2003_-_Gmurman__TV_i_MS

д о к а з а т е л ь с т в о. По определению дисперсии

имеем

D (СХ) = М {[СХ-М (СХ)]2}.

Пользуясь вторым свойством математического ожида­

ния (постоянный множитель можно выносить З8 знак

математического ожидания), получим

D (СХ) = М {[СХ-СМ (Х)]2} = М {C'~ [Х-М (Х)]2} =

== С2М {[Х-М (Х)]2} = C2D (Х).

Итак,

D (СХ) = C2D (Х).

Свойство становится ясным, если принять во внима­ ние, что при Iс 1> 1 величина СХ имеет возможные зна­

случайн,ых величин, равн,а сумме дисперсий этих величин,:

D (Х + У) = D (X)+D(Y).

д о к а з а т е л ь с т в о. По формуле для вычисления

дисперсии имеем

D (Х + У) = М [(Х + У)2]-[М (Х + У)]2.

Раскрыв скобки и пользуясь свойствами математиче­

ского ожидания суммы нескольких величин и произведе­

ния двух независимых случайных величин, получим

D(X + У)= М [Х2 +2ХУ + У2]-[М (Х)+М (У)]2=

=М (Х2) + 2М (Х)· м (У) + М (У2)_М2 (Х)-

-2М (Х)·М (У)-М2 (У) = {М (Х2)-[М (Х)]2} +

+{М (У2)-[М (У)]2} = D (Х) +D (У).

Итак,

D (Х + У) = D (Х) + D (У).

с л е Д с т в и е 1. дисперсия суммы н,ескольких взаимн,о

независимых случайн,ых величин, равн,а сумме дисперсий

Этих величин,.

91

Например, для трех слагаемых имеем

D(X +У +Z)=D[X +(У +Z)]=D(X)+D(Y +Z) =

= D(X) +D (Y)+D (Z).

ДЛЯ произвольного числа слагаемых доказательство

д о к а з а т е л ь с т в о. Величины С и Хнезависимы, поэтому. по третьему свойству,

D (С + Х) = D (С) +D (Х).

В силу первого свойства D (С) = О. Следовательно,

D (С+Х) =D (Х).

Свойство становится понятным, если учесть, что ве­

личины Х и Х + с отличаются лишь началом отсчета и, значит, рассеяны вокруг своих математических ожиданий

одинаково.

С в о й с т в о 4. Дисперсия разности двух незавиСUМtlХ

случайных величин равна сумме их дисперсий:

D (Х-У) = D (Х) + D (У).

д о к а з а т е л ь с т в о. В силу третьего свойства

D (Х - У) = D (Х) + D ( - У).

По второму свойству,

D(X-Y)=D(X)+(-1)2D(Y),

или

D (X-Y)=D (X)+D (У).

§ 6. Дисперсия числа появлений события

внезависимых испытаниях

постоянна. Чему равна дисперсия числа появлений со­

бытия в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает

следующая теорема.

Теорема. дисперсия числа появлении события А в n не­

зависимых испытаниях, в каждом из которых вероятность

92

р появления события постоянна, равна nроизеедению числа

испытаний на вероятности появления и неnоявления со­

бытия в одном испытании:

D (Х) = npq.

Д о к а з а т ~ л ь с т в о. Рассмотрим случайную вели­

чину Х-число появлений события А в n независимых

испытаниях. Очевидно, общее число появлений события в этих испытаниях равно сумме появлений события в от­

дельных испытаниях:

X=X 1 +X 2 +"'+Xn '

где Хl-ЧИСЛО наступлений события в первом испытании,

Х2-во втором, ... , Хn- В n-м.

Величины Х1, Х2, ••• , ХN взаимно независимы, так как

Величина Х1-число появлений события А в первом испытании, поэтому (см. гл. VII, § 2, пример 2) М (Х1)= р.

Найдем математическое ожидание величины X~, кото­

рая может принимать только два значения, а именно: 12

с вероятностью р и 02 С вероятностью q:

M(Xi)= 12·p+02.q=p.

Подставляя найденные результаты в соотношение (**),

имеем

D (Х1) = р_р2 = Р (l-p) = pq.

Очевидно, дисперсия каждой из остальных случайных

величин также равна pq. Заменив каждое слагаемое пра­

вой части (*) через pq, окончательно получим

D (X)=npq.

3 а м е ч а н и е. Так как величина Х распределена по биномиаль­

ному закону. то доказанную теорему можно сформулировать и так:

дисперсия биномиального распределения с nарамеmраМll пир равна

произведению npq.

Пример. Пронзводятся 10 независимых испытаний. в каждом из

Которых вероятность появления события равна 0.6. Найтн дисперсию случайной величины х- числа появлений событня в этих испытаниях.

93

Реш е 11 н е. По условию, n = 10, Р = 0,6. Очевидно, вероятность непоявnения события

Искомая дисперсия

D (X)=npq= 10·0,6·0,4=2,4.

§ 7. Среднее квадратнческое отклонение

Для оценки рассеяния возможных зиачеиий слу­

чайной величины вокруг ее среднего значения кроме дис­

персии служат и иекоторые другие характеристики. К их

числу относится среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной ве­

личины Х называют квадратный корень из дисперсии:

(J (Х) = VD (Х).

Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так

как среднее квадратическое отклонение равно квадратному

чайной величины, вычисляют среднее квадратическое от­ клонение, а не дисперсию. Например, если Х выражается в линейных метрах, то (J (Х) будет выражаться также

в линейных метрах, а D (Х)-в квадратных метрах.

Пример. Случайная ВeJlичина Jr задана законом распределения

р0,1 0,4 0,5

Найти среднее квадратическое отклонение о (Х). Реш е н н е. Найдем математическое ожидание Х:

м (Х) = 2·0,1 + 3·0,4+ 10·0,5=6,4.

Найдем математическое ожидание XI:

м (Ю1)=2Z .0,1 +32·0,4+ 102·0,5=54.

Найдем дисперсию:

D (Х) = м (Х2) - [М (Х)]2 = 54 - 6,42 = 13,04.

Искомое среднее квадратическое ОТКJlонеНИе

о(Х)= YD(X)= Y13,04::..з,61.

94

§ 8. Среднее квадратнческое отклонение суммы

взаимно независимых случайных величин

Пусть известны средние квадратические откло­

нения нескольких взаимно независимых случайных вели­

чин. Как найти среднее квадратическое отклонение суммы

этих величин? Ответ на этот вопрос дает следующая

теорема.

Теорема. Среднге квадратическое отклонение суммы

I(онечного числа взаимно независимых случайных величин

равно квадратному корню из суммы квадратов средних

квадратических отклонений этих величин:

0'(Х1 + X z + ... + Хn)=V 0'2 (Х1) + 0'2 (X z) + ... +0'2 (Хn).

Д о К а з а т е л ь с т в о. Обозначим через Х сумму рас­

сматриваемых взаимно независимых величин:

X=Xl+X~+ ... +Хn•

Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых

D(X)=D(X 1 )+D(X2 )+ .. · +D(Xn )·

Отсюда

или окончательно

§ 9. Одинаково распределенные взаиМно

независимые случайные величины

Уже известно, что по закону распределения можно

найти числовые характеристики случайной величины.

Отсюда следует, что если несколько случайных величин

имеют одинаковые распределения, то их числовые харак­ теристики одинаковы.

Рассмотрим n взаимно независимых случайных величин

Х., Х2, ••• , Хn' которые имеют одинаковые распределения,

а следовательно, и одинаковые характеристики (матема­

ТИческое ожидание, дисперсию и др.). Наибольший ин­

терес представляет изучение числовых характеристик

95

среднего арифметического этих величин, чем мы и зай­

мемся в наСТОЯIЦем параграфе.

Обозначим среднее арифметическое рассматриваемых

случайных величин через Х:

Х = (Х1 + Х. + ... + Хn)/n.

CnеДУЮIЦие ниже три положения устанавливают связь между числовыми характеристиками среднего арифмети-

ческого Х и соответствуюIЦИМИ характеристиками каждой

отдельной величины.

1. Математическое ожидание среднего арифметического

одинаково распределенных взаимно независимых случайных

величин равно математическому ОЭh,иданию а каждой из

величин:

м (Х}=а.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пользуясь свойствами матема­

тического ожидания (постоянный множитель можно вы­

нести за знак математического ожидания; математическое

ожидание суммы равно сумме математических ожиданий

слагаемых), имеем

М (Х)=М (X 1 + X S -t:a ... +Хn) =

_ м (Х1)+М (Х2)+ ... +М (Хn)

n

Приняв во внимание, ЧТо математическое ожидание

каждой из величин по условию равно а, получим

М(Х)=nа/n=а.

2. Дисперсия среднего арифметического n одинаково

сии (постоянный множитель можно вынести за знак дис­

персии. возведя его в квадрат; дисперсия суммы незав и­

симых величин равна сумме диспt:'рсий слагаемых). имеем

D (Х)= D ( Xl+X2~'" +Хn ) =

= D (Хд+D (XjI) + .,. +D (Хn)

•

96

Приняв во внимание, что дисперсия каждой из вели­

чин по условию равна D, получим

D (Х) = nDjn 2 = Djn.

3. Среднее квадратическое отклонение среднего ариф­

метического n одинаково распределенных взаимно незавu­

симых случайных величин вV n раз меньше среднего квадра­

muческого отклонения (J каждой из величин:

дисперсия и среднее квадратическое отклонение служат

мерами рассеяния случайной величины, заключаем, что

среднее арифметическое достаточно большого числа вза­

имно независимых случайных величин имеет значительно

меньшее рассеяние, чем каждая отдельная величина.

Поясним на примере значение этого вывода для прак­

тики.

Пр"мер. Обычио для нзмереиия некоторой физической величины

производят несколько измерений, а затем находят среднее арифме­

тическое полученных чисел, которое принимают за приближенное значенне измеряемой величиНЫ. Предполагая, что измерения произ­

водятся в одних и тех же условиях, доказать:

а) среднее арнфметическое дает результат более надежный, чем

отдельные измерения;

б) с увеличением числа нзмереннй надежность этого результата

возрастает.

Реш е н и е. а) Известно, что отдельные измерения дают неоди­ наковые значения измеряемой величины. Результат каждого измере­

Ния зависит от многих случайных причин (изменение температуры,

колебания прибора и т. п.), которые не могут быть заранее полностью

учтены.

Поэтому мы вправе рассматривать возможные результаты n от­

Ковые числовые характеристики; кроме того, они взаимно независимы

(результат каждого отдельного измерения не зависнт от ОСтальных

НзмерениЙ).

Мы уже знаем, что среднее арифметическое таких величин имеет

,lIIeиьшее рассеяние, чем каждая отдельная величина. Иначе говоря,

среднее арифметическое оказывается более близким к истинному зна-

ченню измеряемой величины, чем результат отдельного измерения.

Это и означает, что среднее арифметическое несколькнх измерений

дает более надежный результат, чем отдельное измеренне.

б) Нам уже известно, что при возрастании числа отдельных слу­ чайных величнн рассеяние среднего арнфметического убывает. Это

значит, что с увеличением числа измерений среднее арифметическое

несколькнх измерений все Менее отличается от истинного значения измеряемой величины. Таким образом, увеличивая число измерений,

получают более надежный результат.

Например, если среднее квадратическое отклонеиие отдельного

измерения 0=6 м, а всего произведено n=зб измерений, то среднее

квадратическое отклонение среднего арифметического этих нзмерений

равно лишь 1 м. действительно,

о (Х)=о/Уп= 6/УЗ6= 1.

Мы видим, что среднее арифметическое нескольких измерений, как и следовало ожидать, оказалось более блнзким к истинному зна­ чению измеряемой величины, чем результат отдельного измерения.

§ 10. Начальные и центральные

теоретические моменты

Рассмотрим дискретную случайную величину Х,

заданную законом распределения:

р0,6 0,2 0,19 0,01

Найдем математическое ожидание Х:

М (Х) = 1·0,6 + 2·0,2 + 5· 0,19 + 100.0,01 = 2,95.

Напишем закон распределения Х2 :

Найдем математическое ожидание Х2 :

М (Х2)= 1·0,6+4·0,2+25·0,19+ 10000·0,01 = 106,15.

Видим, что М (Х2) значительно больше М (Х). Это

объясняется тем, что после возведення в квадрат возмож­

ное значение величины Х2, соответствующее значению

х = 100 величины Х, стало равным 1О 000, т. е. значи­

тельно увеличилось; вероятность же этого значения мала

(0,01).

Таким образом, переход от М (Х) к М (Х2) позволил

лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую ве-

98

роятность. Разумеется, если бы величина Х имела не­

сколько больших и маловероятных значений, то переход

к величине Х', а тем более к величинам ха, Х· И т. Д.,

позволил бы еще больше «усилить роль» этих болы!IИХ,

но маловероятных возможных значений. Вот почему оказывается целесообразным рассматривать математичес-

величины (не только дискретной, но и непрерывной).

Начальн.ым моментом порядка k случайной величины Х

называют математическое ожидание величины ХА:

Vk = М (ХА).

в частности,

V1 = м (Х), V, = М (Х').

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления

дисперсии D (Х) = м (ХЭо)-[М (х)}, можно записать так:

Кроме моментов случайной величиныХцелесообразно

рассматривать моменты отклонения Х-М (Х). Центральным моментом порядка k случайной вели­

чины Х называют математическое ожидание величины

(Х-М (Х»А:

в частности,

f.tl = м [Х-М (Х)] =0, f.t. = М [(Х - м (Х»'] = D (Х).

Легко выводятся соотношения, связывающие началь­

ные и центральные моменты. Например, сравнивая (*)

и (***), получим

J.t, = VI-V~,

Нетрудно, исходя из определения центрального мо­

мента и пользуясь свойствами математического ожидания,

получить формулы:

f.ta =VЗ-3V'V1 + 2vf,

f.t. = "'-. 4VЗV1+ бv,v~-3vt.

Моменты более высоких порядков применяются редко.

3 а м е ч а н и е. Моменты, рассмотренные здесь, называют mеорг­ mИ'let:lCuми. В отличие от теоретических моментов, момеиты, которые

Вычисляются по данным наблюдений, называют эмnирическимu. Опре­

Jtелеиия эмпирических моментов даны далее (см. гл. ХУН, § 2).

7*

3а.uчи

1. Известны дисперсии двух независимых случайных вели­

ч.ин: D(X)=4, D (У) =3. Найти дисперсию суммы этих величин.

Ото. 7.

2. Дисперсия случайной величины Х равна 5. Найтн диспеРСIiЮ

н -с, каждое с вероятностью 0,5. Найти дисперсию этоii величины.

Отв. С2.

4. Найти дисперсию случайиой величины, зная закон ее распре­

деления

Отв. 67,6404.

5. CJIучайная величииа Х может прииимать два возможных зна­

чения: Xl с вероятиостью 0,3 и Х2 с вероятиостью 0,7, причем Х2 > Хl' Найти Хl и Х., зная, что М (Х) =2,7 и D (Х) =0,21.

ниях.

Отв. 0,48.

7. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающнх приборов. Вероятиости отказа приборов таковы: Рl = 0,3:

Ра=О,4; Ра=О,5; Р4=О,6. Найти математическое ожидание и дис­

персию числа отказавших прнборов.

Отв. 1,8; 0,94.

8. Найти дисперсию случайной величины Х - числа появлениА события в 100 иеэавнсимых испытаниях, в каждом нЗ которых вepoJIТ­

ность наступления события равна 0,7.

Отв. 21.

9. Дисперсия с"lучайной веJlИЧИНЫ D (Х) = 6,25. Найти среднее

1t6адратическое отклонение (1 (Х).

Ото. 2,5.

10. Слrчайная величина задана законом распределения

Найти среднее квадратическое отклоненпе этой величины.

Ото. 2,2.

11. Дисперсия каждой из 9 одинаково распределенных взаимно

независимых случайных величин равна 36. Найти дисперсию среднего

Найти среднее квадратическое отклонение среднего арифметического

пих ее.'ИЧИН.

Omв. 2,5.

100