2003_-_Gmurman__TV_i_MS

иаД.lежащее интервалу (х, х+ Ах). Таким образом, пре­

дел отношения вероятности того, что непрерывная слу­

чайная величина примет значение, принадлежащее интер­

ва.'), (х, х+ Ах), к длине этого интервала (при Ах- О)

равен значению плотности распределения в точке х.

По аналогии с определением плотности массы в точке *) uе.lесообразно рассматривать значение функции f (х) 8

точке х как плотность вероятности в этой точке.

Итак, функция f (х) определяет плотность распределе~

НI1Я вероятности для каждой точки х.

Из дифференциального исчисления известно, что при­ ращение функции приближенно равно дифференциалу

функции, т. е.

F (х+ L1x)-F (х) ~ dF (х),

"01111

F (х +Ах)-Р (х) ~ F' (х) dx.

Так как F' (х) = f (х) и dx = L1x. то

F (х+ Ах)- F (х) ~ f (х) L1x.

Вероятностный смысл этого равенства таков: вероят­

ность того, что случайная величина примет значение,

принадлежащее интервалу (х, х+ Ах). приближенно равна

(с точностью до бесконечно малых высшего порядка от­

носительно L\x) произведению плотности вероятности в

точке х на длину интервала L1x.

*) Ес.'!И масса непрерывно распреДt'.'lена вдо.1Ь ОСИ Х по некото­ рому закону. напрнмер F (х). то плотностью р (х) массы в точке х

называют предеn отношения массы IIнтерваJlа (х. х +.1.х) к ДJlIIне

121

Геометрически этот результат можно истолковать так: вероятность того, что случайная величина примет значе­

ние, принадлежащее интервалу (х, х +dX), приближенно

%

площади криволинейного треугольника Аве.

§ 6. Закон равномерного распределения

вероятностей

При решении задач, которые выдвигает практи­ ка, приходится сталкиваться с различными распределе­

ниями непрерывных случайных величин. Плотности рас­

пределений непрерывных случайных величин называют

также законам.и распределений. Часто встречаются, на­

пример, законы равномерного, нормального и показатель­

ного распределений. В настоящем параграфе рассматри­

вается закон равномерного распределения вероятностей.

Нормальному и показательному законам посвящены сле­

дующие две главы.

Распределение вероятностей называют равном.ерным.,

значения случаи нои величины, плотность распределения

сохраняет постоянное значение.

Приведем пример равномерно распределенной непре­ рывной случайной величины.

Пример. Шкала измерительного прибора проградуирована в не­

которых единицах. Ошибку при округлении отсчета до ближайшего

целого деления можно рассматривать как случайную величину Х,

которая может прииимать с постоянной плотностью вероятности лю­

бое значение между двумя соседними целыми делениями. Таким об­

разом, Х имеет равномерыое распределение.

122

Найдем плотность равномерного распределения f (х), считая, что

все возможные значения случайной величины заключены в интерва­

ле (а, Ь), на котором функция f (х) сохраняет постоянные значения: По условию, Х не принимает значений вне интервала (а, Ь),

поэтому '(х)=О при х < а их> Ь.

Найдем постояиную С. Так как все возможные значения CJ\y-

Отсюда

ь

с= 1/ ~ dx= 1/ (Ь-а).

а

Итак, искомаll плотность вероятности равномерного распределе­

ния

(В результате испытаиия) в интервал (с, d), принадлежащий интер-

валу (О, 1), равна его длине:

р (с < R < d)=d-c.

действительно, плотность рассматриваемого равномерного рас­

пределения

f(г)=I/(I-О)=I.

Следовательно, вероятность попадания случайной величины R в ин­ тервал (с, d) (см. гл. XI, § 2)

Р(с < R < d)= ~ f (г) dr= ~ l·dr=d-c.

сс

далее случайная величина R ИСПО.'Jьзуется неоднократно (см. гл. Х Х [).

123

Задачи

1. C.nучаЙная величина задана плотностью распределения

Глава двенадцатая

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

§ 1. Числовые характеристики непрерывных

случайных величин

Распространим определения числовых характе­

ристик дискретных величин на величины непрерывные.

Начнем с математического ожидания.

Пусть непрерывная случайиая величина Х задана плот­

ностью распределения f (х). Допустим, что все Iюзможные

124

значения Х принадлежат отрезку [а, Ь]. Разобьем этот

х[ на вероятности попадания их в интервал L\Xj (напом­

ним, что произведение f (х) L\x приближенно равно вероят­ ности попадания Х в интервал L\x):

~ xif (Xl) L\XI'

Перейдя к пределу при стремлении к нулю длины наи­

большего из частичных отрезков, получим определенный

ь

интеграJI ~ х! (х)dx.

а

Математическим ожиданием непрерывной случаЙНОЙ

величины Х, возможные зНачения которой принадлежат

отрезку [а, Ь], называют определенный интеграл

ь

М (Х) = ~ х' (x)dx.

а

Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то

..

М(Х)= Sxf(x)dx.

Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсо-

зависело бы от скорости стремления (в отдельности) ниж­

него предела к -00, а верхнего-к +00.

По аналогии с дисперсией дискретной величины опре­

деляется и дисперсия непрерывной величины.

дисперсией непрерывной случайной величины называют

математическое ожидание квадрата ее отклонения.

Если возможные значения Х принадлежат отрезку

[а, Ь], то

ь

D(X)= ~ [х-М (X)]2f(x)dx;

а

125

если возможные значения принадлежат всей оси х, то

со

D(X) = S [х-М (Х)]'f (х)dx.

Среднее квадратическое отклонение неnрерШJНОU слу­

чайНой величины определяется, как и для величииы диск­

ретной, равенством

а (Х) = VD (Х).

3 а м е ч а н и е 1. Можно доказать, что свОйства математического

ожидаиия и дисперсии дискр~ных величин сохраняются и для непре­

рывных величин.

3 а м е ч а н и е 2. Легко получить для вычисления .IOIсперсин

более удобиые формулы:

ь

D (Х)= ~ х2/ (х) ш-[М (X)]I,

lJ

со

D (Х)= ~ хl/ (х)dx-[M (Х»)I.

-..,

При.ер 1. Найти математическое ОЖи,l.анне и дисперсию случай­ ной величины Х, задаиной функцией распределения

Найдем математическое ОЖИДание по формуле (*):

J I

М(Х)= ~ x.l.dx=x2/21 = 1/2.

Найдем дисперсию по формуле (**):

D (Х)= ~ Х1.l.dx-[1/2]I=ХS/З!-1/4=1/12.

Пример 2. Найти математическое ожидание н дисперсию иепре­

рывной случайной велнчины Х, распределениой равномерно в иитер­

вале (а, Ь).

Реш е н и е. Найдем математическое ожидание Х по формуле (*),

учитывая, что плотность равиомерного распределения I (х) = I/(b - а)

126

(см. гл. XI, § 6):

ьь

М(Х)= Sxf (х) dx = Ь_1 а5хdx.

аа

Выполнив элементарные выкладки, получим

Выполнив элементарные выкладки, получим

D (Х) = (b-a)2/12.

3 а м е ч а и и е 3. Математическое оЖидание и дисперсия случай­

в примере 1 по заданной функции распределения случайной вели­ чины R.

§ 2. HOpM3.lJbHOe распределение

Нормальным называют распределение вероятно­

стей непрерывной случайной величины, которое описы­

а У2п

Мы видим, что нормальное распределение определяется двумя nара.метра.ми: а и а. Достаточно знать эти пара­ метры, чтобы задать нормальное распределение. Покажем.

что вероятностный смысл этих параметров таков: а есть

Математическое ожидание, о-среднее квадратическое

отклонение нормального распределения.

а) По определению математического ожидания непре-

Введем новую переменную г=(х-а)/а. Orсюда х=аг+а. dx = а dz. Приняв во внимание. что новые пределы инте-

127

грирования равны старым, получим

Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла

нечетная функция; пределы интегрирования симметричны

относительно начала координат). Второе из слагаемых

равно а (интеграл Пуассона 3..,e- z '/2 dz = V2n ).

Итак, М (Х) = а, т. е. .математическое ожидание нор­ АЮльного распределения равно nара.м.етру а.

б) По определению дисперсии непрерывной случайной

о }"2n

-ао

Введем новую переменную г=(х-а)/О'. Отсюда x-а=О'г, dx = О' dz. Приняв во внимание. что новые пределы инте­

грирования равиы старым. получим

Интегрируя по частям, положив и = г, dv = ze-zl/ 2 dz,

найдем

D (Х) = а'.

Следовательно,

о (Х) = VD (Х) = V02 =0.

Итак, среднее квадраmическое отклонение нор.м.ального

распределения равно nара.м.етру а.

рами а=О и 0= 1. Например, если Х-иормальная величина с пара­

метрами а и О, то 'U = (Х - а)/о - нормированиая нормальиая вели­

чина, причем М (U) =0. О (U) = 1.

128

Плотиость нормированного распределения

а функция нормированного распределения

хх

Р(О < х < х)=S<р(х)dx= ~5е-г"'" dz=Ф (х).

оо

-ОС>

~ГKO получить, что

Fо (х) = 0,5 +Ф (х).

ДеАствительио,

~W=р(-~<Х<~=р(-QO<Х<Щ+Р~<Х<~=

=0,5+ ф (х).

§ 3. Нормальная кривая

График плотности нормального распределения

называют нормальной кривой (кривой Гаусса).

Исследуем функцию

а y'2n

методами дифференциального исчисления.

1. Очевидно, функция определена на всей оси х.

'(х)

Рис. 7

2. При всех значениях х функция принимает поло­

жительные значения, т. е. нормальная кривая располо­

жена над осью Ох.

3 Предел функции при неограниченном возрастании х

(по абсолютной величине) равен нулю: Нт у = О, т. е.

Ixl-+<x>

ось Ох служит горизонтальной асимптотой графика.

4. Исследуем функцию на экстремум. Найдем первую

производную:

равный 1/(crV2п).

5. Разность х-а содержится в аналитическом выра­

жении функции в квадрате, т. е. график функции сим-

u

метричен относительно прямои х = а.

6. Исследуем функцию на точки перегиба. Найдеu

130