2003_-_Gmurman__TV_i_MS

Легко видеть, что при х = а+(1 и Х = а- (1 вторая

производная равна нулю, а при переходе через эти точки

она меняет знак (в обеих этих точках значение функuии

равно 1/«1)I2Ле». Таким образом, точки графика (а-а,

1/«1 У2Яе» и (а+ 0', 1/(0' V2Пе» являются точками пе­

региба.

На рис. 7 изображена нормальная кривая при а = 1

и 0'=2.

§ 4. Влияние параметров иормaJlЬИОГО

распределення на форму нормальной кривой

Выясним, как влияют на форму и расположение

нормальной кривой значения параметров а и О.

Известно, что графики функций f (х) и f (х-а) имеют

одинаковую форму; сдвинув график f (х) в положитель­

если изменяется параметр (J

(среднее квадратическое отклонение). Как было указано

впредыдущем параграфе, максимум дифференциальной

функции нормального распределения равен 1/(0' V2л:).

Огсюда следует, что с возрастанием (1 максим,альная орди­

ната нормальной кривой убьюает, а сама кривая стано­

вится более пологай, т. е. сжи.мается к оси Ох; при

убьюании о' нормальная кривая становится более «остро­

вершинной» и растягивается в положительном направле­

нии оси ау.

Подчеркнем, что при любых значениях параметров а

И о площадь, ограниченная нормальной кривой и осью х,

ОСтается равной единице (см. гл. XI, § 4, второе свойство

ПЛотности распределения).

На рис. 8 и'юбражены нормальные кривые при раз­

личных значениях О' и а = О. Чертеж наглядно иллюстри­

рует, как изменение параметра (} сказывается на форме

§ 5. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Уже известно, что если случайная величина Х

задана плотностью распределения f (х), то вероятность

того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу

(а. р), такова:

fI

Р (а < х < ~) = ~ f (х)dx.

а

Пусть случайная величина Х распределена по нор­ мальному закону. Тогда вероятность того, что Х примет

значение, принадлежащее интервалу (а, ~), равна

fI

р (а < х < ~) = о У12_п Sе-(х-а)2/(2а") dx.

о:

Преобразуем эту формулу так, чтобы можно было

пользоваться готовыми таблицами. Введем новую пере­

менную z = (х-а)/О'. Отсюда х = О'г+а, dx= О' dz. Найдем

новые пределы интегрирования. Если х=а, то z=(a-а)fО';

если х =~, 10 Z = (~-a)j(}.

Таким образом, имеем

(fI-sа)/о

р (а < х <~) = ; - e- ZI / 2 «}dz) =

о2п

132

Пользуясь функцией Лапласа

Пример. Cnучайная величина Х распределена по нормальному закоНу. Математическое ожидание и среднее квадратическое откло­

ненне этой величины соответственно равны ЗО и 10. Найти вероят­ ность того, что Х примет значение. принадлежащее интервалу (/0, 50).

Реш е н и е. Воспользуемся формулой (*). По условию, а = 10. Р = 50, а = ЗО, а = IО, следовательно,

мая вероятность

р(10 < х < 50)=2.0,4772=0,9544.

§6. Вычисление вероятности заданного отклонения

Часто требуется вычислить вероятность того, что

отклонение нормально распределенной случайной вели­ чины Х по абсолютной величине меньше заданного по­

ложительного числа б, т. е. требуется найти вероятность осуществления неравенства IХ -а j < б.

Заменим это неравенство равносильным ему двойным

Р(, X-al < б)=Р(а-б < Х <а+б)=

= Ф [ (а +~)- а J_ ф [(а-~)- а] = Ф ( ~ ) _ ф ( _ : ) •

Приняв во внимание равенство

Ф (-б/а) = - Ф (б/а)

(функция Лапласа-нечетная), окончательно имеем Р ( IХ - а I < б) = 2ф (б/а).

В чаС1ПОСТИ, при а = О

Р ~ IХ I < б) = 2ф (б/а).

133

На рис. 9 наглядно показано, что если две случайные

величины иормально распределены и а = О, то вероятность

принять значение, принадлежащее интервалу ( - б, б),

'(х)

больше у той величины, кото­

рая имеет меньшее значение о.

Этот факт полностью соответ­

по абсолютной величине будет меиьше трех.

Реш е н и е. Воспользуемся формулой

Р (1 Х-а 1< 3)=2Ф (3/0).

По условию, 3 = 3, а = 20, 0=10. Следовательно,

Р <1 Х-20 I < 3) = 2ф (3/10) = 2ф (0,3).

ПО таблице приложения 2 иаходим Ф (0,3) =0,1179.

Искомая вероятиость

Р ( I Х - 20 I < 3) = 0,2358.

§ 7. Правило трех сигм

Преобразуем формулу (см. § 6)

Р (1 Х-а 1< 30)= 2ф (3)= 2·0,49865 = 0,9973,

т. е. вероятность того, что отклонение по абсолютной

величине будет меныпе утроенного среднего квадратиче­

ского отклонения, равна 0,9973.

134

)Jругими словами, вероятность того, что абсолютная

велнчина отклонения п р е в ы с и т утроенное среднее

квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна

0,0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может

произойти. Такие события исходя из принципа невозмож­

ности маловероятных событий можно считать практически

невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от мате.матиче­

ского ожидания не nревосходит утроенного среднего квад­

ратического отклонения.

На практике правило трех сигм применяют так: если

u u u

распределение изучаемои случаинои величины неизвестно, но УС.7JOвие, указанное в приведенном правиле, выпол­ няется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена НОРМdЛЬНО.

§ 8. Лонятие о теореме Ляпунова. Формулировка

центральной предельной теоремы

Известно, что нормально распределенные случай­

ные величины широко распространены на практике. Чем это объясняется? Ответ на этот вопрос был дан выдаю­

щимся русским математиком А. М. Ляпуновым (централь­

ная предельная теорема): если случайная величина Х пред­

ставляет собой сумму очень большого числа взаимно неза­ висимых случайных величин, влияние каждой из которых

на всю CYJ.tMY ничтожно мало, то Х имеет распределение,

близкое к нормальному.

Пример. Пусть производится измерение некоторой физической

величины. Любое измерение дает лишь приближенное значеиие изме­ ряемой величины, так как на результат измерения влияют очень многие независимые случэйные факторы (температура, колебания прибора,

влажность и др.). Каждый из этих факторов порождает ничтожную «частную ошибку». Однако, поскольку число этих факторов очень велико, их совокупное действие порождает уже заметную «суммар­

иую ошибку».

Рассматривая СУМ1IIарную ошибку как сумму очень большого числа взаимно независимых частных ошибок, мы вправе заключить,

что СУl>lмарная ошибка имеет распределение, близкое к нормальному.

Опыт подтверждает Сllраведливость такого заключения.

Приведем формулировку центральной предельной тео­

ремы, l<оторая устанавливает условия, при которых сумма

135

большого числа независимых слагаемых имеет распреде­

ление, близкое к нормальному.

Пусть X 1 , X z' ..• , Хn• ••• - последовательность неза­

висимых случайных величин, каждая из которых имеет

конечные математическое ожидание и дисперсию:

М (X k ) = ak' D (X k ) = bl.

Введем обозначения:

Обозначим функцию распределения нормированной суммы

через

одинаково распределены, то к этой последовательности

применима центральная предельная теорема, если диспер­

стремится к нулю (условие Ляпунова), то к последова­

тельности Х1, Х2• ••• применима централь-ная предельная

теорема.

Сущность условия Ляпунова состоит в требовании,

чтобы каждое слагаемое суммы (Sn-An}/Bn оказывало на

сумму ничтожное влияние.

3 а м е ч а и и е. Для ДОКазательства центральной предельной тео­ ремы А. М. Ляпунов использовал аппарат характеристических ФУНК­

ций. Характеристической функцией случайной величины Х наЗЫвают

функцию IP (/) = М [еих J.

136

Для дискретной случайной величииы Х с возможными значениями

Xk и их вероятностями Pk характеристическая функция

IP (t) = ~ e,txk Pk.

k

Для непрерывной случайной величины Х с плотностью распре­ деления I (х) ха рактеристичеСI{ая ф) нкция

OD

IP (t) = ~ eitx f (х) ш.

- OQ

Можно доказать, что характеристическая функция суммы "еза­

'Висимых случайных величин равна произведению характеристических

функций слагаемых.

§ 9. Оценка отклонения теоретического

распределения от нормального.

Асимметри я и эксцесс

Э-мnирически-м называют распределение относи­ тельных частот. Эмпирические распределения изучает

математическая статистика.

Теоретически-м называют распределение вероятностей.

Теоретические распределения изучает теория вероятностей.

В :,том параграфе рассматриваются теоретические распре­

деления.

При изучении распределений, отличных от нормаль­

ного, возникает необходимость количественно оценить это

различие. С этой целью вводят специальные характери­ стики, в частности асимметрию и эксцесс. Для нормаль­

ного распределения эти характеристики равны нулю.

Поэтому если для изучаемого распределения асимметрия

и эксцесс имеют небольшие значения, то можно предпо­

ложить близость этого распределения к нормальному.

Наоборот, большие значения асимметрии и эксцесса ука­

зывают на значительное отклонение от нормального.

Как оценить асимметрию? Можно доказать, что для симметричного распределения (график такого распреде­

ления симметричен относительно прямой х = М (Х» каждый центральный момент нечетного порядка равен нулю. Для

несимметричных распределений центра.1ьные моменты не­

четного порядка отличны от нуля. Поэтому любой из этих

Моментов (кроме момента первого порядка, который равен

нулю для любого распределения) может служить для

оценки асимметрии; естественно выбрать простейший из

Них, Т. е. момент третьего порядка f-tз. Однако принять

этот момент для оценки асимметрии неудобно потому, что

137

его величина зависит от единии, в которых измеряется

случайная величина. Чтобы устранить этот недостаток, J-tз делят на аЗ и таким образом получают безразмерную

характеристику.

Асимметрией теоретического распределения называю'!'

отношение центрального момента третьего порядка к кубу

среднего квадратичеСI<ОГО отклонения:

As = J-tз/О'З.

Асимметрия положительна, если «длинная часть» кри­ вой распределения расположена справа от математического

подъема кривой теоретического распределения по сравне­

138

ния отличается от нормальной кривой: если эксцесс

положитедьный, то крнвая имеет более высокую и «острую.

вершину, чем нормальная кривая (рис. 11, а); если эксцесс

отрицательный, то сравниваемая кривая имеет более низ­

кую и «плоскую» вершину, чем нормальная кривая

(рис. 11, б). При этом предполагается, что нормальное и

теоретическое распределения имеют одинаковые матема­

тические ожидания и дисперсии.

§ 10. Функци Я одного случайного аргумента

иее распределение

Предварительно заметим, что далее, вместо того

чтобы говорить «закон распределения вероятностей», бу­

дем часто говорить кратко-«распределение».

Если каждому возможному значению случайной вели­

чины Х соответствует одно возможное значение случайной

величины У. то У называют функцией случайного аргу­ мента Х:

у = q> (Х).

Далее показано, как найти распределение функции по

известному распределению дискретного и непрерывного

аргумента.

1. П у с т ь а р г у м е н т Х -д и с к р е т н а я с л у­ чай н а я в е л и ч и н а.

а) Если различным возможным значениям аргумента

Х соответствуют различные возможные значения функции

У, то вероятности соответствующих значений Х и У между собой равны.

Пример 1. Дискретная случайная величина Х задана распреде­

лением

х 2 3

Р0,6 0,4

Найти распределение функции У =Х2 •

Реш е н и е. Найдем возможные значения У;Уl =22=4; Уа=32 =

= 9. Напишем нскомое распределение У:

б) Если различным возможным значениям Х соответ­

ствуют зиачения У, среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся

3}lЗчений У.

139

Пример 2. Дискретная CJ\учайиая веЛичина Х задана распреде·

лением

Найти распределеиие функции У = XI.

Реш е н и е. Вероятность возможного значеиия Уl = 4 равна сумме

2. n у с т ь ар r у м е н т Х - н е пр еры в н а я с л у­

чай н а я в ел и ч и н З. Как найти распределение функ­

ции У = <р (Х), зная плотность распределения случайного аргумента Х? Доказано: если у = <р (х)-дифференцируе­

мая строго возрастающая или строго убывающая функция. обратная функция которой х = Ф (у), то плотность рас­

пределения g(y) случайной величины У находится с по­

мощью равенства

g(y) = f ['1' (у)] Iф' (у) 1·

Пример 3. Случайная величина Х распределена нормальио, при­

чем ее математическое ожидание а = о. Найти распределение функ­

цИИ У=Х3.

Реш е н и е. Так как фуикция у = х8 дифференцируема и строго

возрастает, то можно применить формулу

g (у) = f I'Ф (у)] 1'1" (у) 1·

НаАдем функцию, обратную функции у = х3 :

'\J(y)=x=y1/3.

Найдем f ['i' (у»). По условию,

поэтому

а У2п

Найдем пронзводную обратной функции по у:

140