2003_-_Gmurman__TV_i_MS

ЧАСГЬ ЧЕТВЕРТАЯ

МEI'OД МОНТЕ-КАРЛО. ЦЕПИ МАРКОВА

11

ЧАСГЬ ПЯТАЯ

СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

12

ВВЕДЕНИЕ

Предмет теории вероятностеii. Наблюдаемые

нами события (явлеиия) можно подразделить иа следую­

щие три вида: достоверные, невозможные и с.l1учаЙные.

Достоверным называют событие, которое обязательно

произойдет, если будет ОСyIЦествлена определенная сово­

купноСть условий S. Например, если В сосуде содержнтся

вода при нормальном атмосферном давлении и темпера­

туре 200, то событие свода в сосуде находится в жидком состоянии» есть достоверное. В этом примере заданные

атмосферное давление и температура воды составляют

совокупность условий S.

невОЗМОЖНbtМ называют событие, которое заведомо не

произойдет, если будет осуществлена совокупность усло­

внй S. Например, событие «ВОДа в сосуде находится в

твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий предыдущего примера.

Случайным называют событие, которое при осуществле­

нии совокупности условий S может либо произойти. либо

не произойти. Например, если брошена монета, то она

может упасть так. что сверху будет либо герб, либо иад­

пись. Поэтому событие «при бросании монеты выпал «герб»-случаЙное. Каждое случайное событие. в частно­

сти выпадение «герба». есть следствие действия очень

миогих случайных причии (В нашем примере: сила, с

которой брошена монета. форма моиеты и многие другие).

Невозможио учесть влияние на результат всех этих при­

чин. поскольку число их очень велико и законы их

действия неизвестиы. Поэтому теория вероятиостей ие

ставит перед собой задачу предсказать. произойдет еди­

ничное событие или heT,-она просто не в силах это

сделать.

По-иному обстоит дело, если рассматриваются с.ilучаЙ­

ные события. которые могут многократно наблюдаться

при осуществлении одних и тех же условий S, т. е. если

14

речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число однородных

случайных событий независимо от их конкретной природы

подчиняется определеиным закономерностям, а нменно

вероятностныM закономерностям. Установлением ,тих за­

кономерностей и занимается теория вероятностей.

Итак. предметом теории еерояmнocmeа является иау­

ч.ение вероятностных Э(lкономернocтsа AUlCC08bIJC однород­ ных случайных событиа.

Знание закономериостей, которым подчиняются массо­

Bыe случайные соБыия,, позволяет предвидеть. как 9ТИ

соБыияя будут протекать. Например, хотя, как было уже

сказано, нельзя наперед определить результат одного

бросания монеты, но можно предсказать, причем с не­

большой погрешностью, чнсло появлений «герба», еслн

монета будет брошена достаточно большое число раз. При

,том предполагается, конечно, что монету бросают в одних

итех же условнях.

Методы теории вероятностей широко применяются в

различных отраслях естествознания и техники: в теории

надежности, теории массового обслуживания, в теорети­

ческой физике, геодезии, астрономии, теории стрельБы, теории ошибок иаблюдений, теории автоматического управ­

ления, общей теории связи и во многих других теорети­

ческих и прикладных науках. Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладиой

статистики, которая в свою очередь используется при планироваиии и организации производства, при анализе

технологических процессов, предупредительном и прие­

мочном контроле качества продукции и для многих дру­

гих целей.

В последние гoды методы теории вероятностей все

шире и шире проникают в различные области науки и

техники, способствуя их прогрессу.

Краткая историческая справка. первые работы, в ко­

торых эарождались ocHoBHые понятия теории вероятно­

стей, представляли собой попытки создания теории

азартных игр (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и дру­

гие в XVI-ХVIl вв.).

Следующий 9тап развития теории вероятностей связан

с именем Якоба Бернулли (1654-1705). Доказаиная им теорема, получившая впоследствии название «Закона

больших чисел», была первым теоретическим обоснова­

нием накопленных ранее фактов.

15

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Глава первая

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

§ 1. Испытания и события

Выше событие назваио случайиым, если при

осуществлении определенной совокупности условий S оно

может либо произойти, либо не произойти. В дальней­ шем, вместо того чтобы говорить «совокупность условий S осуществлена», будем говорить кратко: «произведено

испытание». Таким образом, событие будет рассматри­

ваться как результат испытания.

Пример 1. Стрелок стреляет по мишенн, разделеиной на четыре областн. Выстрел-зто испытание. Попадание в определенную область

мишени - событие.

Првмер 2. В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу

берут оАИН шар. Извлечение шара нз урны есть нсшпание. Появле­

нне шара определенного цвета - событие.

§ 2. 8НАЫ случайных событий

События называют нeCoвмecтНblAl.U, если появле­

ние одного из них исключает появлеиие других событнй

вОДНОМ И том же испытании.

Пр...р 1. Из ящика с д-.rалями иаудачу извлечена Аеталь.

Появление стандартной .n.етали исключает появление иестан.n.артноА

J(eТали. События споявилась стандартная .n.еталь. и споявилась ие­

стаидартная деталь. - несовместиые.

ПJNIмер 2. Брошена монета. Поsвлевие .герба. НСIfJllOчает по­

имение иамнси. События споявился reрб. и споявилась ицпис"­

&еСовместиые.

Несколько событий образуют МАНУЮ группу. если в

результате испытания появится хотя бы одно ИЗ них.

Другими словами, появление хотя бы одного из событий

подкой группы есть АОСТОверное событие. В частности,

если события, образующие полную группу, попарно неСО8-

.местны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. Этот частный случай

представляет для нас наибольший интерес, поскольку

используется далее.

Пример 3. Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи.

Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий:

«выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй:., «выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй:., _выигрыш выпал на

оба билета:., сна оба билета выигрыш не выпал:.. Эти события обра­

зуют полную группу попарно несовместных событнЙ.

Пример 4. Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно прои­ зайдет одно из следующих двух событий: попадание, промах. Эrи два несовместных события образуют полную группу.

События называют равновОЗМОЖНblми, если есть осно­

вания считать, что ни одно из них не является более

возможным, чем другое.

Пример 5. Появление «герба» 11 появление надписи при бросании

монеты - равновозможные события. Действнтельно, предполагается,

что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную

цилиндрическую форму и наличие чеканки не оказывает влияния на выпаденне той или нной стороны монеты.

Пример 6. Появление того илн иного ЧИС.1а очков на брошенноА

игральной костиравиовозможные события. Действительно, предпо­

лагается, что игральная кость ИЗГОТОВ.lJена из однородного материала,

IIмеет форму правильного многогранника и наличие очков не ОКазы­

вает влияння на выпадение любой грани.

§ 3. Классическое определеиие вероятности

Вероятность-одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого

понятия. Приведем определение, которое называют K.ТIac­

сическим. Далее укажем слабые стороны этого определе­

ния и приведем другие определения, позволяющие пре­

одолеть недостатки классического определения.

Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится 6 оди­

наковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них - красные, 3 - синие н 1-белый. Очевидно, возмож­

ность вынуть наудачу из урны цветной (т. е. красный или

синий) шар больше, чем возможность извлечь бе.'IЫЙ шар.

Можно ли охарактеризовать эту возможность ЧИС_10М? Оказывается, можно. Это число 11 называют вероятностью

события (появления цветного шара). Таким образом,

вероятность есть число, характеризующее степень воз­

можности появления события.

18

Поставим перед собой задачу дать количественную

оценку возможности того, что взятый наудачу шар цвет­

ной. Появление цветного шара будем рассматривать в качестве события А. Каждый нз возможных результатов

испытания (испытание состоит в извлечении шара из

уриы) назовем элементарным исходом (элементарным

событием). Элементарные нсходы обозначим через Ш1• Ш,.

ЮЗ И т. д. В нашем прнмере возможны следующие б эле­ ментарных исходов: (Оl-ПОЯВИЛСЯ белый шар; (02' (08 -

Легко видеть. что эти исходы образуют полную группу

попарно несовместных событий (обязательно появится

только один шар) и они равновозможны (шар вынимают

наудачу. шары одинаковы и тщательио перемешаны).

Те элементарные исходы. в которых интересующее

нас событие наступает, назовем благоnрияmcтвУlОщи-ми этому событию. В нашем примереблагоприятствуют со­ бытию А (появлению цветного шара) следующие 5 исхо­

дов: (О•• Юз. (О•• ООъ. (00'

Таким образом, событие А наблюдается. если в испы­ тании наступает один. безразлично какой, из элементар­

ных исходов. благоприятствующих А; в нашем примере

элементарное же событие не подразделяется иа другие

события. В этом состоит различие между событием А и

элементарным событием (элементарным исходом).

Отношение числа благоприятствующих событию А эле­

ментарных исходов к нх общему числу называют вероят­

ностью события А и обозначают через Р (А). В рассмат­

степени возможности ПОЯВ.1ения цветного шара, которую

мы хотели найти. Дадим теперь определение вероятности.

Вероятностью события А называют отношение ЧИС.па благоприятствующих этому событию исходов к общему

числу всех равновозможных несовместных элементарных

исходов, образующих по.ТIНУЮ группу. Итак, вероятность

события А определяется формулой

р (А) --= т/п.

где т-чис.'ю элементарных исходов, благоприятствую­

щИХ А; n-чнсло всех возможных элементарных исходов

испытания.

Здесь предполагается, что элементарные исходы не­

совместны, равновозможны и образуют полную группу.

Из определ~ния вероятности вытекают следующие ее

~Iюйства:

С в о й с т в о 1. Вероятность достоверного события

расна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый

элементарный исход испытания благоприятствует собы­

тию. В этом случае т = n, следовательно,

Р (А) =mjn = n/n = 1.

С в о й с т в о 2. Вероятность неВDзможного события

равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует

событию. В этом случае т = О, следовательно,

Р(А) = mjn = Ojn = о.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное А1ежду нуле},! и еди-

ницей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испы­ тания. В этом случае О < т < n, значит, 0< т/n < 1.

следовательно,

0< Р (А) < 1.

Итак, вероятность любо,~ :обытия удовлетворяет двой­

ному неравенству

O~ P(A)~ 1.

Далее приведены теоремы, которые ПОЗВОJ,}IЮТ по из­

вестным вероятностям одних событий находить вероятно­

сти других событий.

3 а м е ч а н и е. Современные строгие курсы теории вероятностей

построены на теоретико-миожественной основе. Ограничимся изложе­

нием на языке теории множеств тех понятиА, которые рассмотрены

выше.

Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из

событий Ш; (i = 1, 2, ... , n). События Ш; называют lJлементарнbUl.U

событиями (элементарны.ми исходамu). Уже отсюда следует, что

элементарные события попарно несовместны. Множество всех элемен-

20