2003_-_Gmurman__TV_i_MS
.pdfто первое слагаемое принимает вид |
|
~тj (Xj- х1)2 = N lDlrp + N 1 (х1-Х)I. |
(**) |
Аналогично можно представить второе слагаемое чи
слителя (*) (вычтя и прибавив Х2):
~ni (Xi-x)1 = N1D.rp+N. (хlI- х)l.
Подставим (**) и (***) в (*):
Dобщ = (N lDlrp +N2D2ГP)/n +
+ (N1 (Х1- х)2 + N 2(Х.- Х)I)/n = Dвигр +Dмеж1,1"
Итак,
Dобщ= DBBrp + D.ежгр•
Пример, иллюстрирующий доказанную теорему, приведеи
в предыдущем параграфе.
3 а м е ч а н н е. Теорема нмеет не ТOJJЬKO теоретическое, но и
важное практическое зиачение. Например, еслн в резуnьтате набто
деНIJА получены несколько групп значеинй прнзнака, то ДJlЯ вычис
пения общей дисперсни можно группы в единую совокупиость не
объединять. С другой стороны, если совокупность имеет бonьmоА
объем, то целесообразно разбить ее на несколько ·групп. В том и
другом случаях непосредствеиное вычисление с6щей дисперсии заме
ияется вычислением дисперснй отдельных групп, что с6nегчает рас
четы.
§ 13. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной
Пусть И3 генеральной совокупности в резуль
тате n независимых наблюдений над количественным при знаком )( извлечена повторная выборка объема n:
значения |
признака. . . |
. .. |
. X1 Х• ... Xk |
частоты. |
. . . • • . . |
. . . . |
. n 1 111 • •• nk |
При этом n1 +n. + ... +nk = |
n. |
|
Требуется по данным выборки оценить (приближенно
найти) неизвестную генеральную дисперсию D r • Если в ка честве оценки генеральной дисперсии принять выборочную
дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематиче
ским ошибкам, давая заииженное значение генеральной
дисперсии. Объясняется это тем, что, как можно дока
зать, выборочная дисперсия является смещенной оценкой
D r , другими словами, математическое ожидание выбороч ной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дис-
14* |
211 |
персии, а равно
Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы
ее математическое ОЖИДание было равно генеральной
дисперсии. Достаточно для этого умножить D B на дробь n/(n-l). Сделав это, получим исправленную дисперсию,
которую обычно обозначают через 511:
|
|
k |
вll = n |
D _ n |
~ n{ (х{ - хв)2 |
:..1;::=.:..'_____ |
||
n-I |
b-n_1 |
n |
Исправленная дисперсия является, конечно, несме
щенной оценкой генеральной дисперсии. Действительно,
М[Sl] = М [n~I D B ] = n~1М [D B ] = n~I • n-;; I Dr= D r.
Итак, в качестве оuенки генеральной дисперсии при
нимают исправленную дисперсию
ВII=( ±n{ (X;-XB)I)/<n-l).
t =,
Для оuенки же среднего квадратического отклонения
генеральной совокупности используют «исправленное»
среднее квадратическое отклонение, которое равно квад
ратному корню из исправленной дисперсии:
Подчеркнем, что S не является несмещенной оценкой;
чтобы отразить этот факт, мы написали и будем писать
далее так: «исправленное» среднее квадратическое откло
нение.
3 а м е ч а н и е. Сравиивая формулы
D B(~n{ (x{-хв)'А)/n |
и S2=(~ n{ (Х{-Х)II )/(n-О, |
видим, что они ОТличаются |
лишь зиаменателями. Очевидно, при |
достаточно большнх значеииях n объема выборки выборочная и исправ
ленная дисперсии различаются мало. Ив. практике пользуются исправ
n < 30.