2003_-_Gmurman__TV_i_MS

§ 3. ЧИСАовые характеристики покаэательного

распределения

Пусть непрерывная случайная величина Х рас­

пределена по показательному закону

Интегрируя по частям, получим

М (Х) = 1;1...

Таким образом, математическое ожидание nокаэаmель­ ного распределения равно обратной величине параметра Л.

Найдем дисперсию (см. гл. XII, § 1):

Интегрируя по частям, получим

~

л ~ x2e-лХdх = 2;1..2.

О

Следовательно,

D (Х) = 1;1..2.

Найдем среднее квадратическое отклонение, для чего

извлечем квадратный корень из дисперсии:

о" (Х) = 1;1...

Сравнивая (*) и (**), заключаем, что

М (Х) =0" (Х)= 1/1..,

т. е. Мате.~штическое ожидание и среднее квадраmическое

отклонение nоказательного распределения' равны между

собой.

Пример. Непрррывная случайная величина Х распределена по

показатеnьному закону

[(x)=5e-~X при x~O; [(х)=О при х < О.

15/

Найти математическое ожидан не, среднее квадратическое отклонение

и дисперсию Х.

Реш е н и е. По ус.ивию, л = 5. Следовательно,

Если матемаТИ'iеское ожидание также неизвестно, то находят его

оценку (приближеннuе значение), в качестве которой принимаlOТ

выборочную среднюю х (см. гл. XVI, § 5). Тогда приближенное зна­ чение параметра А НаХОДЯТ с помощью равенства

л*= 1jx.

3 а м е ч а н и е 2. Допустим, имеются основания предположить,

что изучаемая на практике случайная величина имеет показа~ьное

распределение. Для того чтсБЬJ проверить эту гнпотезу, НахоДяТ

оценки математического ОЖИДанИя и среднего квадратического откло­

иення, Т. е. находят выборочную среднюю и выборочное среднее

J<вадратическое отклонение (см. гл. XVI, § 5, 9). Математическое

ожидание и среднее квадратичеСКGе отклонение показательНого рас­

пределения равны между собой, поэтому их оц@нки должltы разли­

чаться lIезначителыt•. Если оценки окажутся близкими одна к дру­

гоА, то данные наблюдений подтверждают гипотезу опоказательном

распределении изучаемой величины; если же оценкн различаются

существенно, то гипотезу следует отвергнуть.

Показательное распределение широко применяется в

приложениях, в частности в теории надежности, одним

из основных понятий которой является функция надеж­

ности.

§ 4. Функция надежности

Будем называть эле,uенmО.lrt некоторое устройство

независимо от того, «простое» оно или «сложное».

Пусть элемент начинает работать в момент времени /0 =0.

а по истечении времени длительностью t происходит отказ.

Обозначим через Т непрерывную случайную величину­ длительность времени безотказной работы элемента. Если

ЭJ1емент проработал безотказно (до наступления отказа)

время, меньшее /, то, следовательно, за время длитель­

ностью / наступит отказ.

Таким образом, функция распределения F (/)= Р (Т < 1)

определяет в е р о я т н о с т ь о т к а з а за время длитель­

ностью t. Следовательно, вероятность безотказной работы

за это же время длительностыо t. т. е. вероятность про­

тивоположного событи Я Т > t, равна

R (t) с,= Р (Т > t) = 1- F (t).

152

ФУН1щией надежности R (t) называют ФУНКIIЯЮ, опре­

деляющую вероятность безотказной работы 9JIeMeHTa за

время длительностью t:

R и) = Р (Т > t).

§ 5. Показательный закон надежности

Часто длительность времени безотказной работы

9лемента имеет показательное распределение, функция

распределения которого

F и) = 1- е-'М •

Следовательно, в силу соотношения (*) предыдущего па­

раграфа функция надежности в случае показательного

распределения времени безотказной работы элемента

имеет вид

R (t) = l - F (t) = l-(l-e-A.') = e-A.t.

Покаэательны.м законом надежности называют ФУНК­

цИЮ надежности, определяемую равенством

(см. § 4), эта формула позволяет найти вероятность без­

времени образуют прастейшиii поток, то вероятность того, что за

время длительностью t не наступит ни одного отказа (см. гл. VI, § 6),

P t (О) = е-лt ,

что СОГJlасуется с равенством (*), ПОСКOJIьку л в обеих формулах

имеет один и тот же смысл (постоянная интенсивность отказов).

153

§ 6. Характеристическое своАство показатеJlЬНОГО

закона надежности

Показательный закон надежности весьма прост

и удобен для решения задач, возникающих на практике.

Очень многие формулы теории надежности значительно

упрощаются. Объясняется это тем, что этот закон обла­ дает следующим важным свойством: вероятность безот­

казной работы элемента на интервале времени длитель­

ностью t не зависит от времени предшествующей работы

до начала рассматриваемого интервала, а зависит только

от длительности времени t (при заданной интенсивно­

сти отказов л.).

для доказательства свойства введем обозначения со­

бытий:

А -безотказная работа элемента на интервале (О, /0)

длительностью t o; В-безотказная работа на интервале

ио, to+t) длительностью t. Тогда АВ-безотказная ра­

бота на интервале (О, to + t) длительностью to +t. Найдем вероятности этих событий по формуле (*)

(см. § 5):

р (А) = e-1..t o , р (В) = e-1..t ,

р (АВ) = е-1.. (/.+0 = e-).t. e -1..t.

Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно на интервале ио, to + t) при условии,

что он уже проработал безотказно на предшествующем

Полученная формула не содержит 'о, а содержит только t. Это и означает, что время работы на предшест­

вующем интервале не сказывается на величине вероятно­

сти безотказной работы на последующем интервале, а

зависят только от длины последующего интервала, что

и требовалось доказать.

Полученный результат можно сформулировать несколь­

ко иначе. Сравнив вероятности Р (В) = e-).t и Р.А (В)=е-Лi ,

заключаем; условная вероятность безотказной работы эле­

мента на интервале длительностью t, вычисленная в пред­

положении, что элемент проработал безотказно на пред­

шествующем интервале, равна безусловной вероятности.

154

Итак, в случае показательного закона надежности безотказная работа элемента «В прошлом» не сказывается на величине вероятности его безотказной работы «в бли­

жайшем будущею.

3 а м е ч а н и е. Можно ДОказать, что рассматриваемым Свойством

облаДает т о л ь к о показательное распределение. Поэтому еслн на

пракгике изучаемая случайная величина этим свойством обладает, то она распределена по показательному закону. Например, при допу­

щении, что метеориты распределены равномерно в пространстве и во

времени, вероятность попадания метеорита в космнческий кора6nь

не зависит от того, попадали или не попадали метеориты в корабль

до начала рассматриваемого интервала времени. Следовательно, слу­

чайные моменты времени попадания м.етеоритов в космический корабль

распределены по покаэательному закону.

3аJl,aЧИ

1. Написать функцию распределения F (х) и плотиость

вероятность того, что в результате испытания Х попаДет в интер­

вал (0,4, 1).

Отв. Р (0,4 < Х < 1) =0,13.

З. Непрерывная случайная величина Х распределена по показа­ тельному закону f (х) = 4е-4Х (х > О). Наii:ти математическое ожида­ иие. среднее квадрати ческое отклонение и дисперсию Х.

Отв. М (Х) = а (Х) = 0,25; D (Х) = 0,0625.

4. Время безотказной работы элемента распределено по показа­

тельному закону f(t)=O,Ole- О,оlt{t>О), где t-время, ч.НаЙти

вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч.

Отв. R (100)=0,37.

Глава четырнаАцатая

СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

§ 1. Пон ятие о системе нескольких cnучаАных

величин

До сих пор рассматривались случайные вели­

чины, возможные значения которых определялись одним

числом. Такие величины называют одномерными. Напри­

мер, число очков, которое может выпасть при бросаиии

игральной кости,- дискретная одномерная величина; рас-

155

стояние от орудия до места падения снаряда-непрерыв­

ная одномерная случайная величина.

Кроме одномерных случайных величин изучают вели­

чины, возможные значения которых определяются двумя,

тремя, ... , n числами. Такие величины называются СООт­

ветственно двумерными, трехмерными •... , n-мерными.

Будем обозначать через (Х, У) двумерную случайную величину. Каждую из величин Х и У называют состав­

ляющей (компонентой); обе величины Х и У, рассматри­

ваемые одновременно, образуют систему двух случайных

величин. Аналогично n-мерную величину можно рассмат­

ривать как систему n случайных величин. Например,

трехмерная величина (Х, У, Z) определяет систему трех

случайных величин Х, У и Z.

Пример. Станок-автомат штампует стальные плитки. Если конт­

истолковать либо как случайную точку М (Х, У) на плоскостн (т. е.

как точку со случайными координатами), либо как случайный век-

тер ОМ. Трехмерную случайную величину геометрически можно ис­ TOJJKOBaTb как точку М (Х, У, Z) в трехмерном пространстве или

как вектор ОМ_

Целесообразно различать дискретные (составляющие этих вели­

чин дискретны) и непрерывные (составляющие этих величин непре­ рывны) многомерные случайные величины.

..

§ 2. Закон распределения вероятностеи

дискретной двумерной случайной величины

Законом распределения дискретной двумерной слу­

входом (табл. 2).

Первая строка таблицы содержит все возможные зна­ чения составляющей Х, а первый столбец-все возможные

значения составляющей У. В клетке, стоящей на пере­ сечении «столбца Xj» и «строки Y/~, указана вероятность р (Xj, Yj) того. что двумерная случайная величина примет

156

то сумма вероятностей, помещенных во всех клетках таб­

лицы, равна единице.

Таблица 2

х

Зная закон распределения двумерной дискретной слу­

чайной величины, можно найти законы распределения

каждой из составляющих. Действительно, например, со­

бытия (Х=Х1; Y-=Yl)' (X=X 1; У=У2)' ... , (X=X 1; У=Уm)

случайной велН'IННЫ, заданной закон')!\{ распределения (табл. З).

РеШ е н и е. Сложив веР~ЯТII(;СТИ по столбцам, получим вероят­

ности возможных значениЙ X:P(Xl)=0,16; Р(х2)=0,48; Р(хз)=0,З5.

Напишем закои распределения составляющей Х:

157

Таблица 3

1( о н т р ол ь: 0,16+0.48+0,36= 1.

Cnожив вероятиости по строкам, пмучим вероятности возможных

значений У: Р (gJJ =0,60; Р (gl.' =0,40. Напишем закон распределения

СОСТ8мяющей У:

у У1 У.

Р0,60 0,40

I(онтроль: 0.60+0,40=1.

§ 3. ФУНКЦИЯ распре,цeJJeВИЯ ,цвумерной CJl}'Чaйной

величины

для каждой пары чисел х. у вероятность того, что Х примет значение, меньшее х. и при этом У примет зна­

чение. меньшее у:

F (х, у) = р (Х < х. У < у).

Геометрически это равенство можно истолковать так:

F (х. у) есть вероятность того, что случайная точка (Х. У)

158

попадет в бесконечный квадрант с вершиной (х, у), рас­

положенный левее и ниже этой вершины (рис. 13).

Пример. Найти вероятность того, что в результате испытания составляющая Х двумерной случайной велнчины (Х, У) примет зна­

F (х, у) = ( ~ arctg ; + ~ ) . ( ~ arotg ~ + ~ ) .

Реш е н и е. По определt'нию функции распределения двумерной

случайной величины,

F (х, у) =р (Х < х, У < у).

Положив х = 2, У = 3, получим искомую вероятность

Р(Х<2, У<З)=F(2, З)=(~ arctg ~+~) Х

Х (_1 arctg ~+_1) = (2... .~+_1) . (_1 . ~+_1) =~ . ~= 96_

n 32 n4 2 n4 2441

§ 4. Свойства Функции распределения двумерной

случайной величины

С в о й с т в о 1. Значения функчии распределения

удовлетворяют двойному неравенству

O~P (Х, y)~ 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Свойство вытекает из определе­

ння функции распределения как вероятности: вероят­

ность-всегда неотрицательное число, не превышающее

единицу_

С в о й с т в О 2. F (х, У) есть неубываюЩQЯ Функиия ПО

каждому аргументу, т. е.

и при этом составляющая У < У, можно подразделить на

следующие два несовместных события:

1)Х примет значение, меньшее 1 ' и при этом У < У

свероятностью Р (Х < x1 • У < У);

2)Х примет значение, удовлетворяющее неравенствуx

х. ~ Х < Х2' И при этом У < У с вероятностью Р (x 1 ~

~ Х < х2). у < у).

159

По теореме сложения,

Р(Х<х2• У<у)=Р(Х<хl, Y<y)+P(XI~X <Х2, У<у).

Отсюда

Р (Х <Х2, у <у)- Р (Х <Х1, У<у)= р (Xl~X < Х2, У <у),

или

F (Х2' у)- F (ХI, у) = р (ХI ~ Х < Х2• У < у).

Любая вероятность есть число неотрнцательное, поэтому

F (Х2' у)- F (X 1 , у) ~ О, или F (Х2' у) ~ F (xt , у),

что И требовалось доказать.

Свойство становится наглядно ясным, если восполь­

зоваться геометрическим истолкованием функции распре-

u u

деления как вероятности попадания случаинои точки

в бесконечный квадрант с вершиной (х; у) (рис. 13). При

возрастании Х правая граница этого квадранта сдвигается

u u

вправо; при этом вероятность попадания случаинои точки

в«новый» квадрант, очевидно, не может уменьшиться.

Аналогично доказывается, что F (Х, у) есть неубыва­

ющая функция по аргументу у.

С в о й с т в о 3. Илеют место предельные соотношения:

Свойство становится наглядно ясным, если прибегнуть

к геометрической интерпретации: при х-+-оо правая

граница бесконечного квадранта (рис. 13) неограниченно

сдвигается влево и при этом вероятность попадания слу­

следовательно, попадание случайной точки (Х; У) в эту

плоскость есть достоверное событие.

160