2003_-_Gmurman__TV_i_MS

12. Прн стрельбе из виитовки отиосительиая чаСТОта попадания

в цель оказалась равиой 0,85. НаЙ1И число попадаиий, если всего

было проиэведено 120 выстрелов.

OtnJl. 102 попадаиия.

13. На отрезок ОА длииы L числовой оси Ох иаудачу постав­ лена точка В (х). НаАти вероятность того, что меньший роз отрезков

ОВ н ВА имеет длину, меиьшую, чем L/З. Предполагается, что веро­

RТHOCТb попадаиия точки на отрезок ПРОПОРЦИОН8льна длине отрезка

и ие зависит от его расположения на числовой ос...

Оmв. р=2/З.

14. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найтн

вероятность того, что точка окажется внутрн вписанного в к руг

квадрата. Предполагается, что вероятность попадания точки в квад­

рат ПРОlIорциональна площади квадрата и не зависиТ от его распо­

Глава вторая

ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

§ 1. Теорема сложения вероятностей

несовместных событиА

Суммой А + В двух событий А и В называют

событие, состоящее в появлении события А, или собы­

тия В, или обоих этих событий. Например, если из ору­ дия произведены два выстрела и А -попадание при пер­

ром, или в обоих выстрелах.

В частности, если два события А и В-несовместные, то А + В-событие, состоящее в появлении одного из

:;}тих событий, безраз.тшчно какого.

31

одиого из следующих событий: А, В, С, А И В, А и

С, В И С, А и В и С.

Пусть соБЫТИЯ А и В-иесовместные, причем веРОЯТ­

ности зтих событий известны. Как найти вероятность

того, что наступит либо событие А, либо событие В? orвeт на зтот вопрос дает теорема сложения.

Теорема. Вероятнocmь появления одного из двух нecotl­

.мeemНblX собbltnий, безразлично КIlJCOZO, pa8Нil сумме веро­

яmнocmeй этих собbltnий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем обозначения: n - общее

число возможных злементарных ИСХОДОВ испытания; nIи.­

число исходов, благоприятствующих .событию А; ml -

чнсло исходов, благопрнятствующих событию В.

Число злементарнblX исходов, благоприятствующих

Р (А -1- в) = Р (А) + Р (В).

Следствие. Верояmнocmь nОЯВАения одного из не­

ClWАЬ1ШХ попарно ~НbIX событий, беЭра3лич.но

КЛкoгtJ, JX18IШ сумме вероятностей этих собшnий:

р (А1+ А1 + ... + А.) = Р (А.)+ Р (А,) + ... + Р (А.).

Д о к а з а т ~ л ь с Т в о. Рассмотрнм три события: А, В

и С. Так как рассматрнваемые события попарно несов­ м:ествы, ТО появление ОДНОГО нз трех событий, А, В и С, равноснльно наступлению ОДНОГО нз двух событий, А +В

н С, позтому в силу указанной теоремы

Р(А +В +С)= Р [(А +В)+С] = Р (А+В)+Р(С) =

=Р (А) + Р (В) +Р (С).

Для ПРОИЗВOJlьного чнсла попарно несовместнЫХ собы­ тий JЮказательство проводится методом математической

вВДyiЩин.

п,...' 1. в урне зо шаров: 10 красных, 5 синих н 15 бuых.

Иаtтв _POJIТIIOCТЬ nOJlмeИRJl цветного шара.

Реш е и не. ПоJlвпевне цветного шара ознаоаает ПОJl8.lleВIIe Jlнбо

_ресвоro, ..ибо овею шара.

з2

Вероятиость появления красиого шара (событие А)

р (А) = )0/30= 1/3.

Вероятиость появления синего шара (событие В)

р (В) = б/30 = 1/6.

Событня А И В несовместны (появление шара одного цвета исклю­

чает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения при­

менима.

Искомая вероятность

р (А +В)= Р (А) +Р (В) = 1/3+ 1/6= 1/2.

Пример 2. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 об­ пасти. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во

вторую-О,35. Найти вероятно::ть того, что стрелок при одном

вОДIlУ область исключает попадание в другую), поэтому теорема

сложения применима.

Искомая вероятность

р(А +В) = Р (А) +- Р (В) =0,45+0,35=0,80.

§2. Полная группа событий

Теорема. Сумма вероятностей событий A 1 ,

.. ., Аno образующих полную группу, равна единице:

Р (A 1 )+ Р (А2) + ... +Р (Аn) = 1.

Д о к а 3 а т е -'I ь С Т В о. Так как появление одного из

событий полной группы достоверно, а вероятность досто­

верного события равна единице, то

Любые два события полной группы несовместны,

поэтому можно применить теорему сложения:

P(A 1 +A 2 + .. · +A n )=P(A1 )+P(A2 )+·· .+Р(Аn)· (**)

Сравнивая (*) и (**), получим

P(A 1 )+P(A 2 )+ ... +Р(Аn}= 1.

Пример. Консультационный пункт института получает пакеты

с контрольными работами из городов А, В и С. Вероятность пму­

чения пакета из города А равна 0,7, из города В- 0,2. flайти веро­

ятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

Реш е н и е. События «пакет получен нз города А», «lJaKeT получен из города В», «пакет получен нз города С» образуют полную группу.

П09ТОму сумма вероятност('й этнх событнй равна единице;

0,7 +0,2+ р= 1.

~сюда искомая вероятность

p-l-O,9=0,1.

§3. Противоположные события

Протuвоnоложн.ыми называют два единственно

возможных события, образующих полную группу. Если

одно из двух противоположных событий обозначено через

А. то другое принято обозначать А.

Пример 1. Попадание и промах при выстреле по целн - противо­

положные событня. Если А-попаданне, то А-промах.

Пример 2. Из ящнка наудачу взята деталь. События «появнлась

стацартная деталы~ н «появнлась нестандартная деталь»-протнво­

положные.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных собы­

тий равна единице:

Р(А)+Р(А)= 1.

JlОЖНЫХ событнй обозначена через Р, то вероятность другого события обозначают через q. Таким образом, в силу предыдущей теоремы

p+q= 1.

Пр.мер 3. Вероятиость того, что день будет дождливым, р =0,7.

Найти вероятность того, что деиь будет ясиым.

Реш е н и е. События «день дождливы!!:» и «день ясный» - про-

тивоположные, поэтому искомая вероятность

q= l-p= 1-0,7=0,3.

3 а м е q а н и е 2. При решении задач на отыскание вероятности

события А часто выгодно сначала ВЫЧИCJIить вероятность события А,

а затем найтн искомую вероятность по формуле

р (А)= J -р (А).

Пример 4. В ящике имеется n деталей, из которых т стацарт­ иык. Найти вероятность того, что средн k наудачу измеченных дета­

.. рь ;хота бы одна стандартная.

Реш е It и е. События «среди нзмечениых детlUlей есть хот,. бы

одна ставдартнаJl» и «среди нзмечеиных детlUlей иет ии одной CTall-

дартиоlt» - противоположные. Обозначим первое событие через А,

а второе-через А.

з4

ОчевИ)UlО,

Р (А) == l-Р (А).

НаЬек р (;1). Общее ЧИСЛО способов, XoroPWIOl коЖJJО ИЭIUIe.. k деталей нз n дeт&llей, paBHO~. Число нестаИД8ртных дeтuей равно n-m; нз 9ТОro числа деталей можно ~_m с:посо6аlПl нЗВJIeЧЬ k ве­

с:таадартных }J.еталеЙ. Позтоку вeposrвocть того, чro C~ Нзме.....

вых k деталей нет нв одной с:таВА8ртноА, равна Р (A)=qt~.

ИскОIl8J1 аероПIIОС:ТЬ •

Р(А)= 1-Р (А)= l-~п-т/cl.

§4. Приицип пр&ктическоА неВOSМO.ИOCТll

мauювеРО8ТНЫХ событий

При решении миогих практических задач врио­

JUlТСЯ иметь дело С событиями, вероятность которых

весьма мала, т. е. близка к нулю. Можно ли считать, что маловероятное событие А в ~ничном ис~нии ве

пронзоАдет? Такого заключения сде.лать нельзя, так как

ие исключено, хотя и 'мало вероятно, что событие А

наступит.

Казалось бы, поямение или иепоявление маловероят­

ного события в единичном испытании предсказать вевоз­ можно. Однако длительный опыт показывает. что мало­

вероятное событие в едииичном испытании в подаВЛRIOЩeIII

большинстве случаев не наступает. На основании !n'Oгo

. факта принимают следующий «принцип практической

невоэможности маловероятных событий~: ес/щ слgчalJ.ное coбbиnue ижetn очень AtaJlую еерояmнocmь, то npaюnuчеаш АЮЖНО считать, что 8 единичном UCnbU1UlHUU вmo C06tJI...

тue не наступит.

Естественно возникает вопрос: иасколько малой

должна быть вероятность события, чтобы можно было

счнтать невозможным его появление в одном испытании?

На 9ТОТ вопрос нельзя ответить однозначно. Для задач,

различных -по существу, ответы разные. Например, еслJ;l

вероятность того, что парашют при прыжке не раскроется,

равна 0,01, ТО было бы недопустнмым применять такие

парашюты. Если же вероятность того, что поезд даль­ него следования прибудет с опозданием, равна 0,01, то можно практически быть уверенным, что поезд прибудет

вовремя.

Достаточно малую вероятность, при которой (в даи­ ной определенной задаче) событие можно считать прак-

тически невозможным, называют уровнем значимости.

На практике обычно принимают уровни значимости, заклю­

ченные между 0,01 и 0,05. Уровень значимости, равный

0,01, называют однопроцентным; уровень значимости,

равный 0,02, называют двухпроцентным, и т. д.

Подчеркнем, что рассмотренный здесь принцип позво­

ляет делать предсказания не только о событиях, имею­

щих малую вероятность, но и о событиях, вероятность

которых близка к единице. Действительно, если событие

А имеет вероятность, близкую к нулю, то вероятность

противоположного события А близка к единице. С другой стороны. непоявление события А означает наступление

противоположного события А. Таким образом, из прин­

ципа невозможности маловероятных событий вытекает

следующее важное для приложений следствие: если слу­

чайное событие имеет вероятность, очень близкую к еди­

нице, то практически можно считать, что в единично-и

исnы.тании это событие наступит. Разумеется, и здесь

ответ на вопрос о том, какую вероятность считать близ­

кой к единице, зависит от существа задачи.

Задачи

1. В денежно-вещевой лотерее на каждые JО 000 билетов разыгрывается ]50 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна

вероятность выигрыша, безразлично денежного илн вещевого, для

владельца одного лотерейного билета?

Оmв. р=О,02.

вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется не

более одной нестандартной детали.

Оmв. р=2/З.

у к а з а н и е. Если А-нет ни одной нестандартной детали,

В-есть одиа нестаидартная деталь, то

Р(А +8)=Р (А)+Р (В) = C:/cto + ~. с:/с!о.

5.События А, В, С и D образуют полиую группу. Вероятности

событий таковы: Р (А) =0,1; Р (8) =0,4; р (С) =0,3. Чему равна

вероятность события D?

Отв. Р (D)=O,2.

36

6. По статистическим данным ремонтной мастерской, в среднем на 20 остановок токарного станка приходится: 10-для смены резца;

3-иэ-эа неисправности привода; 2-иэ-эа иесвоевременной подачи

заготовок. Остальные остановки происходят по другим причинам. liаАти вероятиость остановки станка по другим прнчинам.

Оmв. р=О,2б.

Глава третья

ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

§ 1. Произведение событий

Произведен'ием. двух собы.тиЙ А и 8 называют

событие АВ, состоящее в совместном появлении (совме­

щении) этих событий. Например, если А -деталь годная,

В-деталь окрашенная, то АВ-деталь годна и окрашена.

Произведен'ием. Н,ескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Например, если А, В, С-появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то АВС­

выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

§ 2. Условная вероятность

Во введении случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности усло­

вий S может ПРОИЗ0ЙТИ И.'!И не произойти. Если при вы­

числении вероятности события никаких других ограни­

чений, кроме условий S, не налагается, то такую вероят­

ность называют безусловн'ОЙ; если же налагаются и другие

дополнительные условия, то вероятность события называют условн'ОЙ. Например, часто вычисляют вероятность собы­

тия В при дополнительном условии, что произошло со­

бытие А. Заметим, что и безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается

осуществление условий S.

Jlсловн'ОЙ вероятн'остью РА (8) называют вероятность

события 8, вычисленную в предположении, что событие А

уже наступило.

Прнмер. В урие 3 белых и 3 черных шара. Иэ урны дважды

вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероят­

ность появлеlfИЯ белого шара при втором испытании (событие В),

еСJlИ при первом и'спытании был извлечен чериый шар (событие А).

31

Реш е н н е. После первого испытаиия в урне осталось 5 шаров. нз них 3 белых. ИСКОМ811 условная вероятность

РА (В) =3/5.

этот же результат можио получить по формуле

РА (В) =Р (АВ)/Р (А) (Р (А) > О).

Действительно. вероятность появлеиия белого шара при первом ис­

пытаиии

Р (А) = 3/6 = 1/2.

Найдем вероятность Р (АВ) TOfQ, что в первом испытании по­

ЯВИТСJl чериый шар, а во btopom-белыА. ОБЩее ЧИСJlО исходов­

совместиого ПОJlвления двух шаров, безразлично KaKoro цвета, равно

числу размещений А;=6.5=30. из этоГо числа исходов соБЫТИЮ АВ

блаroприАТСТВУЮТ 3·3=9 исходов. Следовательио,

р (АВ) = 9/ЗО= Э/I0.

ИскомаJl условна,. вероятность

рА (В)=Р (АВ)/Р (A)=(3/10)/(1/2)=3/5.

Как внАН". получен прежииА результат.

Исходя нз классического определеиия вероятности,

формулу (.) можио доказать. Это обстоятельство и служит основанием для следующего общего (применнмого не

только для классическоА вероятности) определения.

уСАОВIЮЯ вероятн.осtnb события В при условии, что событие А уже иаступило, по определенню, равна

рА (В) = Р (АВ)/Р (А) (Р (А) > О).

I 3. T~мa умно.ени. вероитностеА

Рассмотрим два события: А и В; пусть вероят­ ности Р (А) ИРА (В) известиы. Как найти вероятность

совмещения 9Тих событий, т. е. вероятность того, что появится н событие А и событие В1 OrBeт на 9ТОТ вопрос

дает теорема умножеиия.

Теорем.. Верояmнoctnb сов.местн.о.,го nОЯ8.llения двух со­

бшnu4 равна nроизведеRию верояmнocmи одного из них

на 1JC.IЮ8Н(1Ю верояmнocmь другого. 8tJIНUCAeннgю в nредnо­

.сажениu. чmo первое COOЫтUё уже HacmgnU/lo:

р(АВ) :::01 Р (А) РА (В).

ДО К а з а т е л ь с т в о. по определению условной веро­

.'!'Воети.

Пр,ИМер 2. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое

испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не воз­

вращая его обратно. Найти вероятность того, что прн первом испы­

таиии появится белый шар (событие А), при втором - черный (собы­

тие В) и при третьем-синий (событие С).

Реш е и и е. Вероятиость появления белого шара в первом

испытании

р (А) =5/12.

Вероятность появления черного шара во втором испытании,

вычисленная в предположении, что в первом испытании появился

белый шар, т. е. условная вероятность

р А (В) = 4/1 1.

Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вы­ числеиная в предположении, что в первом испытанин появился белый шар, а во второмчерный, т. е. условная вероятность

рАВ (С) =3/10.

Искомая вероятность

р (Аве) = р (А) Р"А (В) рАВ (С) = (5/12)· (4/11) -(3/10) = 1/22.

§ 4. Независимые события. Теорема умножения для иезависимых событий

Пусть вероятность события 8 не зависит от по­ явления события А.

Событие 8 назьюают независи.мы,М от события А, если появление события А не изменяет вероятности события 8,

т. е. если условная вероятность события 8 равна его безусловной вероятности:

рА (8) = Р (8).

Подставив (*) в соотношение (***) предыдущего па­ раграфа, получим·

р (А) Р (8) = Р (8) РВ (А).

Отсюда

РВ (А) = Р (А),

т. е. условная вероятность события А в предположении,

что наступило событие В, равна его безусловной вероят­

ности. Другими словами, событие А не зависит от со­

бытия В.

Итак, если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события 8; зто означает, что с в о й с т в о н е 3 а в и с и м о с т и с о б ы т и й в 3 а и м н о.

40