2003_-_Gmurman__TV_i_MS

Напншем уравненне правдоподобия, для чего приравияем пер­

вую производную иулю:

(~ХIIА)-n=О.

Найдем критнческую точку, для чего решим полученное уравне­

ние относнтельно А:

A=~Xifn=XB'

Найдем вторую производную по А:

Легко видеть, что при А = хв вторая производная отрицательна;

следовательно, А=хв-точка макснмума и, значит, в качестве оценка наибольwого праВДОП04обия параметра А распределения Пуассоиа

надо принять выборочкую среднюю л*=хв.

Пример 2. Найти методом наибольшего правдоподоБИЯ оценку

что 6=р:

Найдем логарифмическую функцию правдоподобия:

10 L= lп (С':.'С':.") +(ml +т.) 10 р + [(nl +nl)- (тl +mJJ lп (I-p).

НаЙдем первую ПРОНЗВОДIJУЮ по р:

Напишем уравнение правдопод.обия, д,IIя чего приравняем первую

пронзводную нулю'

(nl +nl) - (тl +та) -О.

I-р

231

Напишем уравнение правдопод()бия, д,IIя чего прнравняем первую

производную нулю:

(nр..)-}:; Xj=O.

Найдем критическую точку, для чего решнм полученное уравне­ ние относительно А:

A=n!~ Xj= I/(~ Xi/n) = l!xB •

Найдем вторую пронзводную по А:

Легко вндеть, что при А = '/Хв вторая производная отрицательна;

следовательно, л= l/хв-точка максимума и, значнт, в качестве

оценки нанбольшего правдоподобия параметра л показательного рас­

пределения надо принять величину, обратную выборочной средней:

А*= l/xB •

3 а м е ч а н и е. Если плотность распределения f (Х) непрерывной

случайной величины Х опредf'ЛЯется двумя нензвестнымн парамет­

Реш е н н е. Составим функцию правдоподобия, учитывая, что

61 =а и 62=0:

L= 1

о У2п

Orсюда

2ЗЗ

Например, для ряда

тики рассеяния вариационного ряда.

Коэффициенто.м вариации V наз~вают выраженное в

процентах отношение выборочного среднего квадратичес­

кого отклонения к выборочной средней:

V = ав/х•. 1ОО%.

Коэффициент вариации служит для сравнения величин

рассеяния по отношению к выборочной средней двух

вариационных рядов: тот из рядов имеет большее рас­

сеяние по отношению к выборочной средней, у которого

коэффициент вариации больше. Коэффициент вариации­

безразмерная величина, поэтому он пригоден для срав­

нения рассеяний вариационных рядов, варианты которых

имеют различную размерность, например если варианты

одного ряда выражены в сантиметрах, а другого-в грам­

мах.

3 а м е ч а н и е. Выше предполагалось, что вариационный ряд

составлен по данным выборки, ПО9Тому все описанные характерис·

тики называют 8Ь1борочftbUlU; если вариационный ряд составлен по

данным генеральной совокупности, то характернстикн называют ине·

PaAbftblMU.

Задачи

Omв. Хl =0,41; xl=O,23.

2. Найти общуlO среднюю по данным задачн 1 двумя способами:

8) объедннить обе группы в одну совокупность; б) нспользовать наЙ· денные в задаче 1 групповые средние.

Omв. х= 0,29.

235

3. Дано распределение статистической совокупности:

Убедиться, что сумма произведеннй отклонений на соответствуюшне

частоты равна нулю.

4. Дано распределение статистической совокупности:

Найти дисперсию совокупности: а) исходя из определения диспер­

сии; б) пользуясь формулой D=x2-[X]2.

Отв. D =9,84.

5. Найти внутригрупповую, межгрупповую и общую дисперсии

совокупности, состоящеQ из трех групп:

8. Найти внутригрупповую, межгрупповую и общую дисперсии

совокупности, состоящей из двух групп:

ni 2 8

Отв. Dвигр=5;~Dкежгр=l; Dобщ=6.

7. Найти выборочную и исправленную дисперсни варнационного

ряда, составленного по даиным выборкам:

нака. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного мате·

матического ожидания с заданной надежностью.

8. 0=2, хв=5,40, n=10, 1'=0,95.

Оmв. 4,16 < а < 6,64.

9. 0=3, xB=20,1~. n=25, 1'=0,99.

Omв. 18,57 < а < 21,67.

10. Найти миннмальный объем выборки, при котором с надеж­

ностью 0,95 точность оценки математического ожидания нормально

распределенного признака по выборочной средней будет равна 0,2, если среднее квадратическое отклоненне равно 2.

у к а з а н и е. СМ. замечание 2, § 15.

Отв. n=385.

Взадачах 11-12 даны «исправленное» среАнее квадратическое

откnонение, выборочная средняя и объем малой выборки нормально распределенного признака. Найти, пользуясь распределением Стью-

236

дента, доверительные ннтервалы д,IIЯ оценки неизвестного математи­

ческого ожидания с заданной надежностью.

истиниое значение а измеряемой величины и точность измерений а

с надежностью 0,95.

Оmв. 22,948 < а< 23.374; 0,224 < 0<0,576.

14. Найти доверительный интервал для оценки нензвестной ве­

роятности р биномиального распределения с надежностью 0.95,

если в 60 нспытанияХ событие появилось 18 раз.

Omв. 0,200 < р < 0,424.

15. Найти методом моментов точечную оценку эксцесса Ek =

= mf,/a4-3 теоретического распределения.

Оmв. ek=тf,/a~-3.

18. Найти методом моментов точечные оценки параметров а. н ~

гамма-распределеиня

'(х)= ~a+lг~a+l) xCte-Х/р(а.> -1. Р>О, x~O).

Глава семнадцатая

МЕТОДЫ РАСЧЕТА СВОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

ВЫБОРКИ

§ 1. Условные варианты

Предположим. что варианты выборки располо­

жены в возрастающем порядке. т. е. в виде вариацион­

ного ряда.

Равнооmсmоящuмu называют варианты. которые обра· вуют арифметическую прогрессию с разностью h.

237

УС.ltООНЬUtи называют варианты, определяемые равен­

ством

иi = (x,-C)/h.

где С-ложный нуль (новое начало отсчета); h-шаг,

т. е. разность между любыми двумя соседними первона­

чальными вариантами (новая единица масштаба).

Упрощенные методы расчета сводных характеристик

выборки основаны на замене первоначальных вариант

условнымр.

Покажем. что если вариационный ряд состоит из равно­

ложного нуля произвольную варианту, например хm•

Тогда

=и/-также целое число.

3 а м е ч а н и е 1. В качестве ложного иуля можно принять лю­

бую варнанту. Максимальная простота вычислений достигается, если выбрать в качестве ложного нуля варианту, которая расположена

примерно в середиие вариационного ряда (часто такая варианта

имеет наибольшую частоту).

3 а м е ч а н и е 2. Варианте, которая принята в качестве лож­

ного нуля, соответствует условная варианта, равная нулю.

Пример. Найти условные варианты статнстического распределения:

Реше и и е. Выберем в качестве ложного нуля варианту 33,6

(па варианта расположена в середине вариационного ряда).

Найдем шаг:

h= 28,6-23,6=5.

Найдем условную варианту:

"1 = (xI-С)/h = (23,6-33,6);5= -2.

Аналогично получим: "1 = - 1, "з = О, и. = 1, иъ = 2. Мы видим,

'IТO условные вариантынеБОJlьшие целые числа. Разумеется, опе­

рировать с ними проще, чем с первоначальнымн варнантами.

§ 2. Обычные, наЧ8.JIьные и центраJlьные

8Мпирические моменты

Для вычисления сводных характеристик выборки

удобно ПOJlьзоваться эмпирическими моментами, опре..це­

Jlения которых аналогичны определениям соответствую-

2з8

щих теоретнческих моментов (см. гл. VHI, § 10). В от­

личие от теоретических змпирические моменты вычисляют

по данным наблюдений.

Обычны'м эмnирически'м ,Моменто,М порядка k называют

среднее значение k-x степеней разностей Х, -С:

M k= (~ni (Xj-C)k)/n,

где Хj-наблюдаемая варианта, n,-частота варианты,

n = ~nl-объем выборки, С-произвольное постоянное

число (ложный нуль).

Начальным Э'мnирически'м ,Мо,Менто,М порядка k назы­ вают обычный момент порядка k при С = О

M k = (~nIX:)/n'

в частности,

М1 = (~n,XI)/n = Хв,

т. е. начальный эмпирический момент первого порядка

равен выборочной средней.

Центральны'м Э'мnирическим ,Моментом порядка k на-

зывают обычный момент порядка k при С = ХВ

mk = {Dj (Х; - x B )1f)/n.

в частности,

т. е. центральный эмпирический момент второго порядка равен выборочной дисперсии.

Легко выразить центральные моменты через обычные

(рекомендуем читателю сделать это самостоятельно):

§ 3. Условные 8мпирические моменты.

Отыскание центраJlЬНЫХ моментов по условным

Вычисление центральных моментов требует до-

вольно громоздких вычислений. Чтобы упростить рас­

четы, заменяют первоначальные варианты условными.

Условны..м Э'мnирически'м ,Мо,Менто,М порядка k называ­

ют начальный момент порядка k, вычисленный для ус-

2э9

В частности,

Отсюда

xB=M~h+C.

Таким образом, для того чтобы найти выборочную сред­

нюю, достаточно вычислить условный момент первого

порядка, умножить его на h и к результату прибавить ложный нуль С.

Выразим обычные моменты через условные:

Отсюда

M k= Mkhk •

Таким образом, ,идя того чтобы найти обычный момент

порядка k, достаточно условный момент того же порядка

умножить на hk •

Найдя же обычные моменты, легко найти централь­

ные моменты по равенствам (**) и (***) предыдущего

параграфа. В итоге получим удобные для вычислений

формулы, выражающие центральные моменты через ус­

ловные:

щего параграфа получим формулу для вычисления выбо­

рочной дисперсии по условным моментам первого и вто­

рого порядков

Техника вычислений центральных моментов по услов­

ным описана далее.

240