2003_-_Gmurman__TV_i_MS

тарных ссБЫТliА, которые могут появиться в испытании, называют nространством элеАfенmaрных событий О, а сами ЭJlементарные собы­ тия-moчками пространства О.

Событие А отождествляют с подмножеством (пространства QJ, элементы которого есть ЭJlементарные исходы, благоприятствующие А;

событие В есть подмножество а, ЭJlемеиты которого есть исходы, благоприятствующие В, н т. д. Таким образом, миожество всех со­

бытий, которые могут наступить в испытанин, есть множество всех подмножеств а. Само Q наступает при любом исходе испытания,

поэтому а-достоверное событие; пустое подмножество простраиства

а-невозможное событие (оно не наступает ни при каком исходе

испытания).

Заметнм, что ЭJlементарные события выделяются из числа всех

событий тем, что каждое из них содержит только одии ЭJlемеит а.

Каждому ЭJlементарному исходу 6)i ставят в соответствие поло-

жительное число Рi-вероятность этого исхода, причем ~Pj= 1•

По определению, вероятность Р (А) соБЫ1ИЯ А равиа сумме• вероят-

ностей элементарных исходов, благоприятствующих А. Orсюда легко

получить, что вероятиость ссБЫТIIЯ достоверного равна едииице, не­

возможного - нулю, произвольного - заключена между нулем и еди­

ницей.

Рассмотрим важНЫЙ частный случай, когда все исходы равновоз­

можны. Число исходов равио n, сумма вероятностей всех исходов равна едииице; следовательно, вероятность каждого исхода равна 1/n. Пусть событию А благоприятствует т исходов. Вероятиость ссбытия

А, равна сумме вероятностей исходов, благоприятствующих А:

Р (А) = '/n+ 1/n+ .. + lin.

Учитывая, что чнсло слагаемых равно т, имеем

Р (А)=т{n.

Получено классическое определение вероятиости.

Построение логически полиоценной теории вероятностей осиовано

на аксиоматическом определении случайного события и его вероятно­ сп!. В системе аксиом, предложенной А. Н. Колмогоровым *), неопре­

деляемыми поиятиями являются ЭJlементариое событие и вероятность.

Приведем аксномы, определяющие вероятность:

1. Каждому событию А поставлено в соответствие иеотрицате.ль­

ное действнтельное число Р (А). Это число называется вероятностыо

события А:

2. Вероятиость достоверного события равиа единице:

P(Q)=I.

З. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несов­

местиых событий равиа сумме вероятностей этих событий.

Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей н зависимости

между ними выводят в качестве теорем.

*) к о л м о г о р о в А. Н. Осиовные понятия теории вероятиостеЙ.

М., «Наука», 1974.

21

§ 4. Основные формулы комбинаторики

Комбинаторика изучает количества комбинаций,

подчиненных определенным условиям, которые можно со­

ставить из элементов, безразлично какой природы, задан­

ного конечного множества. При непосредствениом вычис­ лении вероятностей часто используют формулы комбина­

торики. Приведем наиболее употребительные из них. Пересmановкамu называют комбинации, состоящие из

одних и тех же n различных элементов и отличающиеся

только порядком их расположения. Число всех возмож­

Реш е н и е. Искомое число трехзиачиых чнсел

Р.=31 =1.2·3=6.

Размещенuя,~u называют комбинации, составленные

из n различных элементов по т элементов, которые от­

личаются либо составом элементов, либо их порядком.

Число всех возможных размещений

A~ = n (n-l) (n-2) ... (n-m+ 1).

Прнмер 2. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков

разли'JНОГО цвета, взятых 110 2?

Реш е н и е. Искомое число сигналов

А2 =6.5=30.

6

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n

различных элементов по т элементов, которые отли­

чаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

C~ = ntj(m! (n-m)t).

Пример 3. СIЮ.1ЬКИМИ способами можно выбрать две детали нз ЯЩlIка, содержащего 10 деталей?

Реш е н и е. Искомое ЧИС.l0 способов

C~O = 101/(21 8!) = 45.

Подчеркнем, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны paBeHCTBO~!

22

3 а м е '1 а н н е. Выше предполага.IJОСЬ, что все n элементов раз­

личны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае

"омбинации с повторениями вычисляют по другим формулам. Напри­

мер, если средн n элементов есть nl элементов одного вида, па эле­

ментов другого вида и т. д., то число перестановок с повторениями

Рn (nl' n~, • .. )=n'/(n11 Па' .. .), где nl +n! +... = n.

При решении задач комбинаторики используют сле­

дующие правила:

Пр а в и л о с у м м ы. Если некоторый объект А может

быть выбран из совокупности объек:тов т способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то

выбрать либо А, либо В можио m+ n способами.

П р а в и л о про и З в е Д е н и я. Если объект А можно

выбрать И3 совокупности объектов т способами и после

каждого такого выбора объект В можно выбрать n спо­

собами, то пара объектов (А, В) в у~азанном порядке

может быть выбрана mn способами.

§ 5. Примеры непосредственного вычисления вероятностей

Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл ОДIJУ

цифру и набрал ее иаудачу. Найти вероятность того, что набраиа

иужная цифра.

Реш е и и е. Обозиачим через А событие - набрана иужная

цифра. Абоиент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее чнсло ВОЗМОЖных элемеитарных исходов равно 10. Эти исходы несовместны,

равновозможны и образуют полную группу. Б.'Iагоприятствует собы­ тию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая веро­

ятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих со­

бьrtию, к числу всех элемеитарных исходов:

р (А)= 1/10.

Пример 2. Набирая номер телефоиа, абонент забыл последние две цифры и, помия лишь, что эти цифры - различны, иабрал их на­ удачу. Найти вероятиость того, что иабраны ИУЖlIые цифры.

Реш е н и е. Обозначим через В событие - набраны две нужиые цифры. Всрго можно набрать столько различных цифр, сколько

может быть составлено размещений из десяти цифр по две, т. е.

Afo= 10·9=90. Таким образом, общре число ВОЗМОЖНЫХ э.',емеитар-

ных исходов равио 90. Эти нсходы несовместны, равновоэможны и

образуют полиую группу. Благоприятствует событию В лишь один исход. Искомая вероятность paBlia отношению числа исходов, благо­

приятствующих событию, к числу всех элемеитариых исходов:

р (8)= 1/90.

Пример 8. Указать ошибку «решения» зада"и: «Брошеиы две

игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших ОЧКОВ равна 4 (событие А}».

2з

Реш е 11 и е. Hct'ГO возможиы 2 исхода ИСПЫТ:НIИЯ: сумма вьmав­

ших очков paBlla 4. сумма БЫn<l8ШИХ ОЧКОБ не равна 4. Событию А блilГОПI'ИЯТСТ8Ует UДИН IIСХОД: общее ЧIICJIО исходов равно двум. Cnе­

дr lIателыlO, искомая Вt:РОЯТlIOСТЬ

l' (А)= 112.

даРТIIЫМI1; II:!ЯТЬ Ж(' 2 IIСС1;ШД;IРТliые детали из 10-7=3 нестандарт­

иых дстa.rlсii МОЖIIО С5 спрсобами. СледователыfO, число благоприя­

ТСТВУЮЩIfХ исходов равно с;. с;.

Искомая вероятность pa\Jlla отношенню числа IIСХОДОП, благо­

"РИЯН:ТUУЮЩJIХ СОБЫТIlIO. к "иеJlУ всех э.nементарных исходов:

§ 6. Относительная частота. Устойчивость

относительной частоты

Отиосительная частота наряду С вероятностью

принадлежит к ОСНОАНЫМ понятиям теории вероятностей.

Оnшосumeльн.оU частотой события называют отноше­

ние ЧИСJlа испытаний, в которых событие появилось,

к общему чис.'lУ фактически произведенных испытаниА.

Таким образом, относительная ча(~тота событня А опре­

деляется формулой

W (А)=т/n,

rl!e т - ЧИСЛО появлевий события, n - общее число испы­

тании.

24

Сопостав.nяя опреАеления вероятности н относнтель­

вой частоты, заключаем: опреАеленне вероятностн не rpe6yeт, ЧIООы испытания ПРОНЗВОАИлнсь в мЙствитель.

ВОСIИ; определенне же относнтельной частоты преАnoла­

гает, что испытания были проиэве.ltены фактически. Дру­

гиыи словами. верояnшoetnb tJblfluc.ltяюm до опыта. а

otnНOCшneАЬнgю чш:momg -nОСАе оrшma.

111 (А) = 3/00.

П,.., 2. По цели nроизвелн 24 выстрела, причем 6wю зареги­ стрировано 19 поna.д.аниЙ. Относительная ..астата поражения цели

W (А) = 19/24.

Длнтельные Ilаблюдения показали. что если в одина­

ковых условиях производят опыты, в каждом нз которых

число нспытаний достаточно велико, то относительная частота of)наруживает свойство устоЙчивостн. Эro свой­

ство состоит в том, что в раз./lllЧНblX опытах относитель­

ная Чat'.'7Wma UЗJlU!ня.еmcя ..tало (me.м .меньше, чем больше nроuзвeдено ucnыnuшuЙ). колеблясь окол.о некomорого nо­ cmoянного чucла. Оказ3.IJОСЬ, что по постоянное чнсло

есть Вf'роятность появления события.

Такнм образом, если опытным путем установлена от­

носительная частота, то ПО~lуqенное число можно ПРИНЯ'Jь

зз прнближенное значение вероятности.

Подробнее и точнее связь между O'Jноснтельиой часто· ТОЙ н вероятностью будет- изложе-liЗ. далее. Теперь же

проиллюстрнруем свонство устоичивости на ПРJfмерах.

П,.I.ер 3. ПО MHHЬDI шве.цскоА статистики, отиосительна,. час­

МОЖНО принять за приближенное значение вероятности рожлеИИII

девочек.

Заметнм, что статистические данные различных стран ./I.81ОТ при­

мepJIO то же значеине OТHOCHтeJlbMOA частоты.

I1pIDl8P 4. Мвогожратно проводилвсь опыты брncaви• монеты,

в ЕОТОРЫХ подс'DlТblВaJ1Jl число появnemш (<repба». Результаты не­

CJtольпп опытов приведевы в табл. 1.

Здесь относительные частоты неэвачительно OТJ:JJОВJIЮТСJl ОТ чис­ ла 0,5, причем тем меныпе, чем больше число испытаний. Напри­

мер, при 4040 вcпыrаввп ОТJ:JIовевие равио О, 0069, а при 24 000

25

испытаний-лишь 0,0005. Прнияв во вннмание, что вероятность по­ явления «герба» прн бросании монеты равна 0,5, мы вновь убеж­

даемся, что относительная частота колеблется около вероятности.

§ 7. Ограниченность КJlассического определення вероятности. Статистическая вероятность

Классическое определенне вероятностн предпо-

лагает, что число элементарных исходов испытания ко­

нечно. На практике же весьма часто встречаются испы­

таиия, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо.

Уже это обстоятельство указывает на ограниченность

классического определения. Отмеченный недостаток может

быть преодолен, в частности, введением геометрических

вероятностей (см. § 8) и, конечно, использованием аксио­ матической вероятности (см. § 3, замечание).

Наиболее С.1абая сторона классического определения

состоит в том, что очень часто невозможно представить

результат испытания в виде совокупности элементарных

событий. Еще труднее указать основания, позволяющие

считать элементарные события равновозможными. Обычно

оравновозможности элементарных исходов испытания

говорят из соображений симметрии. Так, например, пред­

полагают, что игральная кость имеет форму правильного

многогранника (куба) и изготовлена IIЗ однородного мате­

риа.1а. Однако задачи, в которых можно исходить из

соображений симметрии, на практике встречаются весьма

редко. По этой причине наряду с классическим опреде­

лением вероятности используют и другие определения,

вчастl'IОСТИ статистическое определение: в качестве ста­

тистической вероятности события nрини.мают относи­

тельную частоту или число, близкое к ней. Например,

еС~1И в результате достаточно бо.'1ЬШОГО числа испытаний оказалось, что относительная частота весьма близка

26

к числу 0,4, то ЭТО число можно принять за статистиче­

скую вероятность события.

Легко проверить, что свойства вероятности, вытекаю­

щие из классического определения (см. § 3), сохраняются

и при статистическом определении вероятности. действи­

тельно, если событие достоверно, то т = n и относитель­

ная частота

т/n =nfn= 1,

т. е. статистнческая вероятность достоверного события

(так же как и в случае классического определения)

равна единице.

Если событие невозможно, то т = О и, следовате.IJЬНО,

относительная частота

О/n =0,

т. е. статистическая вероятность невозможного события

равна нулю.

Для любого события О ~ т ~ n и, следовательно, от­

носительная частота

O~т/n~ 1,

т. е. статистическая вероятность любого события заклю­

чена между нулем н единицей.

Для существования статистической вероятности собы­

тия А требуется:

а) возможность, хотя бы принципиально, производить неогр~ниченное число испытаний, в каждом из которых

событие А наступает или не наступает;

б) устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно большого числа испыта­ ний.

Недостатком статистического определения является

неоднозначность статистической вероятности; так, в при­ веденном примере в качестве вероятности события можно

ПРИН4IТЬ не только 0,4, но и 0,39; 0,41 и т. д.

§ 8. Геометрические вероятности

Чтобы преодолеть недостаток классического опре­

деления вероятности, состоящий в том, что оно непри­

менимо к испытаниям с бесконечным числом исходов,

вводят геометрические вероятности - вероятности попа­

дания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.).

Пусть отрезок 1 составляет часть отрезка L. На отре­

зок L наудачу поставлена точка. Это означает выполне-

21

ние следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность

попадания точки на отрезок 1 пропорциональна длине

этого отрезка и не зависит от его раСПОЛОJКения относи­

тельно отрезка L. В этих преДПОЛОJКениях вероятность попадания точки на отрезок 1 определяется равенством

р = Длина l/Длина L.

Пример 1. На отрезок ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлена точка В (х). Найти вероятность того, что меньший нз

отрезков ОВ и ВА имеет длину. большую L;3. Предполагается, что

вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине от­

резка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Реш е н и е. Разобьем отрезок ОА точками С и D иа 3 равные

части. Требование задачи будет выполнено, если точка В (х) попа­

дет на отрезок CD длииы L/3. ИСКQмая вероятность

р = (L/3)/L = 1/3.

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры а. На фигуру G наудачу брошена точка. Это

означает выполнение следующих преДПОЛОJКений: брошен­

ная точка MOJКeT оказаться в любой точке фигуры а,

вероятность попадания брошенной точки на фигуру g

пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни

от ее раСПОЛОJКения относительно а, ни от формы g.

В этих преДПОЛОJКениях вероятность попадания точки

вфигуру g определяется равенством

р= Площадь g/Площадь а.

Пример 2. На плоскости начерчены две коицеитрическuе окруж­

ности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероят­

ность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается,

что вероятиость попадаиия точки в плоскую фигуру пропорциоиальна

площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относнтельно

большого круга.

Реш е н и е. ПЛощадь кольца (фигуры g)

Sg = 31 (10252) = 75n.

ПЛощадь бмьшого кругз (фигуры О)

So=nI02 = 10031.

Искомая вероятность

р= 15n/(loon) =0,15.

Пример 3. в сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступлеиие каждого из сигналов равновозможно в любой

момент промежутка времени JI.JIительностью Т. Момеиты поступлеиия

сигиалов иеззвисимы один от другого. Сигналнзатор срабатывает.

если разность между момеитами поступлеиня СИГНЗJlов меньше

28

двойным неравенствам удовлетворяют ко­ ординаты любой точки квадрата ОТАТ (рис. 1). Таким образом, этот квадрат можно рассматрнвать как фигуру О, ко­ ордннаты точек которой представляют

Неравенство (*1 выполняется для тех точек фигуры а, которые

лежат выше прямои у=х и ниже прямой y=x+t, неравенство (**)

шестнугольннку. Таким образом, этот шестиугольник можно рассма.

тривать как фигуру g, координаты точек которой являются благо·

приятствующими моментами времени х и у.

Искомая вероятность

р = Пл. g/Пл. G = (тz- (Т- t)2)/T2 = (t (2Т- t»/ТZ.

3 а м е '1 а н и е 1. Приведенные определения являются частными

случаями общего определення геометрической вероятности. Если

обозначить меру (длину, площадь, объем) области через mes, то

вероятность попадания точки, брошенной наудачу (в указанном выше

смысле) в область g- часть области а, равна

Р = mes g(mes а.

3 а м е ч а и и е 2. В случае классического определения вероят­

ность достоверного (невозможного) события равна единице (нулю);

справедливы и обратные утверждения (напрнмер, если вероятность

события равна нулю, то событие невозможно). В случае геометри­ ческС\го определения вероятиости обратные утверждения не нмеют места. Напрнмер, вероятность попадания брошенной точки в одну

определенную точку области G равна нулю, однако это событие может

произоАти, и, следовательно, ие является невозможиым.

29

Замчи

1. В ящике нмеется 50 одннаковых деталей, нз иих 5 окра­

шенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти веРОJlТНОСТЬ того,

что нзвлеченная деталь окажется окрашеиноЙ.

Оmв. p=O,I.

2. Брошена игральная кость. Найтн вероятность тoro, что выпа­

дет четное число очков.

Оmв. р=О,5.

3. Участннки жеребьевкн тянут нз ящнка жетоиы с номерами от) до 100. Найти вероятность того, что номер первого иаудачу

извлечеииоro жетона не содержнт цнфры 5.

Отв. р=О,81.

4. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех граИflХ каждого кубика напнсана одна nз следующих букв: о, п, р, С, т.

Найти веpqятносгь того, что на выиутых по одному И расположен­

ных св одну линию» кубиков можно будет прочесть слово сспорт».

Оmв. р= 1/120.

5. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одиа из следующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточкн тщательно переме­

шаны. Найти вероятность того, что иа четырех, выиутых по одноА

и расположеиных св одну линию» карточках можно будет прочесть

слово строе».

Omв. р= IjA:= 1/360.

6. Куб, все граии которого окрашены, распнлеи на тысячу куби­

ков одннакового размера, которые затем тщательно перемешаны.

Найти вероятность того, что иаудачу извлеченный кубик будет нметь

окрашенных граней: а) одну; б) две; в) три.

Оmв. а) 0,384; б) 0,096; в) 0,008.

7. Из тщательно перемешаИliOГО полного набора 28 костей домнно

наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую иаудачу извлеченную кость можно приставить к первой, если первая кость: а) оказалась дублем; б) не есть дубль.

Оmв. а) 2/9; б) 4/9.

8. В замке на общей оси пять дисков. Каждый днск разделен

на шесть секторов, на которых иаписаны разлнчные буквы. Замок

открывается только в том случае, если каждый диск заннмает одно

определенное положение ОТНОсительно корпуса замка. Найтн вероят­

ность того, что при произвольной установке дисков замок можно

будет открыть.

Оmв. р= 1/65.

9. Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. НаАти вероятность того, что две определенные кннгн ока­

и две кннги-по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые наудачу две книгн стоят 5 рублей.

Omв. p=d·c~/c~o= 1/3.

11. В партнн из 100 деталей отдел техннческого контроля обна­

ружил 5 иестандартных деталей. Чему равна относнтельная частота

появления нестаидартных деталей?

Оmв. w = 0,05.

30