Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

2.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 199 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

								1													=					A(n + 1) + B(2n − 1)																																							1 = n(2A + 2B) + A − B .
																																																	,							откуда
	(2n − 1)(2n + 1)																													(2n − 1)(2n + 1)																			,							откуда
Приравниваем																						коэффициенты																					при одинаковых степенях n , получаем
2A + 2B = 0,																									A − B = 1.																Решая														полученную												систему,									находим
A =				1				, B = −												1																																							=			1		1			−			1
																							.					Таким										образом,																	a n																			.			Отсюда
				2																2			.					Таким										образом,																	a n							2												.			Отсюда
				2																2																																										2	2n − 1						2n + 1
a1 =					1									−		1								2 =						1		1		−			1			, a 3 =							1							1		−				1				4 =		1	1				−	1
									1									, a																																											, a												,
					2				1							3		, a												2							5										2														, a					2							,
					2											3														2		3					5										2							5 7												2	7 9
				=			1							1		−			1															=			1			1										−							1
	a 5																					,K, a n−1																																								Найдем частичную сумму n
	a 5																					,K, a n−1															2				2n −																					Найдем частичную сумму n
							2							9 11																							2				2n −					3 2n − 1
																	1										1						1			1				1						1 1												1
членов Sn														=						1				−						+								−					+												−							+
членов Sn														=			2			1				−			3			+			2			3		−					+												−							+
																	2										3						2			3				5						2 5												7
		1	1										1														1						1							1															1							1				1							1			1			1
+										−							+ K +																					−														+													−							=		1 −				+		−
+		2								−							+ K +										2									3		−		2n −												+													−		+					=		1 −				+		−
		2	7										9														2			2n −						3				2n −						1									2				2n − 1 2n								+	1					2			3 3
−		1	+			1					−			1		+			1			−			1			+ K +										1							−		1									+						1			−	1						=

																																																																			+
		5 5 7 7 9																																	2n − 3 2n −																			1 2n + 1 2n													+	1
=		1						−							1																								=			1				−								1
			1																	.							Итак,							Sn											1															.
		2	1																	.							Итак,							Sn											1															.
		2										2n + 1																														2								2n + 1
						Найдем предел частичной суммы																																											Sn						при n → ∞ ,										то есть найдем сумму
																													1									1									1
ряда									lim Sn										= lim												1 −													=						.
ряда									lim Sn										= lim												1 −				2n									=			2			.
								n→∞														n		→∞ 2											2n				+ 1								2
						Таким образом, данный ряд сходится и его сумма S =																																										1			.
						Таким образом, данный ряд сходится и его сумма S =																																													.
																																																																				2						∞	2n + 1
																																																																										∞	2n + 1
						ПРИМЕР 2.5. Установить сходимость или расходимость ряда ∑																																															.
						ПРИМЕР 2.5. Установить сходимость или расходимость ряда ∑																																										3n + 2					.
						Решение. Найдем предел общего члена a n																																										3n + 2																		n =1
						Решение. Найдем предел общего члена a n																																										данного ряда при n → ∞ .

lim a

n→∞

lim a

n→∞

2n + 1

n 2

= lim

. Необходимый признак сходимости

+ 2

n→∞ 3n

n→∞

n 3

n = 0 для этого ряда не выполняется, поэтому ряд расходится.

2.1.2. Сходимость рядов с положительными членами. Признаки сравнения

Пусть дан ряд

∞
a1 + a2 + a3 + K + an + K = ∑ an	(2.2)
n=1

с положительными членами. Перечислим основные признаки сходимости и

расходимости рядов с положительными членами.

Признак сравнения 1. Пусть даны ряды (2.2) и

∞
b1 + b2 + b3 + K + bn + K = ∑ bn	(2.3)
n=1

с положительными членами, причем для всех достаточно больших n a n ≤ bn . Тогда:

-из сходимости ряда (2.3) следует сходимость ряда (2.2);

-из расходимости ряда (2.2) следует расходимость ряда (2.3).

Этот признак остается в силе, если неравенства a n ≤ bn выполняются не

при всех n , а лишь начиная с некоторого номера n = N .

Признак сравнения 2. Если существует конечный и отличный от нуля

a n

∞

предел lim

= k , что оба ряда ∑ a n ,

∑ bn одновременно сходятся и

n→∞ bn

n =1

n=1

расходятся.

∞

ПРИМЕР 2.6. Исследовать на сходимость ряд ∑

ln n

n =2

Решение. Так как

n > ln n или

− общий член

ln n

расходящегося гармонического ряда, то в силу признака сравнения 1 данный ряд расходится.

						∞	1
ПРИМЕР 2.7. Исследовать на сходимость ряд						∑		.

					n =2		n + ln n
Решение.	Сравнение с гармоническим рядом по признаку сравнения 1
здесь ничего	не дает, так как	1	<	1	, и	никакого заключения о
		n + ln n
				n

сходимости данного ряда сделать нельзя. Воспользуемся признаком сравнения

2 с тем же гармоническим рядом. Имеем a n

, bn

, следовательно,

n + ln n

lim

a n

= lim

n + ln n

= lim

= 1 ¹ 0 .

ln n

n→∞ bn

n→∞

Получен конечный и отличный от нуля предел. Сравниваемые ряды ведут себя одинаково, и так как гармонический ряд расходится, то расходится и данный ряд.

2.1.3. Признак Даламбера

1. Пусть задан числовой ряд

∞

a1 + a2 + a3 +K + an +K = ∑ an

(2.4)

с положительными членами.

n=1

Если существует предел lim

a n+1

= P , то при P <1 ряд (2.4) сходится, а

a n

n→∞

при P >1 − расходится (при P =1 ряд может сходиться или расходиться –

этом случае вопрос о сходимости ряда остается открытым).

∞

ПРИМЕР 2.8. Исследовать на сходимость ряд ∑

n =1

2n+1

Решение.

Применяем признак Даламбера. Здесь a n

, a n +1

(n +1)!,

P = lim

a n +1

= lim

2n +1

× n!

= lim

= 0 < 1,

следовательно,

ряд

+1)!

n +1

n→∞ a n

n→∞ 2n (n

n→∞

сходится.

2n +1

∞

ПРИМЕР 2.9. Исследовать на сходимость ряд ∑

n =0 23n −1

32n+3

Решение.

Применяем признак

Даламбера. a n =

32n +1

, a n =

23n −1

23n

32n +3 × 22n −1

P = lim

a n+1

= lim

> 1, следовательно, ряд расходится.

n→∞ a n

n→∞ 23n+2 × 32n +1

2.1.4. Признак Коши

∞

Пусть задан ряд числовой ряд

a1 + a 2 + a 3 + K + a n

+ K = ∑ a n с

положительными членами.

n =1

= P, то при P <1 этот ряд сходится, а

Если существует предел lim n a n

n∞

при P >1 − расходится (при P =1 возможны случаи как сходимости, так и расходимости ряда).

∞

ПРИМЕР 2.10. Исследовать на сходимость числовой ряд ∑

n=1

2n +1

Решение.

Здесь удобно применить признак Коши, поскольку

a n

= n

а предел последней дроби находится просто:

P =

2n +

2n +1

= lim

<1, то ряд сходится.

n→∞ 2n +1

n→∞

2.11.

ПРИМЕР

Исследовать

на

сходимость

числовой

ряд

∞

1 n 2

∑

n =1 2n

n 2

a n =

Решение. Снова применим признак Коши. a n

;

P = lim n

a n =

e . Так как P =

>1, то

lim

n→∞

2 n→∞

ряд расходится.

2.1.5. Интегральный признак Коши

Рассмотрим числовой ряд

a1 + a2 + a3 +K + an +K =

∞

∑ an ,

(2.5)

с положительными членами.

n=1

Этот признак основан на сравнении рядов с несобственными интеграла-

ми.

Если функция f (x),

принимающая в точках x = n, n = 1,2,K значения

f (n)= a n ,

монотонно убывает в некотором промежутке a < x < ∞, где a ³ 1,

то числовой ряд (2.5) и несобственный интеграл ∞∫f (x)dx сходятся или расхо-

дятся одновременно.

∞	1
ПРИМЕР 2.12. Исследовать на сходимость числовой ряд ∑	1		.
ПРИМЕР 2.12. Исследовать на сходимость числовой ряд ∑			.
n =2	n ln n
Решение. Применим интегральный признак Коши. Так как f (n)=		1		,
Решение. Применим интегральный признак Коши. Так как f (n)=		n ln n		,
		n ln n

то функцией принимающей в точках x = n значения f (n), будет функция

f (x) =	1	. Она непрерывна в промежутке 2 £ x < ¥ и монотонно в нем
	x ln x

убывает. Вычислим несобственный интеграл ∞∫ f (x)dx .
∞						2	∞
	dx		b
∫		= lim	∫	d ln x	= lim	(ln ln b − ln ln 2) = ∞ . Интеграл	∫ f (x)dx рас-

2 x ln x		b→∞	2 ln x b→∞				2

ходится. Из его расходимости следует расходимость данного ряда.

∞	1
ПРИМЕР 2.13. Исследовать на сходимость числовой ряд ∑		.
ПРИМЕР 2.13. Исследовать на сходимость числовой ряд ∑		.
n =1 nS			1
Решение. Применим интегральный признак Коши, положив f (x) =			1	,
			xS	,
			xS

эта функция при x ³ 1 непрерывна, положительная и монотонно убывающая.

∞

Рассмотрим интеграл ∫

dx = lim

x −S dx = lim

x1−S

1 x S

b→∞

b→∞ 1 − S

= lim

(b1−S −

1) при S ¹ 1.

− s

b→∞ 1

а)

S > 1, lim

(b1−S − 1)

предел конечен, несобственный ин-

s − 1

b→∞ 1 − s

теграл сходится, следовательно, сходится и числовой ряд.

б)

S < 1, lim

(b1−S − 1)= ∞ несобственный интеграл расходится, то

b→∞ 1 − s

расходится и числовой ряд.

в)

P = 1. lim ln b = ∞ . Из расходимости несобственного интеграла сле-

b→∞

дует расходимость числового ряда.

∞

Итак, числовой ряд ∑

при S > 1 сходится,

при S £ 1 расходится.

n =1 nS

Данный числовой ряд называется обобщенным гармоническим рядом.

2.1.6. Сходимость числовых рядов с членами произвольных знаков. Абсолютная и условная сходимость

Пусть дан числовой ряд

∞
a1 + a2 + a3 + K + an + K = ∑ an .	(2.6)
n=1

Среди членов этого ряда имеются бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов.

Числовой ряд (2.6) с членами произвольных знаков сходится, если схо-

∞

дится ряд

a 2

a 3

+K +

a n

+K = ∑

a n

. В этом случае исходный

∞

n=1

ряд ∑ a n

называется абсолютно сходящимся.

n =1

∞

Сходящийся ряд

∑ a n называется условно сходящимся, если ряд

∞

n =1

∑

a n

расходится.

n =1

∞

Если ряд ∑ a n

абсолютно сходится, то ряд, полученный после любой

n =1

перестановки его членов, абсолютно сходится и имеет ту же сумму, что и первоначальный ряд.

∞

Если числовой ряд ∑ a n

условно сходится, то при перестановке беско-

n =1

нечного множества его членов сумма ряда может измениться.

ПРИМЕР

2.14. Исследовать

на

сходимость

числовой

ряд

1 −

−

Решение.

Составим

ряд

из

модулей

членов

данного

ряда

1 −

−

+K =

∞

∑

. Этот ряд сходится как обобщенный гар-

n=1 n 2

монический ряд с показателем S = 2 >1. Следовательно, сходится и данный

ряд, и притом абсолютно.

2.1.7. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница

Числовой ряд вида

a1 − a2 + a3 − a4 K + (−1)n−1 an +K = ∑∞

(−1)n−1 an

(2.7)

n=1

называется знакочередующимся, где a n

> 0,

n =1,2,3,K.

Для знакочередующихся рядов справедлива теорема Лейбница.

Если члены знакочередующегося ряда (1) начиная с некоторого номера n

монотонно убывают по абсолютной величине и lim a n = 0 , то ряд (2.7) схо-

n→∞

дится.

Исследование сходимости знакочередующихся рядов следует начинать с исследования их абсолютной сходимости, так как это часто быстрее приводит к цели, чем применение теоремы Лейбница с последующим исследованием абсолютной сходимости ряда.

При исследовании знакочередующихся рядов на абсолютную сходимость пользуются всеми признаками сходимости для рядов с положительными членами.

∞	(-1)n−1
ПРИМЕР 2.15. Исследовать на сходимость числовой ряд ∑	.
n =1	n

Решение. Исследуем этот ряд на абсолютную сходимость, для этого составим числовой ряд из абсолютных величин членов исходного ряда, получаем

	-1		1		(-1)n−1	∞	1


ряд 1 +		+		+ K +		+K = ∑		. Этот ряд является гармоническим
	2		3		n
						n=1	n

с показателем s =1, поэтому расходится.

Для исследования на сходимость применяем теорему Лейбница. Так как

1 >

> K >

K (члены ряда монотонно убывают) и

lim a

n +1

n→∞

= lim

= 0, то по теореме Лейбница, данный ряд сходится. Однако он схо-

n→∞ n

дится условно, так как, составленный из модулей его членов, расходится.

	ПРИМЕР 2.16. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд
∞	(-1)n −1 × n n
∑	.
n =1	(2n)!

Решение. Исследуем данный знакочередующийся ряд на абсолютную сходимость. С этой целью составим ряд из модулей членов данного ряда:

∞

a n+1

∑

. Применим

к этому

ряду

признак

Даламбера:

lim

n =1

(2n)!

n→∞ a n

(n +1)n +1 × (2n)!

1 n

= lim

= 0 < 1. Ряд

из модулей

n→∞ (2n + 2)!×n

n→∞

2(2n +1)

сходится. Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

2.1.8. Приближенное вычисление суммы ряда

		∞
Для приближенного вычисления суммы S сходящегося ряда ∑ a n пола-
		n =1
n	остатком R n =	∞
гают S » Sn = ∑ a k , пренебрегая	остатком R n =	∑ a k . Чтобы оценить
k =1		k =n +1

ошибку, допускаемую при этом, нужно оценить остаток.

Для сходящихся знакоположительных рядов, члены которых монотонно убывают начиная с n +1, справедливы следующие оценки остатка.

R n

£ ∞∫ f (x)dx,

∞∫ f (x)dx £ R n

< ∞∫ f (x)dx ,

где f (n) − общий член

n +1

данного ряда, а f (x) − функция, принимающая в точках

x = n, n = 1,2,K

значения f (n) = a n

и монотонно убывающая в промежутке интегрирования.

∞

ПРИМЕР 2.17. Оценить n − й остаток ряда ∑

. Вычислить сумму ря-

да с точностью 10−2 .

n =1

n 3

Решение.

Воспользовавшись

оценкой остатка

ряда,

получим

∞ dx

R n < ∫

3 = lim

2 . Найдем наименьшее значение

n удовле-

b→∞

2 x

2 n

< 10−2 . Это значение n равно 8, тогда

творяющее неравенству R n <

2n 2

S » S8

∑

= 1,1951.

n =1 n 3

взятое из справочника S = 1,20215. Ошибка, которая

Точное значение,

допущена равна

S - S8

= 0,00695 < 10−2 .

Для знакочередующихся рядов, члены которых удовлетворяют условиям

теоремы Лейбница, справедлива следующая оценка остатка

R n

£ a n+1 .

∞

(-1)n−1

ПРИМЕР 2.18. С погрешностью 10−3 вычислить сумму ряда ∑

n × 2n

Решение. Согласно выше приведенной оценке

n =1

R n

< 10−3 . Найдем наименьшее значение n , удовлетворяющее

+1)× 2n +1

последнему неравенству, которое определяется непосредственной проверкой и

n = 7 , тогда S » S7 = ∑7	(-1)n −1	= 0,405.
n=1	n × 2n

2.2.ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

2.2.1.Функциональный ряд и область его сходимости

Ряд

∞	(x),
f1 (x)+ f2 (x)+ K + fn (x)+ K = ∑ fn	(x),	(2.8)
n=1

членами которого являются функции от аргумента x , определенные на некотором множестве D называется функциональным.

Функциональный ряд (1) называется сходящимся при x = x 0 , если схо-

∞

дится числовой ряд ∑ f n (x 0 ).

n =1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.5. Множество всех значений x , для которых функциональный ряд сходится называется областью сходимости функционально-

го ряда.

Для нахождения областей сходимости функциональных рядов можно использовать достаточные признаки сходимости числовых рядов.

ПРИМЕР 2.19. Найти область сходимости функционального ряда

∞

∑ ln n x .

n =1

Решение. Данный ряд представляет собой сумму бесконечной геометри-

ческой прогрессии

со знаменателем

q = ln x . Так как прогрессия

сходится

лишь при

< 1, то он сходится, и притом абсолютно,

при

ln x

< 1, то есть

при −1 < ln x < 1,

и, следовательно,

неравенства e−1 < x < e

определяют об-

ласть сходимости данного ряда.

∞

x n

ПРИМЕР 2.20. Найти область сходимости ряда ∑

1 + x 2n

n =1

x n

Решение.

Применим признак

Даламбера. Так

как

f n (x) =

1 + x 2n

x n +1

x n+1 × (1 + x 2n )

1 + x 2n

f n+1 (x) =

, то P = lim

lim

1 + x 2n +2

(1 + x 2n +2 )× x n

n→∞

n→∞ 1 + x 2n+2

при

< 1

при

= 1

при

> 1.

Так как при x = 0 сходимость ряда очевидна, а при всех других x ¹ +1

P < 1, то по признаку Даламбера, данный ряд сходится для всех x ¹ ±1. При

∞ (±1)n

x = ±1 получаются ряды ∑ , не удовлетворяющие необходимому при-

n =1 2

знаку сходимости и, следовательно расходящиеся. Таким образом, область сходимости данного ряда состоит из всех x ¹ ±1.

2.2.2. Равномерная сходимость функциональных рядов

Рассмотрим функциональный ряд
f1 (x)+ f2 (x)+K + fn (x)+K = ∑∞			fn (x).	(2.9)
		n=1
Представим сумму ряда		(2.9) в виде S(x)= Sn (x)+ R n (x), где
Sn (x)= ∑n	f k (x), R n (x)= ∑∞	f (x).
k =1	k=n +1
Сходящийся в некотором промежутке функциональный ряд ∑∞				f n (x) на-
			n =1

зывается равномерно сходящимся в этом промежутке, если для любого ε > 0 существует номер N , не зависящий от x и такой, что для всех n > N справедливо неравенство R n (x) = S(x)−Sn (x) < ε одновременно для всех значений

x рассматриваемого промежутка.

Введение в рассмотрение понятия равномерно сходящихся рядов целесообразно потому, что последние обладают рядом важных свойств, связанных, в частности, с непрерывностью суммы ряда, с возможностью дифференцирования и интегрирования функциональных рядов.

Приведем достаточный признак равномерной сходимости функциональ-

ного ряда.
Признак Вейерштрасса. Если члены функционального ряда ∑∞	f n (x)
n =1

в некотором промежутке не превосходят по абсолютной величине соответст-

∞

вующих членов сходящегося числового ряда ∑ a n с положительными члена-

n =1

ми, то есть, если f n (x) ≤ a n для всех x упомянутого промежутка, то данный

ряд функциональный ряд сходится в этом промежутке абсолютно и равномерно.

ПРИМЕР 2.21. Установить равномерную сходимость функционального

∞	cos n x
ряда ∑		.

n =1	n 2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 199 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2015661.5 Кб75УМК.doc
#
17.03.20151.66 Mб62УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб102УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб91УМК.PDF
#
17.03.20151.09 Mб47УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб49УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб20УМК11.pdf
#
17.03.20151.57 Mб136УМК6.pdf
#
17.03.2015430.08 Кб10УМП . Сб. к.р.2011.doc
#
17.03.2015219.14 Кб73УМП ВРЕМЕНА1.doc
#
06.03.20164.28 Mб41УМП для выполнения КР Наг.маш..docx