УМК

x∫ σ(x)dx = (u1 (x) − u1 (α)) + (u 2 (x) − u 2 (α)) + L + (u n (x) − u n (α)) + K Но, по

α

условию теоремы, ряд u1 (x) + u 2 (x) +K + u n (x) +K сходится и его сумма равна S(x); сходится по условию и ряд u1 (α) + u 2 (α) +K + u n (α) + K, его

сходится на отрезке [a; b]. Таким образом, при выполнении условий теоремы

числовой оси, так как он мажорируется от − ∞ до + ∞ числовым сходящимся

S(x) − сумма исходного ряда.

1.2.3. Степенные ряды

Чаще всего на практике используют функциональные ряды двух типов: степенные и тригонометрические.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.18. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

где a 0 , a1 ,Ka n ,K − числа, называемые коэффициентами ряда.

Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может вырождаться в точку. Для того, чтобы убедиться в этом, докажем очень важную для всей теории степенных рядов теорему.

Теорема 1.16. (теорема Абеля)

1. Если степенной ряд сходится при некотором значении x 0 , не равном

Члены ряда (1.43) меньше соответствующих членов ряда

числовых рядов из сходимости ряда (1.44) следует сходимость ряда (1.43).

Из сходимости ряда (1.43) следует абсолютная сходимость ряда (1.42), а

расходится. Тогда он будет расходиться и в любой точке x , удовлетворяющей условию x > x′0 . Действительно, если бы в какой-либо точке x ,

удовлетворяющей этому условию, ряд сходился, то в силу доказанного он должен был бы сходиться и в точке x′0 , так как x′0 < x , что противоречит

условию. Следовательно, ряд расходится и в точке x . Таким образом, теорема полностью доказана.

Теорема Абеля приводит нас к следующему утверждению.

Существует такое неотрицательное R , что при − R < x < R ряд

∞

∑ a n x n сходится, а при x > R или x < −R − расходится (поведение ряда

n =0

при x = ±R подлежит дальнейшему анализу). На самом деле: пусть для всех x < x 0 степенной ряд сходится, а при x > x′0 − расходится.

∞

всех x < R ряд ∑ a n x n будет сходиться, а при x > R − расходиться.

n =0

Таким образом, имеет место следующая теорема о строении области сходимости степенного ряда.

Теорема 1.17. Областью сходимости степенного ряда вида (1.40) является интервал с центром в начале координат.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.19. Интервалом сходимости степенного ряда

называется такой интервал от − R до + R , что для всякой точки x , лежащей внутри интервала, ряд сходится и притом абсолютно, а для точек x , лежащих вне его, ряд расходится.

Число R называют радиусом сходимости степенного ряда

1.2.4. Определение радиуса сходимости степенного ряда

Дан ряд a 0 + a1x + a 2 x 2 + K + a n x n + K.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов:

Для определения сходимости ряда (1.45) применим признак Даламбера, то есть определим

Аналогично для определения радиуса сходимости можно пользоваться признаком Коши

1.2.5. Схема определения интервала сходимости степенного ряда

∞

Дан степенной ряд ∑ a n x n . Требуется определить его интервал

n =0

сходимости. Для решения поставленной задачи поступаем следующим образом: а) определяем радиус сходимости степенного ряда по формулам (1.46) и

(1.47);

б) записываем интервал сходимости (− R; R );

в) проверяем поведение ряда на концах интервала (x = ±R ). В ряд вместо x подставляем x = R и x = −R , в результате чего получаем знакоположительные или знакочередующиеся числовые ряды, к которым применяем соответствующие признаки сходимости;