин. Для того чтобы охарактеризовать зависимость

между составляющими двумерной случайной величины,

введем понятие условного распределения.

Рассмотрим дискретную двумерную случайную вели­

чину (Х, У). Пусть возможные значения составляющих

таковы: Х1, Х2, ••. , Хn ; Yl' У2' .•. , Ут'

Допустим, что В результате испытания величина У

приняла значеиие У = Yl; при этом Х примет одно из

своих возможных значений: X 1 , или Х2' ••• , или Хn' Обо­

значим условную вероятность того, что Х примет, на­

всех значениях Х) уже наступило. Аналогично опреде­

ляется условное распределение составляющей У.

Зная закон распределения двумерной дискретной слу­ чайной величины, можно, пользуясь формулой (*), вы­

числить условные законы распределения составляющих.

Например, условный закон распределения Х в предпо­

ложении, что событие У = Уl уже произошло, может быть

найден по формуле

Р (Х,IУl) = Р~X~Jl) (i = 1, 2, "', n).

вобщем случае условные законы распределения со­

ставляющей Х определяются соотношением

Р (Х; IYj) = Р (х{, Yj)/p (Yj)'

,

Аналогично находят условные законы распределения

составляющей У:

3 а м е ч а н и е. Сумма вероятностей условного распределення

равна единице. Действительно, так как при фиксированном У} имеем

170